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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 隨機變量及其分布列 版塊一 離散型隨機變量及其分布列1完整講義（學(xué)生版） 知識內(nèi)容 1． 離散型隨機變量及其分布列 ⑴離散型隨機變量 如果在試驗中，試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量來表示，并且是隨著試驗的結(jié)果的不同而變化的，我們把這樣的變量叫做一個隨機變量．隨機變量常用大寫字母表示． 如果隨機變量的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱為離散型隨機變量． ⑵離散型隨機變量的分布列 將離散型隨機變量所有可能的取值與該取值對應(yīng)的概率列表表示： … … … … 我們稱這個表為離散型隨機變量的概率分布，或稱為離散型隨機變量的分布列． 2．幾類典型的隨機分布 ⑴兩點分布 如果隨機變量的分布列為 其中，，則稱離散型隨機變量服從參數(shù)為的二點分布． 二點分布舉例：某次抽查活動中，一件產(chǎn)品合格記為，不合格記為，已知產(chǎn)品的合格率為，隨機變量為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果，則的分布列滿足二點分布． 兩點分布又稱分布，由于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗叫做伯努利試驗，所以這種分布又稱為伯努利分布． ⑵超幾何分布 一般地，設(shè)有總數(shù)為件的兩類物品，其中一類有件，從所有物品中任取件，這件中所含這類物品件數(shù)是一個離散型隨機變量，它取值為時的概率為 ，為和中較小的一個． 我們稱離散型隨機變量的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱服從參數(shù)為，，的超幾何分布．在超幾何分布中，只要知道，和，就可以根據(jù)公式求出取不同值時的概率，從而列出的分布列． ⑶二項分布 1．獨立重復(fù)試驗 如果每次試驗，只考慮有兩個可能的結(jié)果及，并且事件發(fā)生的概率相同．在相同的條件下，重復(fù)地做次試驗，各次試驗的結(jié)果相互獨立，那么一般就稱它們?yōu)榇为毩⒅貜?fù)試驗．次獨立重復(fù)試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率為． 2．二項分布 若將事件發(fā)生的次數(shù)設(shè)為，事件不發(fā)生的概率為，那么在次獨立重復(fù)試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率是，其中．于是得到的分布列 … … … … 由于表中的第二行恰好是二項展開式 各對應(yīng)項的值，所以稱這樣的散型隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布， 記作． 二項分布的均值與方差： 若離散型隨機變量服從參數(shù)為和的二項分布，則 ，． ⑷正態(tài)分布 1． 概率密度曲線：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，在樣本容量越來越大時， 直方圖上面的折線所接近的曲線．在隨機變量中，如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機變量，則這條曲線稱為的概率密度曲線． 曲線位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是，而隨機變量落在指定的兩個數(shù)之間的概率就是對應(yīng)的曲邊梯形的面積． 2．正態(tài)分布 ⑴定義：如果隨機現(xiàn)象是由一些互相獨立的偶然因素所引起的，而且每一個偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，則表示這樣的隨機現(xiàn)象的隨機變量的概率分布近似服從正態(tài)分布． 服從正態(tài)分布的隨機變量叫做正態(tài)隨機變量，簡稱正態(tài)變量． 正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達式為，，其中，是參數(shù)，且，． 式中的參數(shù)和分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標準差．期望為、標準差為的正態(tài)分布通常記作． 正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線． ⑵標準正態(tài)分布：我們把數(shù)學(xué)期望為，標準差為的正態(tài)分布叫做標準正態(tài)分布． ⑶重要結(jié)論： ①正態(tài)變量在區(qū)間，，內(nèi)，取值的概率分別是，，． ②正態(tài)變量在內(nèi)的取值的概率為，在區(qū)間之外的取值的概率是，故正態(tài)變量的取值幾乎都在距三倍標準差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的原則． ⑷若，為其概率密度函數(shù)，則稱為概率分布函數(shù)，特別的，，稱為標準正態(tài)分布函數(shù)． ． 標準正態(tài)分布的值可以通過標準正態(tài)分布表查得． 分布函數(shù)新課標不作要求，適當(dāng)了解以加深對密度曲線的理解即可． 3．離散型隨機變量的期望與方差 1．離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望 定義：一般地，設(shè)一個離散型隨機變量所有可能的取的值是，，…，，這些值對應(yīng)的概率是，，…，，則，叫做這個離散型隨機變量的均值或數(shù)學(xué)期望（簡稱期望）． 離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個離散型隨機變量的平均取值水平． 2．離散型隨機變量的方差 一般地，設(shè)一個離散型隨機變量所有可能取的值是，，…，，這些值對應(yīng)的概率是，，…，，則叫做這個離散型隨機變量的方差． 離散型隨機變量的方差反映了離散隨機變量的取值相對于期望的平均波動的大?。x散程度）． 的算術(shù)平方根叫做離散型隨機變量的標準差，它也是一個衡量離散型隨機變量波動大小的量． 3．為隨機變量，為常數(shù)，則； 4． 典型分布的期望與方差： ⑴二點分布：在一次二點分布試驗中，離散型隨機變量的期望取值為，在次二點分布試驗中，離散型隨機變量的期望取值為． ⑵二項分布：若離散型隨機變量服從參數(shù)為和的二項分布，則，． ⑶超幾何分布：若離散型隨機變量服從參數(shù)為的超幾何分布， 則，． 4．事件的獨立性 如果事件是否發(fā)生對事件發(fā)生的概率沒有影響，即， 這時，我們稱兩個事件，相互獨立，并把這兩個事件叫做相互獨立事件． 如果事件，，…，相互獨立，那么這個事件都發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即，并且上式中任意多個事件換成其對立事件后等式仍成立． 5．條件概率 對于任何兩個事件和，在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號“”來表示．把由事件與的交（或積），記做（或）． 典例分析 【例1】 以下隨機變量中，不是離散型隨機變量的是： ⑴ 某城市一天之內(nèi)發(fā)生的火警次數(shù)； ⑵ 某城市一天之內(nèi)的溫度． 【例2】 下列隨機變量中，不是離散隨機變量的是（ ） A．從10只編號的球 （ 0號到9號） 中任取一只，被取出的球的號碼 B．拋擲兩個骰子，所得的最大點數(shù) C．區(qū)間內(nèi)任一實數(shù)與它四舍五入取整后的整數(shù)的差值 D．一電信局在未來某日內(nèi)接到的電話呼叫次數(shù) 【例3】 寫出下列各隨機變量可能的取值． ⑴ 小明要去北京旅游，可能乘火車、汽車，也可能乘飛機，他的旅費分別為元、元和 元，記他的旅費為； ⑵ 正方體的骰子，各面分別刻著，隨意擲兩次，所得的點數(shù)之和． 【例4】 寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結(jié)果． ⑴一袋中裝有5只同樣大小的白球，編號為1，2，3，4，5 現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機取出3只球，被取出的球的最大號碼數(shù)； ⑵某單位的某部電話在單位時間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)． 注意事件與數(shù)字間的對應(yīng)關(guān)系． 【例5】 拋擲兩顆骰子，所得點數(shù)之和為，那么表示的隨機試驗結(jié)果是（ ） A．一顆是3點，一顆是1點 B．兩顆都是2點 C．兩顆都是4點 D．一顆是3點，一顆是1點或兩顆都是2點 【例6】 如果是一個離散型隨機變量，則假命題是（ ） A．取每一個可能值的概率都是非負數(shù)； B．取所有可能值的概率之和為1； C．取某幾個值的概率等于分別取其中每個值的概率之和； D．在某一范圍內(nèi)取值的概率大于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和