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2019-2020年高一數學上 第二章 函數：函數2.1.2優(yōu)秀教案 [教學目的] ⒈以集合、映射的觀點加深學生對函數概念的理解，明確決定函數的三個要素（定義域、值域和對應法則）； ⒉掌握函數的三種主要表示方法(解析法、列表法、圖象法)； ⒊能夠正確使用“區(qū)間”、“無窮大”等記號； ⒋會求某些函數的定義域和值域，會畫一些簡單函數的圖象. [重點難點] 重點：在映射的基礎上理解函數的概念； 難點：函數的概念. [教學設想] 1.教法 2.學法 3.課時 [教學過程] 2.2.1 函 數(一) --函數的概念和表示方法 [教學目的] ⒈以集合、映射的觀點加深學生對函數概念的理解，明確決定函數的三個要素（定義域、值域和對應法則）； ⒉掌握函數的三種主要表示方法(解析法、列表法、圖象法). [重點難點] 重點：在映射的基礎上理解函數的概念； 難點：函數的概念. [教學過程] 一、復習引入 ⒈復習提問：在從集合A到集合B的映射中， ⑴對于集合A中的任意一個元素a，在集合B中是不是一定有象？是不是只有一個象？ 答：必定有象，且只有一個象. ⑵對于集合B中的任意一個元素b，在集合A中是不是一定有原象？是不是只有一個原象？ 答：對于集合B中任意一個元素b，在集合A中不一定有原象，在有原象時，也不一定只有一個. ⒉復習引入：我們在初中已經學過函數，例如，正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數等.那么函數的概念是什么？在初中我們是怎樣定義它呢？ 那時的定義可敘述為：設在一個變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數.并將自變量x取值的集合叫做函數的定義域，和自變量x的值對應的y值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域. 這種用變量敘述的函數定義我們稱之為函數的傳統定義. 我們回想映射的定義，不難知道，上面所說的函數實際上就是集合Ａ到集合Ｂ的一個特殊映射f：A→B，構成這種映射的集合Ａ，Ｂ是非空的數集，而且對于自變量在定義域A內的任何一個值x，在集合B中都有唯一的函數值和它對應；自變量的值是原象，和它對應的函數值是象；原象的集合A就是函數的定義域，象的集合C就是函數的值域，顯然CB. 這種用映射刻劃的函數定義是我們高中階段學習的函數定義. 二、學習、講解新課 ⒈用映射刻劃的函數定義 如果A，B都是非空的數集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函數，記作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函數y=f(x)的定義域，象的集合C（CB）叫做函數y=f(x)的值域.函數符號y=f(x)表示“y是x的函數”，有時簡記作函數f(x). 這種用映射刻劃的函數定義我們稱之為函數的近代定義. 例如，一次函數是集合A（A=R）到集合B（B=R）的映射f：A→B，它使集合B中的元素y=ax+b(a0)與集合A中是元素x對應，記為f(x)= ax+b(a0)，集合A為定義域，集合C（C=R）為值域（這里C=B）. 反比例函數是集合A={x|x0}到集合B（B=R）的映射f：A→B，它使集合B中的元素y=k/x(k0)與集合A中是元素x對應，記為f(x)= k/x(k0)，集合A為定義域，集合C={y|y0}為值域（這里CB）. 二次函數是集合A（A=R）到集合B（B=R）的映射f：A→B，它使集合B中的元素y=ax2+bx+c(a0)與集合A中是元素x對應，記為f(x)= ax2+bx+c (a0)，集合A為定義域，當a>0時，集合C={y|y(4ac-b2)/4a}為值域；當a<0時，集合C={y|y(4ac-b2)/4a}為值域（這里CB）. ⒉ 函數的三要素 ⑴函數符號y=f(x)的含義：它表示y是x的函數，而不是f和x的乘積.其中f表示對應法則，小括號表示把對應法則f施加于x這個變量之上，而等號表示施加之后對應于y. 例如，f(x)=2x2+3,這里是用一個代數式把f所表示的對應法則具體化了，就是說“把自變量x先平方再二倍再加3”即得x對應的函數值，而f就表示了這一套運算手續(xù). 另外，f還可能是由圖表表示的數之間的對應法則(后面再舉例). ⑵符號f(a)的含義：f(a)表示自變量x取a時所對應的函數值.f如果由解析式表達，則可算出f(a). 例如，f(x)=x2+2x-1在x=0,x=1,x=2時的函數值分別為f(0)=-1， f(1)=2，f(2)=7；若f由圖表給出，那么就可以通過點的坐標或查表找出f(a). 要注意f(a)與f(x)的聯系與區(qū)別：f(a)表示當自變量x=a時函數f(x)的值，它是一個常量；而f(x)是自變量x的函數，在一般情況下，它是一個變量，f(a)是f(x)的一個特殊值. ⑶函數的三要素：由函數的定義可知，函數由定義域、值域和對應法則三部分組成，這三部分就叫做函數的三要素,而確定函數的要素是定義域和對應法則.當定義域和對應法則確定之后，函數的值域也就隨著確定了,至于用什么字母表示自變量和函數則是無關緊要的，因此y=f(x)=x2與z=f(t)=t2表示的是同一函數. 另外，在同時研究兩個或多個函數時，要用不同的符號來表示它們.除了f(x)外還常用g(x),F(x),G(x)等符號. ⒊函數的表示方法 表示函數的方法，常用的有解析法、列表法和圖象法三種. ⑴解析法：就是把兩個變量的函數關系，用一個等式表示，這個等式叫做函數的解析表達式，簡稱解析式. 例如，s=60t2，A=r2，S=2,y=ax2+bx+c(a0),y=(x2)等等都是用解析式表示函數關系的. 用解析式表示函數關系的優(yōu)點：一是簡明、全面地概括了變量間的關系；二是可以通過解析式求出任意一個自變量的值所對應的函數值.中學階段研究的函數主要是用解析法表示的函數. ⑵列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數關系. 例如，數學用表中的平方表、平方根表、三角函數表，銀行里的利息表，列車時刻表等等都是用列表法來表示函數關系的. 用列表法表示函數關系的優(yōu)點：不需要計算就可以直接看出與自變量的值相對應的函數值. ⑶圖象法：就是用函數圖象表示兩個變量之間的關系. 例如，氣象臺應用自動記錄器描繪溫度隨時間變化的曲線，課本中我國人口出生率變化的曲線，工廠的生產圖象，股市走向圖等都是用圖象法表示函數關系的. 用圖象法表示函數關系的優(yōu)點：能直觀形象地表示出自變量的變化，相應的函數值變化的趨勢，這樣使得我們可以通過圖象來研究函數的某些性質. ⒋例題評價 例1(P54) 已知函數f(x)=3x2-5x+2，求f(3), f(-), f(a+1). 解：f(3)=332-53+2=14； f(-)=3(-)2-5(-)+2=8+5； f(a+1)=3(a+1)2-5(a+1)+2=3a2+a. 例2(補) 已知函數f(x)=4x+3，g(x)=x2,求f[f(x)]，f[g(x)]， g[f(x)]，g[g(x)]. 解：f[f(x)]=4f(x)+3=4(4x+3)+3=16x+15； f[g(x)]=4g(x)+3=4x2+3； g[f(x)]=[f(x)]2=(4x+3)2=16x2+24x+9； g[g(x)]=[g(x)]2=(x2)2=x4. ⒌目標檢測 ⑴課本P56練習：1，2. ⑵(補充題) 已知f(x)=3x+1，求f(x2+1)與f(x2)+1相差多少. 答案：⑴課本練習：1.⑴定義域是{-3,-2,-1,0,1,2,3}，值域是{0,1,4,9} ；⑵和x=-2對應的象是4；⑶y=9和原象-3，3對應. 2.f(0)=-3，f(2)=1，f(5)=7；函數的值域是{-3,-1,1,3,7}. ⑵(補充題)：解：∵f(x2+1)=3(x2+1)+1=3x2+4，f(x2)+1=3x2+1+1 =3x2+2，而f(x2+1)-f(x2)+1=3x2+4-(3x2+2)=2，∴f(x2+1)與f(x2)+1相差2. 三、小 結 ⒈函數是一種特殊的映射f：A→B，其中集合A，B必須是非空的數集；y=f(x)表示y是x的函數； ⒉定義域、值域和對應法則是函數的三要素，定義域和對應法則一經確定，值域隨之確定. ⒊f(x)與f(a)既有區(qū)別也有聯系：f(a)表示f(x)在x=a時的函數值，是常量；而f(x)是x的函數，通常是變量. 4.表示函數的方法，常用的有解析法、列表法和圖象法三種. 四、布置作業(yè) (一)復習：課本內容，熟悉鞏固有關概念. (二)書面：課本P57習題2.2：1，3.