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2019-2020年高中數(shù)學 統(tǒng)計 板塊六 回歸分析完整講義（學生版） 知識內容 一．隨機抽樣 1．隨機抽樣：滿足每個個體被抽到的機會是均等的抽樣，共有三種經(jīng)常采用的隨機抽樣方法： ⑴簡單隨機抽樣：從元素個數(shù)為的總體中不放回地抽取容量為的樣本，如果每一次抽取時總體中的各個個體有相同的可能性被抽到，這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣． 抽出辦法：①抽簽法：用紙片或小球分別標號后抽簽的方法． ②隨機數(shù)表法：隨機數(shù)表是使用計算器或計算機的應用程序生成隨機數(shù)的功能生成的一張數(shù)表．表中每一位置出現(xiàn)各個數(shù)字的可能性相同． 隨機數(shù)表法是對樣本進行編號后，按照一定的規(guī)律從隨機數(shù)表中讀數(shù)，并取出相應的樣本的方法． 簡單隨機抽樣是最簡單、最基本的抽樣方法． ⑵系統(tǒng)抽樣：將總體分成均衡的若干部分，然后按照預先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到所需要的樣本的抽樣方法． 抽出辦法：從元素個數(shù)為的總體中抽取容量為的樣本，如果總體容量能被樣本容量整除，設，先對總體進行編號，號碼從到，再從數(shù)字到中隨機抽取一個數(shù)作為起始數(shù)，然后順次抽取第個數(shù)，這樣就得到容量為的樣本．如果總體容量不能被樣本容量整除，可隨機地從總體中剔除余數(shù)，然后再按系統(tǒng)抽樣方法進行抽樣． 系統(tǒng)抽樣適用于大規(guī)模的抽樣調查，由于抽樣間隔相等，又被稱為等距抽樣． ⑶分層抽樣：當總體有明顯差別的幾部分組成時，要反映總體情況，常采用分層抽樣，使總體中各個個體按某種特征分成若干個互不重疊的幾部分，每一部分叫做層，在各層中按層在總體中所占比例進行簡單隨機抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣． 分層抽樣的樣本具有較強的代表性，而且各層抽樣時，可靈活選用不同的抽樣方法，應用廣泛． 2．簡單隨機抽樣必須具備下列特點： ⑴簡單隨機抽樣要求被抽取的樣本的總體個數(shù)是有限的． ⑵簡單隨機樣本數(shù)小于等于樣本總體的個數(shù)． ⑶簡單隨機樣本是從總體中逐個抽取的． ⑷簡單隨機抽樣是一種不放回的抽樣． ⑸簡單隨機抽樣的每個個體入樣的可能性均為． 3．系統(tǒng)抽樣時，當總體個數(shù)恰好是樣本容量的整數(shù)倍時，??； 若不是整數(shù)時，先從總體中隨機地剔除幾個個體，使得總體中剩余的個體數(shù)能被樣本容量整除．因為每個個體被剔除的機會相等，因而整個抽樣過程中每個個體被抽取的機會仍然相等，為． 二．頻率直方圖 列出樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖的步驟： ①計算極差：找出數(shù)據(jù)的最大值與最小值，計算它們的差； ②決定組距與組數(shù)：取組距，用決定組數(shù)； ③決定分點：決定起點，進行分組； ④列頻率分布直方圖：對落入各小組的數(shù)據(jù)累計，算出各小數(shù)的頻數(shù)，除以樣本容量，得到各小組的頻率． ⑤繪制頻率分布直方圖：以數(shù)據(jù)的值為橫坐標，以的值為縱坐標繪制直方圖， 知小長方形的面積＝組距＝頻率． 頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖各個長方形上邊的中點用線段連接起來，就得到頻率分布折線圖，一般把折線圖畫成與橫軸相連，所以橫軸左右兩端點沒有實際意義． 總體密度曲線：樣本容量不斷增大時，所分組數(shù)不斷增加，分組的組距不斷縮小，頻率分布直方圖可以用一條光滑曲線來描繪，這條光滑曲線就叫做總體密度曲線．總體密度曲線精確地反映了一個總體在各個區(qū)域內取值的規(guī)律． 三．莖葉圖 制作莖葉圖的步驟： ①將數(shù)據(jù)分為“莖”、“葉”兩部分； ②將最大莖與最小莖之間的數(shù)字按大小順序排成一列，并畫上豎線作為分隔線； ③將各個數(shù)據(jù)的“葉”在分界線的一側對應莖處同行列出． 四．統(tǒng)計數(shù)據(jù)的數(shù)字特征 用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)；用樣本標準差估計總體標準差． 數(shù)據(jù)的離散程序可以用極差、方差或標準差來描述． 極差又叫全距，是一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之差，反映一組數(shù)據(jù)的變動幅度； 樣本方差描述了一組數(shù)據(jù)平均數(shù)波動的大小，樣本的標準差是方差的算術平方根． 一般地，設樣本的元素為樣本的平均數(shù)為， 定義樣本方差為， 樣本標準差 簡化公式：． 五．獨立性檢驗 1．兩個變量之間的關系； 常見的有兩類：一類是確定性的函數(shù)關系；另一類是變量間存在關系，但又不具備函數(shù)關系所要求的確定性，它們的關系是帶有一定隨機性的．當一個變量取值一定時，另一個變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系叫做相關關系． 2．散點圖：將樣本中的個數(shù)據(jù)點描在平面直角坐標系中，就得到了散點圖． 散點圖形象地反映了各個數(shù)據(jù)的密切程度，根據(jù)散點圖的分布趨勢可以直觀地判斷分析兩個變量的關系． 3．如果當一個變量的值變大時，另一個變量的值也在變大，則這種相關稱為正相關；此時，散點圖中的點在從左下角到右上角的區(qū)域． 反之，一個變量的值變大時，另一個變量的值由大變小，這種相關稱為負相關．此時，散點圖中的點在從左上角到右下角的區(qū)域． 散點圖可以判斷兩個變量之間有沒有相關關系． 4．統(tǒng)計假設：如果事件與獨立，這時應該有，用字母表示此式，即，稱之為統(tǒng)計假設． 5．（讀作“卡方”）統(tǒng)計量： 統(tǒng)計學中有一個非常有用的統(tǒng)計量，它的表達式為，用它的大小可以用來決定是否拒絕原來的統(tǒng)計假設．如果的值較大，就拒絕，即認為與是有關的． 統(tǒng)計量的兩個臨界值：、；當時，有的把握說事件與有關；當時，有的把握說事件與有關；當時，認為事件與是無關的． 獨立性檢驗的基本思想與反證法類似，由結論不成立時推出有利于結論成立的小概率事件發(fā)生，而小概率事件在一次試驗中通常是不會發(fā)生的，所以認為結論在很大程度上是成立的． 1．獨立性檢驗的步驟：統(tǒng)計假設：；列出聯(lián)表；計算統(tǒng)計量；查對臨界值表，作出判斷． 2．幾個臨界值：． 聯(lián)表的獨立性檢驗： 如果對于某個群體有兩種狀態(tài)，對于每種狀態(tài)又有兩個情況，這樣排成一張的表，如下： 狀態(tài) 狀態(tài) 合計 狀態(tài) 狀態(tài) 如果有調查得來的四個數(shù)據(jù)，并希望根據(jù)這樣的個數(shù)據(jù)來檢驗上述的兩種狀態(tài)與是否有關，就稱之為聯(lián)表的獨立性檢驗． 六．回歸分析 1．回歸分析：對于具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法叫做回歸分析，即回歸分析就是尋找相關關系中這種非確定關系的某種確定性． 回歸直線：如果散點圖中的各點都大致分布在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線． 2．最小二乘法： 記回歸直線方程為：，稱為變量對變量的回歸直線方程，其中叫做回歸系數(shù)． 是為了區(qū)分的實際值，當取值時，變量的相應觀察值為，而直線上對應于的縱坐標是． 設的一組觀察值為，，且回歸直線方程為， 當取值時，的相應觀察值為，差刻畫了實際觀察值與回歸直線上相應點的縱坐標之間的偏離程度，稱這些值為離差． 我們希望這個離差構成的總離差越小越好，這樣才能使所找的直線很貼近已知點． 記，回歸直線就是所有直線中取最小值的那條． 這種使“離差平方和為最小”的方法，叫做最小二乘法． 用最小二乘法求回歸系數(shù)有如下的公式： ，，其中上方加“”，表示是由觀察值按最小二乘法求得的回歸系數(shù)． 3．線性回歸模型：將用于估計值的線性函數(shù)作為確定性函數(shù)；的實際值與估計值之間的誤差記為，稱之為隨機誤差；將稱為線性回歸模型． 產生隨機誤差的主要原因有： ①所用的確定性函數(shù)不恰當即模型近似引起的誤差； ②忽略了某些因素的影響，通常這些影響都比較小； ③由于測量工具等原因，存在觀測誤差． 4．線性回歸系數(shù)的最佳估計值： 利用最小二乘法可以得到的計算公式為 ，，其中， 由此得到的直線就稱為回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程．其中，分別為，的估計值，稱為回歸截距，稱為回歸系數(shù)，稱為回歸值． 5．相關系數(shù)： 6．相關系數(shù)的性質： ⑴； ⑵越接近于1，的線性相關程度越強； ⑶越接近于0，的線性相關程度越弱． 可見，一條回歸直線有多大的預測功能，和變量間的相關系數(shù)密切相關． 7．轉化思想： 根據(jù)專業(yè)知識或散點圖，對某些特殊的非線性關系，選擇適當?shù)淖兞看鷵Q，把非線性方程轉化為線性回歸方程，從而確定未知參數(shù)． 8．一些備案 ①回歸（regression）一詞的來歷：“回歸”這個詞英國統(tǒng)計學家Francils Galton提出來的．1889年，他在研究祖先與后代的身高之間的關系時發(fā)現(xiàn)，身材較高的父母，他們的孩子也較高，但這些孩子的平均身高并沒有他們父母的平均身高高；身材較矮的父母，他們的孩子也較矮，但這些孩子的平均身高卻比他們父母的平均身高高．Galton把這種后代的身高向中間值靠近的趨勢稱為“回歸現(xiàn)象”．后來，人們把由一個變量的變化去推測另一個變量的變化的方法稱為回歸分析． ②回歸系數(shù)的推導過程： ， 把上式看成的二次函數(shù)，的系數(shù)， 因此當時取最小值． 同理，把的展開式按的降冪排列，看成的二次函數(shù)，當時取最小值． 解得：，， 其中，是樣本平均數(shù)． 9． 對相關系數(shù)進行相關性檢驗的步驟： ①提出統(tǒng)計假設：變量不具有線性相關關系； ②如果以的把握作出推斷，那么可以根據(jù)與（是樣本容量）在相關性檢驗的臨界值表中查出一個的臨界值（其中稱為檢驗水平）； ③計算樣本相關系數(shù)； ④作出統(tǒng)計推斷：若，則否定，表明有的把握認為變量與之間具有線性相關關系；若，則沒有理由拒絕，即就目前數(shù)據(jù)而言，沒有充分理由認為變量與之間具有線性相關關系． 說明： ⑴對相關系數(shù)進行顯著性檢驗，一般取檢驗水平，即可靠程度為． ⑵這里的指的是線性相關系數(shù)，的絕對值很小，只是說明線性相關程度低，不一定不相關，可能是非線性相關的某種關系． ⑶這里的是對抽樣數(shù)據(jù)而言的．有時即使，兩者也不一定是線性相關的．故在統(tǒng)計分析時，不能就數(shù)據(jù)論數(shù)據(jù)，要結合實際情況進行合理解釋． 典例分析 題型一 線性相關及回歸 【例1】 已知變量與之間的相關系數(shù)是，查表得到相關系數(shù)臨界值，要使可靠性不低于，則變量與之間（ ） A．不具有線性相關關系 B．具有線性相關關系 C．線性相關關系還待進一步確定 D．具有確定性關系 【例2】 當相關系數(shù)時，表明（ ） A現(xiàn)象之間完全無關 B相關程度較小 C現(xiàn)象之間完全相關 D無直線相關關系 【例3】 下列結論中，能表示變量具有線性相關關系的是（ ） A． B． C． D． 【例4】 下列現(xiàn)象的相關密切程度最高的是（ ） A．某商店的職工人數(shù)與商品銷售額之間的相關系數(shù) B．流通費用水平與利潤率之間的相關關系為 C．商品銷售額與利潤率之間的相關系數(shù)為 D．商品銷售額與流通費用水平的相關系數(shù)為 【例5】 在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中，下列說法正確的是（ ） ①若的值為6．635，我們有的把握認為吸煙與患肺病有關系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺?。? ②從獨立性檢驗可知有的把握認為吸煙與患肺病有關系時，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺?。? ③若從統(tǒng)計量中求出有的把握認為吸煙與患肺病有關系，是指有的可能性使得判斷出現(xiàn)錯誤； ④以上三種說法都不正確． 【例6】 設兩個變量和之間具有線性相關關系，它們的相關系數(shù)是，關于的回歸直線的斜率是，縱截距是，那么必有（ ） A．與的符號相同 B．與的符號相同 C．與的相反 D．與的符號相反 【例7】 定義：點與直線的“縱向距離”為．已知三點，存在直線，使三點到直線的“縱向距離的平方和”最?。? ⑴求直線的方程和的最小值； ⑵判斷點與直線的位置關系． 【例8】 （xx寧夏海南卷理） 對變量，有觀測數(shù)據(jù)，得散點圖1；對變量，有觀測數(shù)據(jù)，得散點圖2． 由這兩個散點圖可以判斷． A．變量與正相關，與正相關 B．變量與正相關，與負相關 C．變量與負相關，與正相關 D．變量與負相關，與負相關 【例9】 為了考查兩個變量和之間的線性關系，甲、乙兩位同學各自獨立做了次和次的試驗， 并且利用線性回歸方法求得回歸直線分別為，已知兩人得到的試驗數(shù)據(jù)中，變量和的數(shù)據(jù)的平均值都對應相等，那么下列說法正確的是（　　） A．直線和一定有交點 B．直線一定平行于直線 C．直線一定與重合 D．以上都不對 【例10】 某地高校教育經(jīng)費與高校學生人數(shù)連續(xù)6年的統(tǒng)計資料如下： 教育經(jīng)費（萬元） 316 343 373 393 418 455 在校學生（萬人） 11 16 18 20 22 25 試求回歸直線方程，估計教育經(jīng)費為500萬元時的在校學生數(shù)． 【例11】 一家庭問題研究機構想知道是否夫妻所受的教育越高越不愿生孩子，現(xiàn)隨機抽樣了對夫妻，計算夫妻所受教育的總年數(shù)與孩子數(shù)，得結果如下 19 17 21 18 15 12 14 20 1 3 1 1 2 3 2 1 試求對回歸直線方程． 【例12】 某種產品的廣告費支出與銷售額（單位：百萬元）之間有如下對應數(shù)據(jù)： ⑴畫出散點圖；⑵求回歸直線方程． 【例13】 某五星級大飯店的住屋率與每天每間客房的成本（元）如下： 100 75 65 55 50 xx 2500 2800 3200 4000 ⑴試求對回歸直線； ⑵若的表示不變，以小數(shù)表示（如表為），求新的回歸直線． 【例14】 某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了至月份每月號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料： 日 期 月日 月日 月日 月日 月日 月日 晝夜溫差（） 就診人數(shù)（個） 該興趣小組確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中選取組，用剩下的組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的組數(shù)據(jù)進行檢驗． ⑴若選取的月與月的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)至月份的數(shù)據(jù)，求出關于的線性回歸方程； ⑵若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過人，則認為得到的線性回歸方程是理想的，試問該小組所得線性回歸方程是否理想? 【例15】 某種產品的產量與單位在成本的資料如下： 產量（千件） 2 3 4 3 4 5 單位成本（元/件） 73 72 71 73 69 68 試求： ⑴計算相關系數(shù)； ⑵對直線回歸方程； ⑶指出產量每增加件時，單位成本平均下降了多少元？ 【例16】 求回歸直線方程 以下是收集到的某城市的新房屋銷售價格與房屋的大小的數(shù)據(jù)： 房屋大?。ǎ? 銷售價格（萬元） ⑴畫出數(shù)據(jù)的散點圖； ⑵用最小二乘法求回歸直線方程； ⑶估計該城市一個平米的房屋銷售價格大約為多少？ ⑷寫一個程序，計算出和的值，再比較大?。? 【例17】 （07廣東）下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量（噸）與相應的生產能耗（噸標準煤）的幾組對照數(shù)據(jù) 3 4 5 6 3 4 ⑴請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； ⑵請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程； ⑶已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤．試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤? （參考數(shù)值：） 【例18】 測定某肉雞的生長過程，每兩周記錄一次雞的重量，數(shù)據(jù)如下表： （周） 2 4 6 8 10 12 14 （） 由經(jīng)驗知生長曲線為，試求對的回歸曲線方程． 【例19】 為了研究某種細菌隨時間x變化的繁殖個數(shù)，收集數(shù)據(jù)如下： 天數(shù) 1 2 3 4 5 6 繁殖個數(shù) 6 12 25 49 95 190 ⑴作出這些數(shù)據(jù)的散點圖； ⑵求出y對x的回歸方程．