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,幾何與代數(shù),主講: 王小六,東 南 大 學 線 性 代 數(shù) 課 程,集體答疑通知,時間：1月 11 日，上午9:00---11:00； 下午1:00---4:45. 地點：教八400(西側(cè)樓梯口附近),本班答疑,16周周一下午3-4節(jié)： 教四教師休息室 16周周三全天，周四中午和下午，周五上午：數(shù)學系525 同時歡迎網(wǎng)上答疑：QQ群, 課程中心,,第五章 習題解析,P203選擇3: A為對角陣，意味著和A相似的矩陣是可相似對角化的。 二重特征值1對應著2個線性無關的特征向量， r(1E-A) = 3-2=1, 據(jù)此可排除(B,C,D),P204選擇6: 選擇(D) tE-A可看成f(A), f(x)= t – x 或者(t – x)k. 若A和B相似，則(tE-A)k與(tE-B)k也是相似的.,P204 T1(3):,|λE-A|=,λ 0 0 -1 0 λ -1 0 0 -1 λ 0 -1 0 0 λ,,,= …,按照第一行或第一列展開,或者 =,r1 r4,,r4 + λ r1,-1 0 0 λ 0 λ -1 0 0 -1 λ 0 λ 0 0 -1,,,-,= …,2. A? = ?? = ?=3, a=1,4. A*的特征值是 ?0-1|A|,,anxn +…+ a1x + a0 +b1x-1+…+bmx-m,?(x) =,?(A)=,anAn +…+ a1A +a0E +b1A-1+…+bmA-m,A? = ??,?(A)? =?(?)?,,=,1.,如果?對應著兩個線性無關的特征向量,η1, η2 , 則需要對其進行組合k1η1+k2η2,,其中k1,k2不全為零.(作業(yè)批注k1k2≠0有誤),5.,A [1 1 …1] T = ?0 [1 1 …1] T,6. A2 – 3A + 2E = O 得 ? 2 – 3? + 2 = 0,從而 ? = 1 或者 2,舉例： A = E 或者 2E,7. A2 = E 得不到 A=E,A2 = E = A2 – E = O,A? = ??,=,?2 – 1 = 0,=,?= 1,假設? ≠ -1.,則 |A+E| ≠ 0.,則 A+E 可逆.,而A2 – E = O意味著(A+E)(A – E)=O .,兩邊同乘 (A+E)-1 ，則得結(jié)果.,10.,P1-1A1P1=B1, P2-1A2P2=B2,=,P1 P2,A1 A2,P1 P2,=,B1 B2,-1,P205 14.,?1, ?2 線性無關！,15.,有k (k1)重特征值也有可能線性相關！,只要k 重特征值對應k個線性無關的特征向量即可！,再次提醒：對角陣? 的對角元一定要與相似變換矩陣 P 的列向量對應！,18.,P-1AP= ? = A = P ? P-1,19.,只是利用跡和行列式相同，得不到結(jié)果！,還需利用“特征值相同”！,15.,(5) 若用對角線法則計算|?E-A|,易分解因式,P206 T20: 可聯(lián)系T14,P206 T22:,“?? T ”類型問題 (?,?為n維列向量),聯(lián)系 P207: T32，T33,復習1. A= ?? T = A2010 = ? (? T?)2009 ? T,插曲：計算An 還可用：相似對角化； 另外，有時候A2 或A3 具有一 些迭代性質(zhì)也利于簡化計算.,復習2. r(?? T) ≤ r(?), r(? T) ≤ 1. 又因為??T不是零矩陣，所以r(??T) =1 特別的， 對于非零?， r(?? T) =1. 所以，當 n1時，det(?? T)=0.,例.對于非零n(n1)維列向量?, ?, 計算A= ??T 的特征值和特征向量.,因為 A? = ??T? = ?(?T?) = (?T?)?, 所以?是一個對應于特征值?1= ?T? 的特征向量. 另外, Ax=? 的基礎解系中共有 n-r(A) = n-1 個線性無關的解向量η1 ,η2 ,…,ηn-1 .它們是對應特征值?2=0 的特征向量.,,分析：可算得A2 = ?T? A，從而知道A的特征值只能為? T? 或者0(或者直接計算).,當?T? ≠0 時， 可得A有n個線性無關的特征向量，從而A可以相似對角化,其相似于,,?T?,0,0,…,類似例題 A= ??T ，? 為實的非零列向量,注意，A為實對稱矩陣，一定可以相似對角化，相似于對角陣,,?T?,0,0,…,P207 第32題,A = p??T + q??T,P207 第33題,B = A –λ1??T,例 若A=(α1, α2,…,αn)是n階正交矩陣, 則 B=α1α1T+ α2 α2T+… +αrαrT (1≤r≤n)的特征多項式是?,習題五(B),26 注意(1) Q和?是相伴相隨的； (2) 正交化時，只需對同一特征值的 特征向量進行正交化； (3) 不要忘記單位化.,27,此題僅利用跡和行列式相等得不到結(jié)果.,28,p1?p3,p2?p3,,p3,P =(p1,p2,p3),A=P ?P-1,單位化,Q,A=Q?QT,29,類似28，行列式=0意味著一個特征值=0,30 A=Q?QT = r(A)=r(?),A2=Q?QT Q?QT =Q?2QT = r(A2)=r(?2),又因為 r(?) = r(?2)，所以r(A) = r(A2),第六章 習題解析,P238填空4: A可逆= Ax= θ 只有零解 = 當x ≠ θ時，Ax ≠ θ = xT(ATA)x = ||Ax||2 0,P238填空5:,方法3 配方,方法1 寫出實對稱陣A, 順序主子式大于0,方法2 求A的特征值；,例,假設二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+ax32+4x1x2-2x2x3,1. 求一可逆線性變換x=Cy將f化成標準形；,(配方法更適合這題),2. 求f的矩陣A. 問：當參數(shù)a取什么值時，A的特征值大于零？(方法很多),P238填空6: f(x,y) = (a+b2)x2 - (bx-y)2 + 1. 令可逆變換 x = x’, bx-y = y’, 則 f(x,y) = (a+b2)x’2 – y’2 + 1. 其在(0,0)達到極值 ? a+b2≤0,P238填空10: 橢球面：特征值都大于零，正慣性指數(shù)=3， 正定矩陣； 柱面：(虛)橢圓柱面或者雙曲柱面，有一個共性：秩為2 (特征值兩正一零或一正一負一零),P238選擇(2):,類似例題：問下列哪些矩陣是等價的，相似的，合同的？,1 1 1,0 0 1,0 0 0 2,0 0 -1,0 0 0,(4),(5),(3),(2),(1),1 1 0 1,(6),總結(jié): 假設A與B同階,A與B等價,秩相等,A與B相似,,秩相等,行列式相等,跡相等,特征值相等,,A與對角陣Λ相似,,k重特征值有k個線性無關的特征向量,A與對角陣Λ相似,,A為實對稱陣,,A與對角陣Λ相似,,特征值互異,實對稱矩陣A與B相似,,特征值相同,正確答案:,等價: (1),(4),(5); 以及 (2),(3),(6),相似: (1)(5);,合同: (1)(4)(5);,實對稱矩陣A與B合同,正負慣性指數(shù)相同,正負特征值個數(shù)相同,,,一個矩陣A若與對稱陣B合同, 則A必為對稱陣;,特別地, 一個矩陣A若與對角陣Λ合同, 則A必為對稱陣;,據(jù)此, 可排除(6)與其他矩陣合同的可能性,C選項如何排除？取特殊 x=(0,0,1)T,,如果一個方程的形式為,x2 + ay +bz + c = 0,,其中a, b 不同時為零，那么它一定 表示一個拋物柱面.,P239選擇(10):,P238選擇(5):,P239第3題：即使實矩陣A不是對稱矩陣, xTAx 也是一個二次型，其對應的二次型矩陣為 (A+AT) .,xTAx,xT [(A+AT)/2] x,xTAx +,直接分析,xTAx,=,xTAx +,(xTAx)T,例題：設A= ，若 xTAx=0對任意的n維列向量x成立, 則參數(shù) a,b,c,d 需要滿足什么條件？,a b c d,xTAx = xT x=0,a (b+c)/2 (b+c)/2 d,,注: 填空題中可直接使用上面的結(jié)論, 證明題中視情況是否需要證明.,1(4),2 4 0 3 5 0 0 6,1 2 1 3 5/2 2 5/2 6,4,=,P1 P2,A C,P1 P2,=,B D,T,P239,4,反之不成立. 需舉反例.,7,注意要求是正交變換.,第(2)題 特征值互異，特征向量自然正交.,0 0 0 0 1 0 0 0 4,x=Q1y,y22 + 4y32,4 0 0 0 1 0 0 0 0,x=Q2y,4y12 + y22,8,(1) x3=y3 不能丟；,(2) 代換兩次后，需復合，最后應寫成 x=Pz的形式,10,? =,0 0 0 2 0 0 0 5,與二次型對應,A = Q?QT = Q?1/2 ?1/2 QT( 最好交代?1/2) = Q?1/2 QTQ ?1/2 QT = (Q?1/2 QT) (Q?1/2 QT),P240第11題: xT(ATA)x 正定 ∨ x≠θ, xT(ATA)x 0 ∨ x≠θ, (Ax)TAx 0 ∨ x≠θ, ||Ax||20 ∨ x≠θ, Ax ≠θ Ax =θ沒有非零解 r(A) = 未知元的個數(shù) = A的列數(shù),?,?,?,?,P240第12題: 方法1: aii = ei AeiT 0, ei =[0,,0,1,0,…,0],,第i個分量,方法2: A = PTP. 記 P = (pij )nn . 則 aii = p1i p1i + p2i p2i +…+ pni pni,A = PTP 的另一個應用：,例題.設B為一個 n 階實對稱陣，A是n 階正定矩陣，則AB或BA的正負特征值的個數(shù)分別等于B 的正負慣性指數(shù).,AB = PTPB,(PT )-1 ABPT = PBPT,,,AB與PBPT 相似，所以它們具有相同的特征值。,PBPT與B合同，因此它們的正負慣性指數(shù)相同。從而結(jié)論得證。,,P240第14題: 此題可直接用定義來證明.請注意在用定義說明一個矩陣C是正定時，需要強調(diào)x是非零的向量. 因為x=θ時， xTCx = 0 !,下面對矩陣ATA做些討論.,P240第13題: “負定”,P240第14題: 注意矩陣ATA不是正定陣： xT AT Ax =||Ax||2 ≥ 0 (非負定),設mn矩陣A的秩為r, 則由一已知結(jié)論可得 r(ATA) = r(A) = r. 則 ATA 一定有r 個正的特征值, 剩余 n-r 個特征值均為0.,1 1 0 0,…,…,,r個1,另外，ATA 與下列矩陣合同,1 1 0 0,…,…,,r個1,事實上，設實對稱矩陣B的秩為r. 若 xTBx ≥ 0, ∨ n維列向量x， 則 B 一定有r 個正的特征值, 剩余 n-r 個特征值均為0.,,另外，B與下列矩陣合同,P240第15題: 可先從特征值的角度說明A* 和 A-1 是正定的，然后利用下面例題的證明思路，或利用P239習六(B)第4題的結(jié)論.,,?,6.1 二次型,第六章 二次型與二次曲面,例題. 設A, B都是實對稱矩陣, M =,A O O B,,,證明: M正定? A, B都正定.,證明: (?),① M正定,??x, y ? ?,, 0,, 0,,? A, B都正定.,,?,6.1 二次型,第六章 二次型與二次曲面,例題. 設A, B都是實對稱矩陣, M =,A O O B,,,證明: M正定? A, B都正定.,證明: (?),② 設P?1AP =,M正定? ?1, …, ?s, ?1, …, ?t 0,? A, B都正定.,,?,6.1 二次型,第六章 二次型與二次曲面,例題. 設A, B都是實對稱矩陣, M =,A O O B,,,證明: M正定? A, B都正定.,證明: (?),③ 設A為s階的, 則當i ? s時,,M正定? M的順序主子式 0,? A, B的順序主子式 0,,,,A,B,O,O,,,,M的i階順序主子式,= A的i階順序主子式,,當i s時, M的i階順序主子式,= |A|?B的i?s階順序主子式,,,? A, B都正定.,,?,6.1 二次型,第六章 二次型與二次曲面,例題. 設A, B都是實對稱矩陣, M =,A O O B,,,證明: M正定? A, B都正定.,證明: (?),① 因為A, B都正定,,PTAP = E, QTBQ = E,,所以存在可逆陣P, Q使,因而M正定.,,?,6.1 二次型,第六章 二次型與二次曲面,例題. 設A, B都是實對稱矩陣, M =,A O O B,,,證明: M正定? A, B都正定.,證明: (?),② 因為A, B都正定,,A = PTP, B = QTQ,,所以存在可逆陣P, Q使,因而M正定.,P240 17 題假設A是正定矩陣，B是實對稱矩陣，則存在可逆陣P使得PTAP, PTBP都為對角陣.,A正定,= 存在可逆P使PT AP=E,對于PT BP, 其是對稱的, 所以存在正交陣Q使得 QT (PT BP)Q= ?， ?是對角陣,而QT (PT AP)Q =QTEQ=E,= 可取M=PQ,例題(06-07試題).若,都是可逆的,都是正定,也是正定矩陣．,實對稱矩陣，且,矩陣，證明：,分析：可以利用“化成對角陣”的方法，用的其實是“化歸思想”.,,P240 第20題：注意不必求出正交變換矩陣Q.,設實對稱陣A 的特征值為?1, ?2 ,…, ?n . 則二次型 f=xTAx 在條件 x12 +x22 +…+xn2 =1 下的最大值一定是max{?1, ?2 ,…, ?n }, 最小值一定是min{?1, ?2 ,…, ?n }.,事實上，一定存在正交矩陣Q使得在可逆線性變換x=Qy下，二次型化為,我們可以總結(jié)：,f = ?1y12 + ?2 y22+…+ ?n yn2,且條件x12 +x22 +…+xn2 =1在正交變換下不變，即仍然成立 y12 +y22 +…+yn2 =1.,從而有， f ≤max{?1, ?2 ,…, ?n }(y12 +y22 +…+yn2 ) = max{?1, ?2 ,…, ?n },,以及， f ≥ min{?1, ?2 ,…, ?n }(y12 +y22 +…+yn2 ) = min{?1, ?2 ,…, ?n },,且容易驗證上述最大最小值可以取到. （注意條件： x12 +x22 +…+xn2=1 ）,,聯(lián)想,例題.設n階實對稱陣A 的特征值為?1, ?2 ,…, ?n . 證明： min{ xTAx/||x||2 :x≠? } = min{?1, ?2 ,…, ?n }, max{ xTAx/||x||2 :x≠? }= max{?1, ?2 ,…, ?n }, 其中x為n維列向量.,P241 第23題(6) 令 y’ = y+1,P241 第29題 投影曲線方程需聯(lián)立 z=0,P242 第35題 可逆線性變換也可化為標準形， 看出曲面類型.,P242 第37題 可以求出二次型部分的矩陣特 征值 2, k, 2-k, 據(jù)其正負討論曲面類型； 或者用配方法化為標準形討論.,P242 第33題 不要忘記“正交化”,本門課程的內(nèi)容體系,本門課程：研究矩陣的理論,第二章 矩陣 矩陣的定義和運算； 可逆矩陣:特殊矩陣; 分塊矩陣:為了更方便的運算; 初等變換:矩陣之間的一種變換；,第五章：相似變換(方陣),第六章：可逆變換(實對稱陣),特征值,慣性指數(shù),矩陣世界， 紛繁復雜， 如何找到不變的永恒,秩,第四章：向量空間是一種特殊的矩陣空間,尋找向量空間的極小生成元(基),尋找向量組的極大無關組,研究向量組中向量間的關系（線性相關性）,有了基, 就有了坐標；,定義內(nèi)積,引入正交的概念,構(gòu)造一組標準正交生成元,兩個 應用,刻畫矩陣A的列空間(列向量生成的子空間),刻畫Ax=?的解空間，即尋找基礎解系等,第三章 幾何空間(R3): 可看作是第四章的鋪墊，也可看作一種特殊的向量空間。,第一章 行列式和方程組: 它們是研究矩陣的工具。很多問題會被轉(zhuǎn)化為求行列式(特別是遇到方陣時)或求解方程組的問題。,期末不作要求的內(nèi)容,3.5 空間直角坐標變換 4.6 線性方程組的最小二乘解 5.4 矩陣的Jordan標準形 Matlab,總復習 (難題，典型題),1. 化歸的思想,把一般的矩陣 ? 對角陣 (相似，合同),把一般的矩陣 ? 等價標準型,例題.證明：給定一個n n矩陣A,一定存在一個可逆陣P和一個矩陣C，使得 A = PC, 且 C2 =C.,提示：可聯(lián)系習題二(B) 29，28,分析：設 M, N 為可逆陣使得 A=MBN, 其中 B為A的等價標準形. 不難驗證 B2 = B. 令 C= N-1BN, P=MN, 命題得證.,2 “?? T ”類型問題 (?,?為n維列向量),參見 P206 第22題,例. 設A與E?A都可逆, G = (E?A)?1?E, 求證G也 可逆, 并求G?1.,證明: G = (E?A)?1? (E?A)?1(E?A),= (E?A)?1(E? (E?A)) = (E?A)?1A,G?1 = A?1(E?A) = A?1 ?E.,3. 會求逆矩陣,注：您是如何算函數(shù) (1-x)-1 -1 的倒數(shù)？,方法很多！,(3) (A+kE)(A+(1-k)E)=(2+k-k2)E,,(A+kE)A+(1-k)E=E,(2+k-k2),,P87 15題. 已知 A2+A-2E=O,當 2+k-k2 = 0時如何？,此時 k=2 (k要求是自然數(shù))， 則A+2E可逆嗎,由 A2+A-2E=O 得 (A+2E)(A-E)=O,若A+2E可逆， 則A=E，從而A+2E=3E,所以 (A+kE)-1 = E,4 熟悉矩陣運算 (1)如矩陣A的各行元素之和等于零，能得到什么？ 如矩陣A的各列元素之和等于零，能得到什么？,(2) 聯(lián)系A與A*：AA*=|A|E,A與B相似，A可逆，則A*與B*相似.,A*的秩與A的秩之間的關系(習題二(B)31題).,(3) 設A,B是n階正交矩陣，并且|AB|=-1，證明|A+B|=0.,證：不妨設|A|=1，|B|=-1. 則|BT|=-1. |A+B||BT|=|ABT+BBT|=|ABT+E| =|ABT+AAT| =|A(BT+AT)| =|A||BT+AT|=|BT+AT|=|A+B|,(4) 設A為mn矩陣，B為nm矩陣，則有,tr(AB) =tr(BA),特別地， tr(??T )=tr(?T? ),,(5) 一般來說矩陣乘法不可交換，但當 AB=E 時， 則自然有 AB =BA.,例題(09-10-2幾代最后一題),假設A, B都是nn矩陣，若存在不為零的數(shù) x,y使得AB=xA+yB, 證明：AB=BA.,分析： AB-xA-yB = O,(A-yE)(B-xE) = xyE,(6)熟悉一些分塊矩陣的運算,(a) 若 AB=O, 則 A(b1,b2,…,bn) =(θ,θ,…, θ).,從而 Abi= θ, i =1, 2, , n; 也就是說B的列向量是Ax= θ 的解. 若bi不為零向量，還可以作為A的特征向量(前提是A為方陣).,(b) 若 A=(A1,A2,A3,A4), -2A1+A3-5A4= θ, 則 A(-2,0,1,-5)T =θ . 也就是說(-2,0,1,-5)T 是Ax= θ的解.,5. 此類題需掌握,例. 當參數(shù)k取什么值時， 直線,相交？,例. 討論下列三個平面的相對位置.,?1 : x+y+6z=3; ?2 : 2x+(a+1)y+(b+1)z =7; ?3 : (1-a)x + (2b-1)z =0.,其中，a, b 是參數(shù).,課后注釋：一般來說，第一步假定只有一個交點，此時可以得到a,b的一個范圍；在剩下的范圍內(nèi)，a,b 是一些具體的取值，我們就可以通過求解對應的具體方程組，來判斷解的情況，從而判斷平面的位置關系.,Ax=? 和 Ax=b解之間的 聯(lián)系及線性相關性,(1)熟練掌握P170-171: 32, 35, 36, 40,(2)根據(jù)參數(shù)討論方程組解的情形也是?？嫉狞c,(3) 例題 已知44矩陣A的秩為3, η1,η2,η3是線性方程組Ax=b的解, 且η1+η2 =(2,4,6,8)T, 3η2-2η3 =(1,3,5,7)T, 則Ax=b的通解為,,,例題,7 矩陣方程 AX=B, XA=B (不管A可逆與否，A是方陣與否),AX=B有解 ? r(A,B)=r(A),XA=B有解 ? ATXT=BT有解,?,r(AT, BT) = r(AT),8 “AB”和“BA”,(1) tr(AB)=tr(BA)；,(2) 若A或者B可逆，則AB與BA相似；,(3) 若A,B為n階方陣，則AB與BA的特征值相同.（如何證明？）,(4)設A, B均為n階正定矩陣, 證明: AB為 正定矩陣當且僅當 AB = BA.,若A滿足A2=kA， 則A的特征值為k或者0；注意到A(A-kE)=O，所以r(A)+r(A-kE) ≤n, 進一步可推得A有n個線性無關的特征向量，從而A可以相似對角化。,同理 A滿足A2=kE(k0)時，也一定可以相似對角化。,9. A2=kA, A2=kE,例 設n 階矩陣A 滿足A2 = 2A, 則以下結(jié)論中未必成立的是 . A?I 可逆, 且(A?I)?1 = A?I; A = O 或A = 2I; (C) 若2 不是A 的特征值, 則A = O; (D) |A| = 0 或A = 2I.,B,10. 會畫圖.,例題(09-10-2幾代試題),設π1是拋物線 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所得曲面， π2是平面x-2y+z=4. 求π1的方程；求π1與π2的交線在xOy平面上的投影曲線的方程；并畫出由π1、π2所圍成的空間有界區(qū)域的草圖.,π1 : (x2+z2)+2y=0,π2 : x-2y+z=4,,消去z,x2+(4-x+2y)2+2y=0,聯(lián)立z=0, 得投影曲線方程,x-2y+z=4,π1：,π2：,,,,,,,,,,,,,x,y,z,o,4,4,-2,12 說明一個命題不成立，只需一個反例； 說明一個命題成立，一個例子是不夠的。,11 沒有辦法的時候，要想到從定義出發(fā)給出證明；或者“待定系數(shù)法”,天高任鳥飛 海闊憑魚躍,