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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)》教案16（第一課時）蘇教版必修1 教學(xué)分析 有了前面的知識儲備,我們就可以順理成章地學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的概念,作指數(shù)函數(shù)的圖象以及研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì). 教材為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之外就感受到指數(shù)函數(shù)的實際背景,先給出兩個具體例子:GDP的增長問題和碳14的衰減問題.前一個問題,既讓學(xué)生回顧了初中學(xué)過的整數(shù)指數(shù)冪,也讓學(xué)生感受到其中的函數(shù)模型,并且還有思想教育價值.后一個問題讓學(xué)生體會其中的函數(shù)模型的同時,激發(fā)學(xué)生探究分數(shù)指數(shù)冪、無理數(shù)指數(shù)冪的興趣與欲望,為新知識的學(xué)習(xí)作了鋪墊. 本節(jié)安排的內(nèi)容蘊涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法,如推廣的思想(指數(shù)冪運算律的推廣)、類比的思想、逼近的思想(有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪)、數(shù)形結(jié)合的思想(用指數(shù)函數(shù)的圖象研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì))等,同時,編寫時充分關(guān)注與實際問題的結(jié)合,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值. 根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點,教學(xué)中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量,盡量利用計算器和計算機創(chuàng)設(shè)教學(xué)情景,為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持. 三維目標 1.通過實際問題了解指數(shù)函數(shù)的實際背景,理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義,根據(jù)圖象理解和掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),體會具體到一般數(shù)學(xué)討論方式及數(shù)形結(jié)合的思想. 2.讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)來自生活,數(shù)學(xué)又服務(wù)于生活的哲理.培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)乃季S和科學(xué)正確的計算能力. 3.通過訓(xùn)練點評,讓學(xué)生更能熟練指數(shù)冪運算性質(zhì).展示函數(shù)圖象,讓學(xué)生通過觀察,進而研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的簡潔美和統(tǒng)一美. 重點難點 教學(xué)重點：指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)及其應(yīng)用. 教學(xué)難點：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的歸納、概括及其應(yīng)用. 課時安排 3課時 教學(xué)過程 第1課時 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1) 導(dǎo)入新課 思路1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的,寫出存留污垢y與漂洗次數(shù)x的關(guān)系式,它是函數(shù)關(guān)系式嗎？若是,請計算若要使存留的污垢不超過原有的,則至少要漂洗幾次？教師引導(dǎo)學(xué)生分析,列出關(guān)系式y(tǒng)=()x,發(fā)現(xiàn)這個關(guān)系式是個函數(shù)關(guān)系且它的自變量在指數(shù)的位置上,這樣的函數(shù)叫指數(shù)函數(shù),引出本節(jié)課題. 思路2.教師復(fù)習(xí)提問指數(shù)冪的運算性質(zhì),并要求學(xué)生計算23,20,2-2,16,27,49.再提問怎樣畫函數(shù)的圖象,學(xué)生思考,分組交流,寫出自己的答案8,1, ,2,9,,先建立平面直角坐標系,再描點,最后連線.點出本節(jié)課題. 思路3.在本章的開頭,問題（2）中時間t和碳14含量P的對應(yīng)關(guān)系P=［()］t,如果我們用x表示時間,y表示碳14的含量,則上述關(guān)系可表示為y=［()］x,這是我們習(xí)慣上的函數(shù)形式,像這種自變量在指數(shù)的位置上的函數(shù),我們稱為指數(shù)函數(shù),下面我們給出指數(shù)函數(shù)的確切概念,從而引出課題. 推進新課 新知探究 提出問題 1.一種放射性物質(zhì)不斷衰減為其他物質(zhì),每經(jīng)過一年剩留量約是原來的84%,求出這種物質(zhì)經(jīng)過x年后的剩留量y與x的關(guān)系式是_________.(y=0.84x) 2.某種細胞分裂時,由一個分裂成兩個,兩個分裂成四個,四個分裂成十六個,依次類推,一個這樣的細胞分裂x次后,得到的細胞個數(shù)y與x的關(guān)系式是_________.(y=2x) 提出問題 (1)你能說出函數(shù)y=0.84x與函數(shù)y=2x的共同特征嗎? (2)你是否能根據(jù)上面兩個函數(shù)關(guān)系式給出一個一般性的概念? (3)為什么指數(shù)函數(shù)的概念中明確規(guī)定a>0,a≠1? (4)為什么指數(shù)函數(shù)的定義域是實數(shù)集? (5)如何根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義判斷一個函數(shù)是否是一個指數(shù)函數(shù)？請你說出它的步驟. 活動：先讓學(xué)生仔細觀察,交流討論,然后回答,教師提示點撥,及時鼓勵表揚給出正確結(jié)論的學(xué)生,引導(dǎo)學(xué)生在不斷探索中提高自己的應(yīng)用知識的能力,教師巡視,個別輔導(dǎo),針對學(xué)生共性的問題集中解決. 問題(1)看這兩個函數(shù)的共同特征,主要是看底數(shù)和自變量以及函數(shù)值. 問題(2)一般性的概念是指用字母表示不變化的量即常量. 問題(3)為了使運算有意義,同時也為了問題研究的必要性. 問題(4)在(3)的規(guī)定下,我們可以把ax看成一個冪值,一個正數(shù)的任何次冪都有意義. 問題(5)使學(xué)生回想指數(shù)函數(shù)的定義,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義判斷一個函數(shù)是否是一個指數(shù)函數(shù),緊扣指數(shù)函數(shù)的形式. 討論結(jié)果：(1)對于兩個解析式我們看到每給自變量x一個值,y都有唯一確定的值和它對應(yīng),再就是它們的自變量x都在指數(shù)的位置上,它們的底數(shù)都大于0,但一個大于1,一個小于1.0.84與2雖然不同,但它們是兩個函數(shù)關(guān)系中的常量,因為變量只有x和y. (2)對于兩個解析式y(tǒng)=0.84x和y=2x,我們把兩個函數(shù)關(guān)系中的常量用一個字母a來表示,這樣我們得到指數(shù)函數(shù)的定義: 一般地,函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)叫做指數(shù)函數(shù),其中x叫自變量,函數(shù)的定義域是實數(shù)集R. (3)a=0時,x>0時,ax總為0;x≤0時,ax沒有意義. a<0時,如a=-2,x=,ax=(-2)=顯然是沒有意義的. a=1時,ax恒等于1,沒有研究的必要. 因此規(guī)定a>0,a≠1.此解釋只要能說明即可,不要深化. (4)因為a>0,x可以取任意的實數(shù),所以指數(shù)函數(shù)的定義域是實數(shù)集R. (5)判斷一個函數(shù)是否是一個指數(shù)函數(shù),一是看底數(shù)是否是一個常數(shù),再就是看自變量是否是一個x且在指數(shù)位置上,滿足這兩個條件的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù). 提出問題 (1)前面我們學(xué)習(xí)函數(shù)的時候,根據(jù)什么思路研究函數(shù)的性質(zhì),對指數(shù)函數(shù)呢? (2)前面我們學(xué)習(xí)函數(shù)的時候,如何作函數(shù)的圖象?說明它的步驟. (3)利用上面的步驟,作函數(shù)y=2x的圖象. (4)利用上面的步驟,作函數(shù)y=()x的圖象. (5)觀察上面兩個函數(shù)的圖象各有什么特點,再畫幾個類似的函數(shù)圖象,看是否也有類似的特點? (6)根據(jù)上述幾個函數(shù)圖象的特點,你能歸納出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)嗎? (7)把y=2x和y=()x的圖象,放在同一坐標系中,你能發(fā)現(xiàn)這兩個圖象的關(guān)系嗎? (8)你能證明上述結(jié)論嗎? (9)能否用y=2x的圖象畫y=()x的圖象?請說明畫法的理由. 活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧需要研究的函數(shù)的那些性質(zhì),共同討論研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的方法,強調(diào)數(shù)形結(jié)合,強調(diào)函數(shù)圖象在研究函數(shù)性質(zhì)中的作用,注意從具體到一般的思想方法的運用,滲透概括能力的培養(yǎng),進行課堂巡視,個別輔導(dǎo),投影展示畫得好的部分學(xué)生的圖象,同時投影展示課本表21,22及圖2.12,2.13及2.14,及時評價學(xué)生,補充學(xué)生回答中的不足.學(xué)生獨立思考,提出研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的思路,獨立畫圖,觀察圖象及表格,表述自己的發(fā)現(xiàn),同學(xué)們相互交流,形成對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的認識,推薦代表發(fā)表本組的集體的認識. 討論結(jié)果：(1)我們研究函數(shù)時,根據(jù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì),由具體到一般,一般要考慮函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性,有時也通過畫函數(shù)圖象,從圖象的變化情況來看函數(shù)的性質(zhì). (2)一般是列表,描點,連線,借助多媒體手段畫出圖象,用計算機作函數(shù)的圖象. (3)列表. x -3.00 -2.50 -2.00 -1.50 -1.00 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 y=2x 1 2 4 作圖如圖2-1-2-1 圖2-1-2-1 (4)列表. x -2.50 -2.00 -1.50 -1.00 0.00 1.00 1.50 2.00 2.50 y=()x 1 2 4 作圖如圖2-1-2-2 圖2-1-2-2 (5)通過觀察圖2121,可知圖象左右延伸,無止境說明定義域是實數(shù).圖象自左至右是上升的,說明是增函數(shù),圖象位于x軸上方,說明值域大于0.圖象經(jīng)過點（0,1）,且y值分布有以下特點,x<0時00時y>1.圖象不關(guān)于x軸對稱,也不關(guān)于y軸對稱,說明函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). 通過觀察圖2122,可知圖象左右延伸,無止境說明定義域是實數(shù).圖象自左至右是下降的,說明是減函數(shù),圖象位于x軸上方,說明值域大于0.圖象經(jīng)過點（0,1）,x<0時y>1,x>0時01和0,a≠1),y=(-4)x,y=πx,y=6x3+2. 活動：學(xué)生觀察,小組討論,嘗試解決以上題目,學(xué)生緊扣指數(shù)函數(shù)的定義解題,因為y=x2,y=24x,y=6x3+2都不符合y=ax的形式,教師強調(diào)y=ax的形式的重要性,即a前面的系數(shù)為1,a是一個正常數(shù)（也可是一個表示正常數(shù)的代數(shù)式）,指數(shù)必須是x的形式或通過轉(zhuǎn)化后能化為x的形式. 解：y=8x,y=(2a-1)x(a>,a≠1),y=(-4)x,y=πx是指數(shù)函數(shù);y=x2,y=24x,y=6x3+2不是指數(shù)函數(shù). 變式訓(xùn)練 函數(shù)y=23x,y=ax+k,y=a-x,y=()-2x(a>0,a≠1)中是指數(shù)函數(shù)的有哪些? 答案：y=23x=(23)x,y=a-x=()x,y=()-2x=［()-2］x是指數(shù)函數(shù). 例2比較下列各題中的兩個值的大小: （1）1.72.5與1.73;(2)0.8-0.1與0.8-0.2;(3)1.70.3與0.93.1. 活動：學(xué)生自己思考或討論,回憶比較數(shù)的大小的方法,結(jié)合題目實際,選擇合理的,再寫出（最好用實物投影儀展示寫得正確的答案）,比較數(shù)的大小,一是作差,看兩個數(shù)差的符號,若為正,則前面的數(shù)大;二是作商,但必須是同號數(shù),看商與1的大小,再決定兩個數(shù)的大小;三是計算出每個數(shù)的值,再比較大小;四是利用圖象;五是利用函數(shù)的單調(diào)性.教師在學(xué)生中巡視其他學(xué)生的解答,發(fā)現(xiàn)問題及時糾正并及時評價. 解法一：用數(shù)形結(jié)合的方法,如第（1）小題,用圖形計算器或計算機畫出y=1.7x的圖象,如圖2-1-2-4. 圖2-1-2-4 在圖象上找出橫坐標分別為2.5、3的點,顯然,圖象上橫坐標為3的點在橫坐標為2.5的點的上方,所以1.72.5<1.73,同理0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1. 解法二：用計算器直接計算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91, 所以1.72.5<1.73.同理0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1. 解法三：利用函數(shù)單調(diào)性, ①1.72.5與1.73的底數(shù)是1.7,它們可以看成函數(shù)y=1.7x,當(dāng)x=2.5和3時的函數(shù)值；因為1.7>1,所以函數(shù)y=1.7x在R上是增函數(shù),而2.5<3,所以1.72.5<1.73； ②0.8-0.1與0.8-0.2的底數(shù)是0.8,它們可以看成函數(shù)y=0.8x,當(dāng)x=-0.1和-0.2時的函數(shù)值；因為0<0.8<1,所以函數(shù)y=0.8x在R上是減函數(shù),而-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2； ③因為1.70.3>1,0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1. 點評：在第（3）小題中,可以用解法一、解法二解決,但解法三不適合.由于1.70.3與0.93.1不能直接看成某個函數(shù)的兩個值,因此,在這兩個數(shù)值間找到1,把這兩數(shù)值分別與1比較大小,進而比較1.70.3與0.93.1的大小,這里的1是中間值. 思考在上面的解法中你認為哪種方法更實用? 活動：學(xué)生對上面的三種解法作比較,解題有法但無定法,我們要采取多種解法,在多種解法中選擇最優(yōu)解法,這要通過反復(fù)練習(xí),強化來實現(xiàn). 變式訓(xùn)練 1.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,按大小順序排列a,b,c. 答案：ba;當(dāng)a>1時,a0且y≠1｝. (2)因為-|x|≥0,所以只有x=0. 因此函數(shù)y=()的定義域是｛x∣x=0｝. 而y=()=()0=1,即函數(shù)y=()的值域是｛y∣y=1｝. (3)令≥0,得≥0, 即≥0,解得x<-1或x≥1, 因此函數(shù)y=10的定義域是｛x∣x<-1或x≥1｝. 由于-1≥0,且≠2,所以≥0且≠1. 故函數(shù)y=10的值域是｛y∣y≥1,y≠10｝. 點評：求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域和值域時,要注意到充分考慮并利用指數(shù)函數(shù)本身的要求,并利用好指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,特別是第(1)題千萬不能漏掉y>0. 變式訓(xùn)練 求下列函數(shù)的定義域和值域: (1)y=();(2)y=;(3)y=ax-1(a>0,a≠1). 答案：(1)函數(shù)y=()的定義域是R,值域是［,+∞）;(2)函數(shù)y=的定義域是［,+∞）,值域是［0,+∞）;(3)當(dāng)a>1時,定義域是{x|x≥0},當(dāng)030.7; 對(2)因為0.75-0.1=1.029186,0.750.1=0.971642,所以0.75-0.1>0.750.1; 對(3)因為1.80.6=1.422864,0.81.6=0.699752,所以1.80.6>0.81.6; 對(4)因為()=2.080084,2=0.659754,所以()>2. 解法二：利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對兩個數(shù)進行大小的比較: 對(1)因為函數(shù)y=3x在R上是增函數(shù),0.8＞0.7,所以30.8>30.7; 對(2)因為函數(shù)y=0.75x在R上是減函數(shù),0.1＞-0.1,所以0.75-0.1>0.750.1; 對(3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知1.80.6>1.80=1=0.80>0.81.6,所以1.80.6>0.81.6; 對(4)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知()>()0=1=20>2,所以()>2. 解法三:利用圖象法來解,具體解法略. 點評：在利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對兩個數(shù)進行大小比較時,首先把這兩個數(shù)看作指數(shù)函數(shù)的兩個函數(shù)值,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較.若兩個數(shù)不是同一函數(shù)的兩個函數(shù)值,則尋求一個中間量,兩個數(shù)都與這個中間量進行比較,這是常用的比較數(shù)的大小的方法,然后得兩個數(shù)的大小,數(shù)學(xué)上稱這種方法為“中間量法”. 變式訓(xùn)練 比較與(a>0,a≠1,n∈N*,n>2)的大小關(guān)系. 解：因為=a,=a,而n∈N*，n>2, 所以=>0,即. 因此：當(dāng)a>1時a>a，即>；當(dāng)00,a≠1)對任意的實數(shù)x,y都有( ) A.f(xy)=f(x)f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y) C.f(x+y)=f(x)f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y) 答案：C 3.函數(shù)y=ax+5+1(a>0,a≠1)恒過定點________. 答案：（-5,2） 拓展提升 探究一： 在同一坐標系中作出函數(shù)y=2x,y=3x,y=10x的圖象,比較這三個函數(shù)增長的快慢. 活動：學(xué)生深刻回顧作函數(shù)圖象的方法,交流作圖的體會.列表、描點、連線,作出函數(shù)y=2x,y=3x,y=10x的圖象,如圖2-1-2-6. x -2 -1 0 1 2 3 10 y=2x 0.25 0.5 1 2 4 8 1024 y=3x 0.11 0.33 1 3 9 27 59049 y=10x 0.01 0.1 1 10 100 1000 1010 圖2-1-2-6 從表格或圖象可以看出: (1)x<0時,有2x>3x>10x; (2)x>0時,有2x<3x<10x; (3)當(dāng)x從0增長到10,函數(shù)y=2x的值從1增加到1 024,而函數(shù)y=3x的值從1增加到59 049.這說明x>0時y=3x比y=2x的函數(shù)值增長得快.同理y=10x比y=3x的函數(shù)值增長得快. 因此得：一般地,a>b>1時,(1)x<0時,有ax0時,有ax>bx>1; (4)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大,x>0時其函數(shù)值增長就越快. 探究二： 分別畫出底數(shù)為0.2、0.3、0.5的指數(shù)函數(shù)的圖象(圖2-1-2-7),對照底數(shù)為2、3、5的指數(shù)函數(shù)的圖象,研究指數(shù)函數(shù)y=ax(00時,有axbx>1;(4)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)越小,x>0時,其函數(shù)值減少就越快. 課堂小結(jié) 1.指數(shù)函數(shù)的定義. 2.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì). 3.利用函數(shù)的圖象說出函數(shù)的性質(zhì),即數(shù)形結(jié)合的思想(方法),它是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想和研究方法. 4.利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較幾個數(shù)的大小,特別是中間變量法. 作業(yè) 課本P59習(xí)題2.1A組 5、6、8、10. 設(shè)計感想 本節(jié)課是在前面研究了函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上,研究具體的初等函數(shù),它是重要的初等函數(shù),它有著豐富的內(nèi)涵,且和我們的實際生活聯(lián)系密切,也是以后學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ),在指數(shù)函數(shù)的概念講解過程中,既要向?qū)W生說明定義域是什么,又要向?qū)W生交代，為什么規(guī)定底數(shù)a是大于0而不等于1的,本節(jié)內(nèi)容課堂容量大,要提高課堂的效率和節(jié)奏,多運用信息化的教學(xué)手段,順利完成本堂課的任務(wù).