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2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識(shí)精要 17.立體幾何教案 新人教A版 1．三個(gè)公理和三條推論： （1）公理1：一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。這是判斷直線在平面內(nèi)的常用方法。 （2）公理2：經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面。推論1：經(jīng)過(guò)直線和直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面。推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面。推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面。公理2和三個(gè)推論是確定平面的依據(jù)。 （3）公理3、如果兩個(gè)平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，它們有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，而且這無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)都在同一條直線上。這是判斷幾點(diǎn)共線（證這幾點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)）和三條直線共點(diǎn)（證其中兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上）的方法之一。 如（1）在空間四點(diǎn)中，三點(diǎn)共線是四點(diǎn)共面的_____條件（答：充分非必要）； （2）給出命題：①若A∈l，A∈α，B∈l ，B∈α，則 l α；②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，則α∩β＝AB；③若lα　，A∈l，則Aα　④若A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共線，則α與β重合。上述命題中，真命題是_____（答：①②④）； （3）長(zhǎng)方體中ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，BC=6，在線段BD，A1C1上各有一點(diǎn)P、Q，在PQ上有一點(diǎn)M，且PM=MQ，則M點(diǎn)的軌跡圖形的面積為_______（答：24） 2．直觀圖與三視圖 （1）直觀圖的畫法（斜二側(cè)畫法規(guī)則）：在畫直觀圖時(shí)，要注意：①使，所確定的平面表示水平平面。②已知圖形中平行于軸和軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度和平行性不變，平行于軸的線段平行性不變，但在直觀圖中其長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。 如（1）用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形為如下圖的一個(gè)正方形，則原來(lái)圖形的形狀是（　?。ù穑篈） （2）已知正的邊長(zhǎng)為，那么的平面直觀圖的面積為_____（答：） （2）三視圖畫法規(guī)則 高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊 長(zhǎng)對(duì)正：主視圖與俯視圖的長(zhǎng)應(yīng)對(duì)正 寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應(yīng)相等 3．空間直線的位置關(guān)系： （1）相交直線――有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。 （2）平行直線――在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)。 （3）異面直線――不在同一平面內(nèi)，也沒(méi)有公共點(diǎn)。 如（1）空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是四邊上的中點(diǎn)，則直線EG和FH的位置關(guān)系_____（答：相交）； （2）給出下列四個(gè)命題：①異面直線是指空間既不平行又不相交的直線；②兩異面直線，如果平行于平面，那么不平行平面；③兩異面直線，如果平面，那么不垂直于平面；④兩異面直線在同一平面內(nèi)的射影不可能是兩條平行直線 。其中正確的命題是_____（答：①③） 4．判定線線平行的方法： （1）公理4：平行于同一直線的兩直線互相平行；（找一線和這兩線都平行） （2）線面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交的交線和這條直線平行； （3）面面平行的性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行； （4）線面垂直的性質(zhì)：如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。 （5）利用中位線的性質(zhì)； 5．兩直線垂直的判定：轉(zhuǎn)化為證線面垂直； 相交垂直可以考慮勾股定理. 6．直線與平面的位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)；（2）直線與平面相交。其中，如果一條直線和平面內(nèi)任何一條直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直。注意：任一條直線并不等同于無(wú)數(shù)條直線；（3）直線與平面平行。其中直線與平面相交、直線與平面平行都叫作直線在平面外。 如（1）下列命題中，正確的是 Ａ、若直線平行于平面內(nèi)的一條直線b , 則 // 　 Ｂ、若直線垂直于平面的斜線b在平面內(nèi)的射影，則⊥b　　 Ｃ、若直線垂直于平面,直線b是平面的斜線，則與b是異面直線　　 Ｄ、若一個(gè)棱錐的所有側(cè)棱與底面所成的角都相等，且所有側(cè)面與底面所成的角也相等，則它一定是正棱錐（答：D）； （2）正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總保持AP⊥BD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是___________（答：線段B1C）。 7．直線與平面平行的判定和性質(zhì)： （1）判定： ①判定定理：如果平面內(nèi)一條直線和這個(gè)平面平面平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行； （在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行：找一平面過(guò)已知直線與已知平面相交，則交線就是） ②面面平行的性質(zhì)：若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線與另一個(gè)平面平行。 （找一平面過(guò)已知直線與已知平面平行） 另外，如下方法有時(shí)也用：α、β表示平面，a、b表示直線 ① （定義法）：通常反證 ②. （2）性質(zhì)：如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交的交線和這條直線平行。在遇到線面平行時(shí)，常需作出過(guò)已知直線且與已知平面相交的輔助平面，以便運(yùn)用線面平行的性質(zhì)。 如（1）α、β表示平面，a、b表示直線，則a∥α的一個(gè)充分不必要條件是　 A、α⊥β，a⊥β　　　　　　B、α∩β＝b，且a∥b　 C、a∥b且b∥α　 D、α∥β且aβ（答：D）； （2）正方體ABCD-A１B１C１D１中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CM=DN，求證：MN∥面AA1B1B。 8．直線和平面垂直的判定和性質(zhì)： （1）判定： ①判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直。 ②兩條平行線中有一條直線和一個(gè)平面垂直，那么另一條直線也和這個(gè)平面垂直。 ③一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面 ④（2）性質(zhì)：①如果一條直線和一個(gè)平面垂直，那么這條直線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線都垂直。②如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。 如（1）如果命題“若∥z，則”不成立，那么字母x、y、z在空間所表示的幾何圖形一定是_____（答：x、y是直線，z是平面）； （2）已知a，b，c是直線，α、β是平面，下列條件中能得出直線a⊥平面α的是　 A、a⊥b，ａ⊥ｃ其中ｂα，ｃα　　B、a⊥b ，ｂ∥α　C、α⊥β，ａ∥β　 D、ａ∥ｂ，ｂ⊥α（答：D）； （3）AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點(diǎn)，AD⊥面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F，求證：BD⊥平面AEF。 9．平面與平面的位置關(guān)系： （1）平行――沒(méi)有公共點(diǎn)；（2）相交――有一條公共直線。 10．兩個(gè)平面平行的判定和性質(zhì)： （1）判定： ①判定定理：一個(gè)如果平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。 一面內(nèi)找兩相交直線與另一平面平行（線面面面）. ②依據(jù)垂直于同一直線的兩平面平行來(lái)判定 . ③利用面面平行傳遞性依定義 ④采用反證法證明兩平面沒(méi)有公共點(diǎn). （2）性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。 如（1）是兩個(gè)不重合的平面，在下列條件中，不能判定平面的條件是 A、是內(nèi)一個(gè)三角形的兩條邊，且　　 B、內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到的距離都相等　　 C、都垂直于同一條直線　　 D、是兩條異面直線，，且（答：B）； （2）給出以下六個(gè)命題：①垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行；②平行于同一直線的兩個(gè)平面平行；③平行于同一平面的兩個(gè)平面平行；④與同一直線成等角的兩個(gè)平面平行；⑤一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平行，則這兩個(gè)平面平行；⑥兩個(gè)平面分別與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線平行，則這兩個(gè)平面平行。其中正確的序號(hào)是___________（答：①③⑤）； （3）正方體ABCD-A１B１C１D１中AB=。①求證：平面AD1B1∥平面C1DB；②求證：A1C⊥平面AD1B1 ；③求平面AD1B1與平面C1DB間的距離（答：）； 11．兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)： （1）判定：①判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。（在一個(gè)面中找另一個(gè)面的一條垂線：在一面內(nèi)作兩面交線的垂線，即為所求）； ②定義法：找一個(gè)平面與這兩個(gè)平面都垂直相交，證明兩交線交角為直角； （2）性質(zhì)：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。 如（1）三個(gè)平面兩兩垂直，它們的交線交于一點(diǎn)O，P到三個(gè)面的距離分別為3、4、5，則OP的長(zhǎng)為_____（答：5）； （2）在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足___________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD（答：）； （3）過(guò)S引三條長(zhǎng)度相等但不共面的線段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60，∠BSC＝90，求證：平面ABC⊥平面BSC。 特別指出：立體幾何中平行、垂直關(guān)系的證明的基本思路是利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即： 如（1）已知直線平面，直線平面，給出下列四個(gè)命題：① ②；③；④。其中正確的命題是_____（答：①③）； （2）設(shè)是兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，給出下列四個(gè)命題： ①若則； ②若，則； ③若，則或； ④若則。其中正確的命題是_____（答：①③④） 12．棱柱： （1）棱柱的分類： ①按側(cè)棱是否與底面垂直分類：分為斜棱柱（側(cè)棱不垂直于底面）和直棱柱（側(cè)棱垂直于底面），其中底面為正多邊形的直棱柱叫正棱柱。 ②按底面邊數(shù)的多少分類：底面分別為三角形，四邊形，五邊形…，分別稱為三棱柱，四棱柱，五棱柱，…； （2）棱柱的性質(zhì)： ①棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等，直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形，正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形。 ②與底面平行的截面是與底面對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等多邊形。 ③過(guò)棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形。 如（1）斜三棱柱A1B1C1－ABC，各棱長(zhǎng)為，A1B=A1C=，則側(cè)面BCC1B1是____形，棱柱的高為_____（答：正方；）； （2）下列關(guān)于四棱柱的四個(gè)命題：①若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直棱柱；②若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直棱柱；③若四個(gè)側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直棱柱；④若四棱柱的四條對(duì)角線兩兩相等，則該四棱柱為直棱柱。其中真命題的為_____（答：②④）。 13．平行六面體： （1）定義：底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體； （2）幾類特殊的平行六面體：{平行六面體}{直平行六面體}{長(zhǎng)方體}{正四棱柱}{正方體}； （3）性質(zhì)：①平行六面體的任何一個(gè)面都可以作為底面； ②平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分； ③平行六面體的四條對(duì)角線的平方和等于各棱的平方和； ④長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和。 如長(zhǎng)方體三度之和為a+b+c＝6，全面積為11，則其對(duì)角線為_____（答：5） 14．棱錐的性質(zhì)：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)至截面距離與棱錐高的平方比，截得小棱錐的體積與原來(lái)棱錐的體積比等于頂點(diǎn)至截面距離與棱錐高的立方比。 如若一個(gè)錐體被平行于底面的平面所截，若截面面積是底面積的，則錐體被截面截得的一個(gè)小棱錐與原棱錐體積之比為_____（答：1∶8） 15．正棱錐：（1）定義：如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐。特別地，側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等的正三棱錐叫做正四面體。 如四面體中，有如下命題：①若，則；②若分別是的中點(diǎn)，則的大小等于異面直線與所成角的大??；③若點(diǎn)是四面體外接球的球心，則在面上的射影是外心；④若四個(gè)面是全等的三角形，則為正四面體。其中正確的是___（答：①③） （2）性質(zhì)：①正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（叫側(cè)高）也相等。 ②正棱錐的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的內(nèi)切圓的半徑）、側(cè)棱、側(cè)棱在底面的射影（底面的外接圓的半徑）、底面的半邊長(zhǎng)可組成四個(gè)直角三角形。 如圖，正棱錐的計(jì)算集中在四個(gè)直角三角形（特征三角形）中：，，其中分別表示底面邊長(zhǎng)、側(cè)棱長(zhǎng)、側(cè)面與底面所成的角和側(cè)棱與底面所成的角。 如（1）在三棱錐的四個(gè)面中，最多有___個(gè)面為直角三角形（答：4）； （2）把四個(gè)半徑為R的小球放在桌面上，使下層三個(gè)，上層一個(gè)，兩兩相切，則上層小球最高處離桌面的距離為________（答：）。 特別提醒：熟練掌握正三棱錐、正四棱錐中的線面位置關(guān)系和數(shù)量位置關(guān)系。 16．棱臺(tái)：一個(gè)棱錐被平行于底面的平面截去小錐以后所剩留部分的幾何體，叫做棱臺(tái) 正棱臺(tái)： 由正棱錐截得的棱臺(tái)叫正棱臺(tái) 正棱臺(tái)的特性，尤其是正棱臺(tái)的上、下底面半徑、邊心距和側(cè)棱、斜高和臺(tái)高所形成的三個(gè)直角梯形和兩個(gè)直角三角形，在解決問(wèn)題中往往起到關(guān)鍵的作用。直角梯形可以轉(zhuǎn)化為直角三角形，這四個(gè)直角三角形包含了正棱臺(tái)的主要元素，底面邊長(zhǎng)、邊心距、高、斜高、側(cè)棱以及側(cè)面與底面、側(cè)棱與底面所成的角。應(yīng)用它們之間的關(guān)系就可以解決正棱臺(tái)的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題。 特別提醒：由于棱臺(tái)是以棱錐用平行于底面的平面截得，所以棱臺(tái)與棱錐有相當(dāng)密切的關(guān)系，學(xué)習(xí)中應(yīng)引起足夠的重視. 如.正四棱臺(tái)的高是17cm，兩底面的邊長(zhǎng)分別是4cm和16cm。求這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱的長(zhǎng)和斜高（如圖）。 解：設(shè)棱臺(tái)兩底面的中心分別是和，和BC的中點(diǎn)分別是和。連結(jié)、、、、、，則和都是直角梯形。 ∵=4㎝， AB=16㎝， ∴=2㎝， OE=8㎝， =cm, OB=. 因此=， = 即 這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)是19cm，斜高是 17、直棱柱、正棱錐與正棱臺(tái)的側(cè)面積（各個(gè)側(cè)面面積之和）： （1）直棱柱：直棱柱的側(cè)面積＝底面周長(zhǎng)側(cè)棱長(zhǎng). （2）正棱錐：正棱錐的側(cè)面積＝底面周長(zhǎng)斜高。 （3）正棱臺(tái)：正棱臺(tái)的側(cè)面積＝（上底面周長(zhǎng)+下底面周長(zhǎng)）斜高. 提醒：（1）直棱柱、正棱錐與正棱臺(tái)的側(cè)面積公式是通過(guò)其側(cè)面展開圖獲得的. （2）全面積（也稱表面積）是各個(gè)表面面積之和，故棱柱的全面積＝側(cè)面積＋2底面積；棱錐的全面積＝側(cè)面積＋底面積，棱臺(tái)的全面積＝側(cè)面積＋（上底面積+下底面積）. 如（1）已知正四棱錐P－ABCD的高為4，側(cè)棱與底面所成的角為60，則該正四棱錐的側(cè)面積是_______（答：）； （2）已知正四面體ABCD的表面積為S，其四個(gè)面的中心分別為E、F、G、H.設(shè)四面體EFGH的表面積為T，則等于______（答：）。 18、柱、錐、臺(tái)、球的體積： （1）柱體：體積＝底面積高，特別地，直棱柱的體積＝底面積側(cè)棱長(zhǎng)。 如（1）設(shè)長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)分別為a、b、c，若長(zhǎng)方體所有棱的長(zhǎng)度之和為24，一條對(duì)角線長(zhǎng)度為5，體積為2，則等于__（答：）； （2）斜三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為，側(cè)棱AA1和AB、AC都成45的角，則棱柱的側(cè)面積為___，體積為___（答：；）。 （2）錐體：體積＝底面積高。 如（1）已知棱長(zhǎng)為1的正方體容器ABCD—A1B1C1D1中，在A1B、A1B1、B1C1的中點(diǎn)E、F、G處各開有一個(gè)小孔，若此容器可以任意放置，則裝水較多的容積（小孔面積對(duì)容積的影響忽略不計(jì)）是_____（答：）； （2）在正三棱錐A-BCD中，E、F是AB、BC的中點(diǎn)，EF⊥DE，若BC=，則正三棱錐A-BCD的體積為__（答：）； （3）已知正三棱錐底面邊長(zhǎng)為，體積為，則底面三角形的中心到側(cè)面的距離為___（答：）； （4）在平面幾何中有：Rt△ABC的直角邊分別為a,b，斜邊上的高為h，則。類比這一結(jié)論，在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩點(diǎn)互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，此三棱錐P—ABC的高為h，則結(jié)論為______________（答：）． 特別提醒：求多面體體積的常用技巧是割補(bǔ)法（割補(bǔ)成易求體積的多面體）。 補(bǔ)形：三棱錐三棱柱平行六面體； 分割：三棱柱中三棱錐、四棱錐、三棱柱的體積關(guān)系是 （答：1：2：3）和等積變換法(平行換點(diǎn)、換底)和比例(性質(zhì)轉(zhuǎn)換)法等. 如（1）用平面去截三棱錐，與三條側(cè)棱交于三點(diǎn)，若，，則多面體的體積為_____（答：7）；（2）直三棱柱ABC—A1B1C1的體積為，P、Q分別是側(cè)棱AA1、CC1上的點(diǎn)，且AP=C1Q，則四棱錐B—APQC的體積為 （答：）； （3）如圖的多面體ABC-DEFG中，AB、AC、AD兩兩垂直，平面ABC∥DEFG，平面BEF∥ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，則該多面體的體積為________（答：4）。 19．球的截面的性質(zhì)：①用任意平面截球所得的截面是一個(gè)圓面，球心和截面圓圓心的連線與這個(gè)截面垂直．②如果用R和r分別表示球的半徑和截面圓的半徑，d表示球心到截面的距離，則，即球的半徑，截面圓的半徑，和球心到截面的距離組成一個(gè)直角三角形，有關(guān)球的計(jì)算問(wèn)題，常歸結(jié)為解這個(gè)直角三角形． 提醒：球與球面的區(qū)別（球不僅包括球面，還包括其內(nèi)部）。 如（1）在半徑為10的球面上有三點(diǎn)，如果，則球心到平面的距離為______（答：）； （2）已知球面上的三點(diǎn)A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半徑為13，則球心到平面ABC的距離為______（答：12） 20、球的體積和表面積公式：V＝。 如（1）在球內(nèi)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，面積分別為49cm2、400cm2，則球的表面積為______（答：）； （2）三條側(cè)棱兩兩垂直且長(zhǎng)都為1的三棱錐P-ABC內(nèi)接于球O，求球O的表面積與體積。（答：表面積，體積）； （3）已知直平行六面體的各條棱長(zhǎng)均為3，，長(zhǎng)為2的線段的一個(gè)端點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，另一端點(diǎn)在底面上運(yùn)動(dòng)，則的中點(diǎn)的軌跡（曲面）與共一頂點(diǎn)的三個(gè)面所圍成的幾何體的體積為為______（答：）； 21．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的性質(zhì) 　　(1)圓柱的性質(zhì)：①是連心線垂直圓柱的底面；②是三個(gè)截面的性質(zhì)——平行于底面的截面是與底面全等的圓；軸截面是一個(gè)以上、下底面圓的直徑和母線所組成的矩形；平行于軸線的截面是一個(gè)以上、下底的圓的弦和母線組成的矩形． 　　(2)圓錐的性質(zhì)： 　　①平行于底面的截面圓的性質(zhì)： 　　截面圓面積和底面圓面積的比等于從頂點(diǎn)到截面和從頂點(diǎn)到底面距離的平方比． 　?、谶^(guò)圓錐的頂點(diǎn)，且與其底面相交的截面是一個(gè)由兩條母線和底面圓的弦組成的等腰三角形，其面積為： 　　易知，截面三角形的頂角不大于軸截面的頂角，事實(shí)上，由BC≥AB，VC=VB=VA可得∠AVB≤BVC． 　　由于截面三角形的頂角α不大于軸截面的頂角θ． 　　所以，當(dāng)軸截面的頂角θ≤90，有0＜α≤θ≤90，即有 　　當(dāng)軸截面的頂角θ＞90時(shí)，軸截面的面積卻不是最大的，這是因?yàn)?，?0≤α＜θ＜180時(shí)，1≥sinα＞sinθ＞0．截面的面積的最大值為. 　?、蹐A錐的母線l，高h(yuǎn)和底面圓R的半徑組成一個(gè)直徑三角形，圓錐的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題，一般都要?dú)w結(jié)為解這個(gè)直角三角形，特別是關(guān)系式. 　　　(3)圓臺(tái)的性質(zhì)，都是從“圓臺(tái)為截頭圓錐”這個(gè)事實(shí)推得的，但必須明確： ①是連心線垂直圓柱的底面 　?、趫A臺(tái)的母線l，高h(yuǎn)和上、下兩底圓的半徑r、R，組成一個(gè)直角梯形，且有 　　 圓臺(tái)的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題，常歸結(jié)為解這個(gè)直角梯形． ③圓臺(tái)的母線共點(diǎn)，所以任兩條母線確定的截面為一等腰梯形，但是，與上、下底面都相交的截面不一定是梯形，更不一定是等腰梯形． 如圓臺(tái)上、下底面半徑分別為r，R，平行于底面的截面把圓臺(tái)分成側(cè)面積相等的兩個(gè)部分，則以此截面為底面，圓臺(tái)所在的圓錐的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓錐與該圓臺(tái)的體積比為______． 22．折疊問(wèn)題：要將折疊前后的兩個(gè)圖形對(duì)照考察，弄清所涉及的元素在折疊前后的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系． 23．幾何體表面內(nèi)兩點(diǎn)間的最短距離問(wèn)題： 　?。?）柱、錐、臺(tái)的表面都可以平面展開，這些幾何體表面內(nèi)兩點(diǎn)間最短距離，就是其平面內(nèi)展開圖內(nèi)兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)． 如已知正方體的棱長(zhǎng)為1，是的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，則的最小值是_____（答：）； 由于球面不能平面展開，所以求球面內(nèi)兩點(diǎn)間的球面距離是一個(gè)全新的方法，這個(gè)最短距離是過(guò)這兩點(diǎn)大圓的劣弧長(zhǎng)． （2）球面距離（球面上經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度）： 求球面上兩點(diǎn)A、B間的距離的步驟：①計(jì)算線段AB的長(zhǎng)；②計(jì)算球心角∠AOB的弧度數(shù)；③用弧長(zhǎng)公式計(jì)算劣弧AB的長(zhǎng)。 如（1）設(shè)地球半徑為，在北緯圈上有兩地，它們的緯度圈上的弧長(zhǎng)等于，求兩地間的球面距離（答：）； （2）球面上有3點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的，經(jīng)過(guò)這3點(diǎn)的小圓的周長(zhǎng)為，那么這個(gè)球的半徑為______（答：）； （3）三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，，若四個(gè)點(diǎn)都在同一球面上，則此球面上兩點(diǎn)A、B之間的球面距離是_________（答：）。 24．“切”“接”問(wèn)題：對(duì)簡(jiǎn)單多面體、旋轉(zhuǎn)體的“切”“接”問(wèn)題，一般是通過(guò)選擇能夠包含各元素間的關(guān)系的一個(gè)截面（多為軸截面），轉(zhuǎn)化為平面圖形或采用“等積法”來(lái)解決．應(yīng)特別注意截面圖形與直觀圖的聯(lián)系，并注意兩者構(gòu)成元素的異同． 對(duì)于球的內(nèi)接外切問(wèn)題，作適當(dāng)?shù)慕孛妯D―既要能反映出位置關(guān)系，又要反映出數(shù)量關(guān)系。 如（1）甲球與某立方體的各個(gè)面都相切，乙球與這個(gè)立方體的各條棱都相切，丙球過(guò)這個(gè)立方體的所有頂點(diǎn)，則甲、乙、丙三球的半徑的平方之比為_____（答：1∶2∶3）； （2）若正四面體的棱長(zhǎng)為，則此正四面體的外接球的表面積為_____（答：）； （3）已知一個(gè)半徑為的球中有一個(gè)各條棱長(zhǎng)都相等的內(nèi)接正三棱柱，則這一正三棱柱的體積是_____（答：）； 25．（理科）空間向量之空間角： （1）異面直線所成的角：范圍： 轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方向向量的夾角，但必須注意角的范圍，必要時(shí)進(jìn)行處理 設(shè)、分別為異面直線a、b的方向向量, 則兩異面直線所成的角，則,= （2）直線和平面所成的角：范圍：； 設(shè)是斜線l的方向向量，是平面的法向量， 則斜線l與平面所成的角,則， （平面的法向量與直線的方向向量的夾角，即為所求） （3）二面角：范圍： 法一、在內(nèi)，在內(nèi)，其方向如圖，則二面角的平面角，= 法二、轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的法向量所成的角，若二面角的兩個(gè)半平面的法向量都是指向二面角的內(nèi)部或外部，二面角的兩個(gè)半平面的法向量的夾角的補(bǔ)角即為所求；若二面角的兩個(gè)半平面的法向量一個(gè)指向二面角的內(nèi)部，一個(gè)指向外部，二面角的兩個(gè)半平面的法向量的夾角即為所求 具體地： 設(shè)是二面角的兩個(gè)半平面的法向量，其方向一個(gè)指向內(nèi)側(cè)，另一個(gè)指向外側(cè)，則二面角的平面角，=，若都是指向二面角的內(nèi)部或外部，，， 則兩異面直線所成的角，則,= 附：空間角的幾何求法 （1）異面直線所成角的求法：計(jì)算異面直線所成角的關(guān)鍵是平移（中點(diǎn)平移，頂點(diǎn)平移以及補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，以便易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系）轉(zhuǎn)化為相交兩直線的夾角。如（1）正四棱錐的所有棱長(zhǎng)相等，是的中點(diǎn)，那么異面直線與所成的角的余弦值等于____（答：）；（2）在正方體AC1中，M是側(cè)棱DD1的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一點(diǎn)，則OP與AM所成的角的大小為____（答：90）；（3）已知異面直線a、b所成的角為50，P為空間一點(diǎn)，則過(guò)P且與a、b所成的角都是30的直線有且僅有____條（答：2）；（4）若異面直線所成的角為，且直線，則異面直線所成角的范圍是____（答：）； （2）直線和平面所成的角：（1）定義：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線和這個(gè)平面所成的角。（2）求法：作出直線在平面上的射影；（3）斜線與平面所成的角的特征：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。如（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，則AD與平面AA1C1C所成的角為______（答：arcsin）；（2）正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB、C1D1的中點(diǎn)，則棱 A1B1 與截面A1ECF所成的角的余弦值是______（答：）； （3）是從點(diǎn)引出的三條射線，每?jī)蓷l的夾角都是，則直線與平面所成角的余弦值為______（答：）； （4）若一平面與正方體的十二條棱所在直線都成相等的角θ，則sinθ的值為______（答：）。 （3）二面角：（1）平面角的三要素：①頂點(diǎn)在棱上；②角的兩邊分別在兩個(gè)半平面內(nèi)；③角的兩邊與棱都垂直。（2）作平面角的主要方法：①定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特性；②三垂線法：過(guò)其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：過(guò)一點(diǎn)作棱的垂面，則垂面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角；（3）二面角的求法：①轉(zhuǎn)化為求平面角；②面積射影法：利用面積射影公式，其中為平面角的大小。對(duì)于一類沒(méi)有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其可考慮面積射影法）。 如（1）正方形ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1C-A的大小為________（答：）； （2）將∠A為60的棱形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使A、C的距離等于BD，則二面角A-BD-C的余弦值是______（答：）； （3）正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中對(duì)角線BD1＝8，BD1與側(cè)面B1BCC1所成的為30，則二面角C1—BD1—B1的大小為______（答：）； （4）從點(diǎn)P出發(fā)引三條射線PA、PB、PC，每?jī)蓷l的夾角都是60，則二面角B-PA-C的余弦值是______（答：）； 找垂面--找交線--作交線的垂線 過(guò)一點(diǎn)作平面垂線的一種方法 （5）二面角α--β的平面角為120，A、B∈，ACα，BDβ，AC⊥，BD⊥，若AB=AC=BD=1，則CD的長(zhǎng)______（答：2）； （6）ABCD為菱形，∠DAB＝60，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，則面PAB與面PCD所成的銳二面角的大小為______（答：）。 26．（理科）空間向量之空間距： （1）點(diǎn)到平面的距離 附：空間距離的幾何求法 （1）異面直線的距離：①直接找公垂線段而求之；②轉(zhuǎn)化為求直線到平面的距離，即過(guò)其中一條直線作平面和另一條直線平行。③轉(zhuǎn)化為求平面到平面的距離，即過(guò)兩直線分別作相互平行的兩個(gè)平面。如已知正方體ABCD- A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為，則異面直線BD與B1C的距離為_____（答：）。 （2）點(diǎn)到直線的距離：一般作出垂線再求解。 如（1）等邊三角形的邊長(zhǎng)為，是邊上的高，將沿折起，使之與所在平面成的二面角，這時(shí)點(diǎn)到的距離是_____（答：）； （2）點(diǎn)P是120的二面角α--β內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)P到α、β的距離分別是3、4，則P到的距離為　_______（答：）；（3）在正方體ABCD—A1B1C1D1的側(cè)面AB1內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P到棱A1B1與棱BC的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P所在曲線的形狀為_______（答：拋物線?。? （3）點(diǎn)到平面的距離：①垂面法：借助于面面垂直的性質(zhì)來(lái)作垂線，其中過(guò)已知點(diǎn)確定已知面的垂面是關(guān)鍵；（找一面過(guò)該點(diǎn)且與已知平面垂直，在所找到的面內(nèi)過(guò)該點(diǎn)作兩面交線的垂線，垂線段的長(zhǎng)即為所求）； ②體積法：不作出公垂線，轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高，利用等體積法列方程求解（注意找三棱錐、換底） ③等價(jià)轉(zhuǎn)移法。必要時(shí)可通過(guò)平行線（面）轉(zhuǎn)化為另外一點(diǎn)與面的距離 如（1）長(zhǎng)方體的棱，則點(diǎn)到平面　的距離等于______（答：）； （2）在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中點(diǎn)，則A1到平面MBD的距離為______（答：a）。 （4）直線與平面的距離：前提是直線與平面平行，利用直線上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離。 （5）兩平行平面之間的距離：轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離。 （特別強(qiáng)調(diào)：立體幾何中有關(guān)角和距離的計(jì)算，要遵循“一作，二證，三計(jì)算”的原則） 27．你熟悉下列結(jié)論嗎？ ⑴三個(gè)平面兩兩相交得到三條交線，如果其中的兩條交線交于一點(diǎn)，那么第三條交線也經(jīng)過(guò)這一點(diǎn)； ⑵從一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，則點(diǎn)A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分線上； ⑶如果兩個(gè)相交平面都與第三個(gè)平面垂直，那么它們的交線也垂直于第三個(gè)平面； ⑷在三棱錐中：①側(cè)棱長(zhǎng)相等(側(cè)棱與底面所成角相等)頂點(diǎn)在底上射影為底面外心；②側(cè)棱兩兩垂直(兩對(duì)對(duì)棱垂直)頂點(diǎn)在底上射影為底面垂心；③頂點(diǎn)到底面三角形各邊的距離相等(側(cè)面與底面所成角相等)且頂點(diǎn)在底面上的射影在底面三角形內(nèi)頂點(diǎn)在底上射影為底面內(nèi)心.提醒：③若頂點(diǎn)在底面上的射影在底面三角形外，則頂點(diǎn)在底上射影為底面的旁心。 ⑸正方體和長(zhǎng)方體的外接球的直徑等與其體對(duì)角線長(zhǎng)；正四面體的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比為R：r＝3：1。 ⑹（理科）若正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，則。如若正三棱錐的一個(gè)側(cè)面的面積與底面面積之比為，則這個(gè)三棱錐的側(cè)面和底面所成的二面角等于__（答：） ⑺（理科）AB和平面所成的角是，AC在平面內(nèi)，AC和AB的射影成，設(shè)∠BAC=,則coscos=cos； ⑻（理科）若長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為，則cos2+cos2+cos2=1；若長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為則cos2+cos2+cos2=2。 如（1）長(zhǎng)方體中若一條對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三個(gè)面中的二個(gè)面所成的角為30、45，則與第三個(gè)面所成的角為____________（答：30）； （2）若一條對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為，則的關(guān)系為____________。（答：）