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2019-2020年高中數(shù)學競賽教材講義 第十六章 平面幾何 一、常用定理（僅給出定理，證明請讀者完成） 梅涅勞斯定理 設(shè)分別是ΔABC的三邊BC，CA，AB或其延長線上的點，若三點共線，則 梅涅勞斯定理的逆定理 條件同上，若則三點共線。 塞瓦定理 設(shè)分別是ΔABC的三邊BC，CA，AB或其延長線上的點，若三線平行或共點，則 塞瓦定理的逆定理 設(shè)分別是ΔABC的三邊BC，CA，AB或其延長線上的點，若則三線共點或互相平行。 角元形式的塞瓦定理 分別是ΔABC的三邊BC，CA，AB所在直線上的點，則平行或共點的充要條件是 廣義托勒密定理 設(shè)ABCD為任意凸四邊形，則AB?CD+BC?AD≥AC?BD，當且僅當A，B，C，D四點共圓時取等號。 斯特瓦特定理 設(shè)P為ΔABC的邊BC上任意一點，P不同于B，C，則有 AP2=AB2?+AC2?-BP?PC. 西姆松定理 過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線。 西姆松定理的逆定理 若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在三角形的外接圓上。 九點圓定理 三角形三條高的垂足、三邊的中點以及垂心與頂點的三條連線段的中點，這九點共圓。 蒙日定理 三條根軸交于一點或互相平行。（到兩圓的冪（即切線長）相等的點構(gòu)成集合為一條直線，這條直線稱根軸） 歐拉定理 ΔABC的外心O，垂心H，重心G三點共線，且 二、方法與例題 1．同一法。即不直接去證明，而是作出滿足條件的圖形或點，然后證明它與已知圖形或點重合。 例1 在ΔABC中，∠ABC=700，∠ACB=300，P，Q為ΔABC內(nèi)部兩點，∠QBC=∠QCB=100，∠PBQ=∠PCB=200，求證：A，P，Q三點共線。 [證明] 設(shè)直線CP交AQ于P1，直線BP交AQ于P2，因為∠ACP=∠PCQ=100，所以，①在ΔABP，ΔBPQ，ΔABC中由正弦定理有 ，②，③④ 由②，③，④得。又因為P1，P2同在線段AQ上，所以P1，P2重合，又BP與CP僅有一個交點，所以P1，P2即為P，所以A，P，Q共線。 2．面積法。 例2 見圖16-1，◇ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，BC上的點，且BE=DF，BE交DF于P，求證：AP為∠BPD的平分線。 [證明] 設(shè)A點到BE，DF距離分別為h1,h2，則 又因為S◇ABCD=SΔADF，又BE=DF。 所以h1=h2，所以PA為∠BPD的平分線。 3．幾何變換。 例3 （蝴蝶定理）見圖16-2，AB是⊙O的一條弦，M為AB中點，CD，EF為過M的任意弦，CF，DE分別交AB于P，Q。求證：PM=MQ。 [證明] 由題設(shè)OMAB。不妨設(shè)。作D關(guān)于直線OM的對稱點。 連結(jié)，則要證PM=MQ，只需證，又∠MDQ=∠PFM，所以只需證F，P，M，共圓。 因為∠=1800-=1800-∠=1800-∠。（因為OM。AB//） 所以F，P，M，四點共圓。所以Δ≌ΔMDQ。所以MP=MQ。 例4 平面上每一點都以紅、藍兩色之一染色，證明：存在這樣的兩個相似三角形，它們的相似比為1995，而且每個三角形三個頂點同色。 [證明] 在平面上作兩個同心圓，半徑分別為1和1995，因為小圓上每一點都染以紅、藍兩色之一，所以小圓上必有五個點同色，設(shè)此五點為A，B，C，D，E，過這兩點作半徑并將半徑延長分別交大圓于A1，B1，C1，D1，E1，由抽屜原理知這五點中必有三點同色，不妨設(shè)為A1，B1，C1，則ΔABC與ΔA1B1C1都是頂點同色的三角形，且相似比為1995。 4．三角法。 例5 設(shè)AD，BE與CF為ΔABC的內(nèi)角平分線，D，E，F(xiàn)在ΔABC的邊上，如果∠EDF=900，求∠BAC的所有可能的值。 [解] 見圖16-3，記∠ADE=α，∠EDC=β， 由題設(shè)∠FDA=-α，∠BDF=-β， 由正弦定理：， 得， 又由角平分線定理有，又，所以， 化簡得，同理，即 所以，所以sinβcosα-cosβsinα=sin(β-α)=0. 又-π<β-α<π,所以β=α。所以，所以A=π。 5．向量法。 例6 設(shè)P是ΔABC所在平面上的一點，G是ΔABC的重心，求證：PA+PB+PC>3PG. [證明] 因為 ，又G為ΔABC重心，所以 （事實上設(shè)AG交BC于E，則，所以） 所以，所以 又因為不全共線，上式“=”不能成立，所以PA+PB+PC>3PG。 6．解析法。 例7 H是ΔABC的垂心，P是任意一點，HLPA，交PA于L，交BC于X，HMPB，交PB于M，交CA于Y，HNPC交PC于N，交AB于Z，求證：X，Y，Z三點共線。 [解] 以H為原點，取不與條件中任何直線垂直的兩條直線為x軸和y軸，建立直角坐標系，用(xk,yk)表示點k對應(yīng)的坐標，則直線PA的斜率為，直線HL斜率為，直線HL的方程為x(xP-xA)+y(yP-yA)=0. 又直線HA的斜率為，所以直線BC的斜率為，直線BC的方程為xxA+yyA=xAxB+yAyB,②又點C在直線BC上，所以xCxA+yCyA=xAxB+yAyB. 同理可得xBxC+yByC=xAxB+yAyB=xAxC+yAyC. 又因為X是BC與HL的交點，所以點X坐標滿足①式和②式，所以點X坐標滿足xxP+yyP=xAxB+yAyB.④同理點Y坐標滿足xxP+yyP=xBxC+yByC.⑤點Z坐標滿足xxP+yyP=xCxA+yCyA. 由③知④，⑤，⑥表示同一直線方程，故X，Y，Z三點共線。 7．四點共圓。 例8 見圖16-5，直線l與⊙O相離，P為l上任意一點，PA，PB為圓的兩條切線，A，B為切點，求證：直線AB過定點。 [證明] 過O作OCl于C，連結(jié)OA，OB，BC，OP，設(shè)OP交AB于M，則OPAB，又因為OAPA，OBPB，OCPC。 所以A，B，C都在以O(shè)P為直徑的圓上，即O，A，P，C，B五點共圓。 AB與OC是此圓兩條相交弦，設(shè)交點為Q， 又因為OPAB，OCCP， 所以P，M，Q，C四點共圓，所以O(shè)M?OP=OQ?OC。 由射影定理OA2=OM?OP，所以O(shè)A2=OQ?OC，所以O(shè)Q=（定值）。 所以Q為定點，即直線AB過定點。 三、習題精選 1．⊙O1和⊙O2分別是ΔABC的邊AB，AC上的旁切圓，⊙O1與CB，CA的延長線切于E，G，⊙O2與BC，BA的延長線切于F，H，直線EG與FH交于點P，求證：PABC。 2．設(shè)⊙O的外切四邊形ABCD的對角線AC，BD的中點分別為E，F(xiàn)，求證：E，O，F(xiàn)三點共線。 3．已知兩小圓⊙O1與⊙O2相外切且都與大圓⊙O相內(nèi)切，AB是⊙O1與⊙O2的一條外公切線，A，B在⊙O上，CD是⊙O1與⊙O2的內(nèi)公切線，⊙O1與⊙O2相切于點P，且P，C在直線AB的同一側(cè)，求證：P是ΔABC的內(nèi)心。 4．ΔABC內(nèi)有兩點M，N，使得∠MAB=∠NAC且∠MBA=∠NBC，求證： 5．ΔABC中，O為外心，三條高AD，BE，CF相交于點H，直線ED和AB相交于點M，直線FD和AC相交于點N，求證：（1）OBDF，OCDE；（2）OHMN。 6．設(shè)點I，H分別是銳角ΔABC的內(nèi)心和垂心，點B1，C1分別是邊AC，AB的中點，已知射線B1I交邊AB于點B2(B2≠B)，射線C1I交AC的延長線于點C2，B2C2與BC相交于點K，A1為ΔBHC的外心。試證：A，I，A1三點共線的充要條件是ΔBKB2和ΔCKC2的面積相等。 7．已知點A1，B1，C1，點A2，B2，C2，分別在直線l1,l2上 ，B2C1交B1C2于點M，C1A2交A1C2于點N，B1A2交B2A1于L。求證：M，N，L三點共線。 8．ΔABC中，∠C=900，∠A=300，BC=1，求ΔABC的內(nèi)接三角形（三個頂點分別在三條邊上的三角形）的最長邊的最小值。 9．ΔABC的垂心為H，外心為O，外接圓半徑為R，頂點A，B，C關(guān)于對邊BC，CA，AB的對稱點分別為，求證：三點共線的充要條件是OH=2R。