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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 第八章 8.3 拋物線教案 新人教A版 鞏固夯實(shí)基礎(chǔ) 一、自主梳理 1.拋物線的定義 平面內(nèi)到一定點(diǎn)和到一定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線. 定點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，定直線為拋物線的準(zhǔn)線. 2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 圖形 頂點(diǎn) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 軸 對(duì)稱軸y=0 對(duì)稱軸y=0 對(duì)稱軸x=0 對(duì)稱軸x=0 焦點(diǎn) F(,0) F(-,0) F(0,) F(0,-) 準(zhǔn)線 x=- x= y=- y= 離心率 e=1 e=1 e=1 e=1 M(x0,y0)焦半徑 |MF|=x0+ |MF|=-x0+ |MF|=y0+ |MF|=-y0+ 二、點(diǎn)擊雙基 1.在拋物線y2=2px上,橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5,則p的值為（ ） A. B.1 C.2 D.4 解析：拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-,由拋物線的定義知4+=5,解得p=2. 答案：C 2.設(shè)a≠0，a∈R，則拋物線y=4ax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ） A.(a,0) B.(0,a) C.(0,) D.隨a符號(hào)而定 解析：化為標(biāo)準(zhǔn)方程. 答案：C 3.以拋物線y2=2px(p＞0)的焦半徑｜PF｜為直徑的圓與y軸的位置關(guān)系為（ ） A.相交 B.相離 C.相切 D.不確定 解析：利用拋物線的定義. 答案：C 4.以橢圓+=1的中心為頂點(diǎn)，以橢圓的左準(zhǔn)線為準(zhǔn)線的拋物線與橢圓右準(zhǔn)線交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的值為________________. 解析：中心為（0，0），左準(zhǔn)線為x=-,所求拋物線方程為y2=x.又橢圓右準(zhǔn)線方程為x=，聯(lián)立解得A（，）、B（，-）.∴|AB|=. 答案： 5.對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，給出下列條件： ①焦點(diǎn)在y軸上；②焦點(diǎn)在x軸上；③拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；④拋物線的通徑的長(zhǎng)為5；⑤由原點(diǎn)向過(guò)焦點(diǎn)的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2,1). 能使這拋物線方程為y2=10x的條件是_____________________.（要求填寫合適條件的序號(hào)） 解析：由拋物線方程y2=10x可知②⑤滿足條件. 答案：②⑤ 誘思實(shí)例點(diǎn)撥 【例1】 求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對(duì)應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程： （1）過(guò)點(diǎn)(-3,2); (2)焦點(diǎn)在直線x-2y-4=0上. 剖析：從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一個(gè)待定系數(shù)p；從實(shí)際分析，一般需確定p和開口方向兩個(gè)條件，否則，應(yīng)展開相應(yīng)的討論. 解：(1)設(shè)所求的拋物線方程為y2=-2px或x2=2py(p＞0), ∵過(guò)點(diǎn)(-3,2), ∴4=-2p(-3)或9=2p2. ∴p=或p=. ∴所求的拋物線方程為y2=-x或x2=y,前者的準(zhǔn)線方程是x=,后者的準(zhǔn)線方程是y=-. (2)令x=0得y=-2,令y=0得x=4, ∴拋物線的焦點(diǎn)為(4,0)或(0,-2). 當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時(shí)，=4, ∴p=8,此時(shí)拋物線方程y2=16x; 焦點(diǎn)為(0,-2)時(shí)，=2, ∴p=4,此時(shí)拋物線方程為x2=-8y. ∴所求的拋物線的方程為y2=16x或x2=-8y,對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是x=-4,y=2. 講評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，易犯的錯(cuò)誤就是缺少對(duì)開口方向的討論，先入為主，設(shè)定一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程后求解，以致失去一解. 【例2】 如圖所示,直線l1和l2相交于點(diǎn)M,l1⊥l2,點(diǎn)N∈l1,以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上任一點(diǎn)到l2的距離與到點(diǎn)N的距離相等.若△AMN為銳角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|NB|=6,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求曲線段C的方程. 剖析：由題意所求曲線段是拋物線的一部分,求曲線方程需建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,設(shè)出拋物線方程,由條件求出待定系數(shù)即可,求出曲線方程后要標(biāo)注x、y的取值范圍. 解：以直線l1為x軸,線段MN的垂直平分線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,由條件可知,曲線段C是以點(diǎn)N為焦點(diǎn),以l2為準(zhǔn)線的拋物線的一段.其中A、B分別為曲線段C的端點(diǎn). 設(shè)曲線段C的方程為y2=2px(p>0)(xa≤x≤xb,y>0),其中xa、xb為A、B的橫坐標(biāo),p=|MN|, 所以M(-,0)、N(,0). 由|AM|=,|AN|=3,得 (xa+)2+2pxa=17, ① (xa-)2+2pxa=9. ② ①②聯(lián)立,解得xa=,代入①式,并由p>0,解得或 因?yàn)椤鰽MN為銳角三角形,所以>xA. 故舍去所以 由點(diǎn)B在曲線段C上,得xb=|BN|-=4. 綜上,曲線段C的方程為y2=8x(1≤x≤4,y>0). 講評(píng)：本題體現(xiàn)了坐標(biāo)法的基本思路,考查了定義法、待定系數(shù)法求曲線方程的步驟,綜合考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力. 【例3】 已知定點(diǎn)F(1,0)，動(dòng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PM交x軸于點(diǎn)M，并延長(zhǎng)MP到點(diǎn)N，且=0,||=||. (1)求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程； (2)直線l與動(dòng)點(diǎn)N的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，若=-4,且4≤||≤4，求直線l的斜率k的取值范圍. 解：(1)設(shè)N(x,y)，由條件易知P(0,),M(-x,0). 代入||=||，化簡(jiǎn)得y2=4x(x>0), 即為點(diǎn)N的軌跡方程. (2)設(shè)l與y2=4x(x>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn). 當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，|AB|=42<46不合題意. 故可設(shè)l的方程為y=kx+b(k≠0). 由=-4，得x1x2+y1y2=-4. ① 由點(diǎn)A、B在拋物線y2=4x(x>0)上， 得(y1y2)2=16x1x2. ② 由①②得y1y2=-8. 又由ky2-4y+4b=0. 所以||2=(1+)(y2-y1)2 =(1+)［(y1+y2)2-4y1y2］ =(1+)(+32). 因?yàn)?≤||≤4, 所以96≤(1+)(+32)≤480. 解得≤|k|≤1. 故直線l的斜率k的取值范圍是k∈［-1,-］∪［,1］.