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2019-2020年高三數學 第75課時 統計教案 教學目標：會用隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣等常用的抽樣方法從總體中抽取樣本； 會用樣本頻率分布去估計總體分布；了解正態(tài)分布的意義及主要性質；了解線性回歸的方法和簡單應用. 教學重點： （一） 主要知識及主要方法： 簡單隨機抽樣：設一個總體的個體數為．如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣． 總結：⑴一般地，用簡單隨機抽樣從含有個個體的總體中抽取一個容量為的樣本時，每次抽取一個個體時任一個體被抽到的概率為；在整個抽樣過程中各個個體被抽到的概率為； 簡單隨機抽樣的實施方法： 　 ⑴抽簽法：先將總體中的所有個體（共有個）編號（號碼可從到），并把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上（號簽可用小球、卡片、紙條等制作），然后將這些號簽放在同一個箱子里，進行均勻攪拌，抽簽時每次從中抽一個號簽，連續(xù)抽取次，就得到一個容量為的樣本適用范圍：總體的個體數不多時 優(yōu)點：抽簽法簡便易行，當總體的個體數不太多時適宜采用抽簽法． 　 ⑵隨機數表法：制定隨機數表；給總體中各個個體編號；按照一定的規(guī)則確定所要抽取的樣本的號碼 隨機數表抽樣“三步曲”：第一步，將總體中的個體編號；第二步，選定開始的數字；第三步，獲取樣本號碼 簡單隨機抽樣的特點：它是不放回抽樣；它是逐個地進行抽取；它是一種等概率抽樣,簡單隨機抽樣方法，體現了抽樣的客觀性與公平性，是其他更復雜抽樣方法的基礎． 系統抽樣:當總體中的個體數較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按預先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到需要的樣本，這種抽樣叫做系統抽樣 系統抽樣的步驟： ①采用隨機的方式將總體中的個體編號為簡便起見，有時可直接采用個體所帶有的號碼，如考生的準考證號、街道上各戶的門牌號，等等 ②即確定分段間隔：為將整個的編號分段（即分成幾個部分），要確定分段的間隔當（為總體中的個體的個數，為樣本容量）是整數時，;當不是整數時，通過從總體中剔除一些個體使剩下的總體中個體的個數能被整除，這時. ③在第一段用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號 ④按照事先確定的規(guī)則抽取樣本（通常是將加上間隔，得到第個編號,第個編號，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個樣本） 說明：①系統抽樣適用于總體中的個體數較多的情況，它與簡單隨機抽樣的聯系在于：將總體均分后的每一部分進行抽樣時，采用的是簡單隨機抽樣； ②與簡單隨機抽樣一樣，系統抽樣是等概率抽樣，它是客觀的、公平的． ③總體中的個體數恰好能被樣本容量整除時，可用它們的比值作為系統抽樣的間隔；當總體中的個體數不能被樣本容量整除時，可用簡單隨機抽樣先從總體中剔除少量個體，使剩下的個體數能被樣本容量整除在進行系統抽樣 分層抽樣: 當已知總體由差異明顯的幾部分組成時，為了使樣本更充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比例進行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，所分成的部分叫做層 不放回抽樣和放回抽樣:在抽樣中，如果每次抽出個體后不再將它放回總體，稱這樣的抽樣為不放回抽樣；如果每次抽出個體后再將它放回總體，稱這樣的抽樣為放回抽樣． 隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣都是不放回抽樣 常用的抽樣方法及它們之間的聯系和區(qū)別： 類別 共同點 各自特點 相互聯系 適用范圍 簡單隨機 抽樣 抽樣過程中每個個體被抽取的概率是相同的；都是不放回抽樣. 從總體中逐個抽取 總體中的個數比較少 系統抽樣 將總體均勻分成幾個部分，按照事先確定的規(guī)則在各部分抽取 在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣 總體中的個數比較多 分層抽樣 將總體分成幾層，分層進行抽取 各層抽樣時采用簡單抽樣或者相同抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 總體：在數理統計中，通常把被研究的對象的全體叫做總體. 頻率分布：用樣本估計總體，是研究統計問題的基本思想方法，樣本中所有數據（或數據組）的頻數和樣本容量的比，就是該數據的頻率.所有數據（或數據組）的頻率的分布變化規(guī)律叫做樣本的頻率分布.可以用樣本頻率表、樣本頻率分布條形圖或頻率分布直方圖來表示. 總體分布：從總體中抽取一個個體，就是一次隨機試驗，從總體中抽取一個容量為的樣本，就是進行了次試驗，試驗連同所出現的結果叫隨機事件，所有這些事件的概率分布規(guī)律稱為總體分布. 它反映了總體在各個范圍內取值的概率．根據這條曲線，可求出總體在區(qū)間內取值的概率等于該區(qū)間上總體密度曲線與軸、直線、所圍成曲邊梯形的面積. 總體密度曲線:樣本容量越大，所分組數越多，各組的頻率就越接近于總體在相應各組取值的概率．設想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線． 總體分布密度密度曲線函數的兩條基本性質： 　　①≥ ()；②由曲線與軸圍成面積為. 解決總體分布估計問題的一般程序如下：先確定分組的組數（最大數據與最小數據之差除以組距得組數）；分別計算各組的頻數及頻率（頻率）；畫出頻率分布直方圖，并作出相應的估計. 條形圖是用其高度表示取各值的頻率；直方圖是用圖形面積的大小表示在各區(qū)間內取值的頻率；累積頻率分布圖是一條折線，利用任意兩端值的累積頻率之差表示樣本數據在這兩點值之間的頻率. 正態(tài)分布密度函數： ，（） 其中是圓周率；是自然對數的底；是隨機變量的取值；為正態(tài)分布的均值；是正態(tài)分布的標準差.正態(tài)分布一般記為。 即若，則， 正態(tài)分布是由均值和標準差唯一決定的分布 通過固定其中一個值，討論均值與標準差對于正態(tài)曲線的影響 ，亦見課本圖 通過對三組正態(tài)曲線分析，得出正態(tài)曲線具有的基本特征是兩頭底、中間高、左右對稱.從形態(tài)上看，正態(tài)分布是一條單峰、對稱呈鐘形的曲線 . 正態(tài)曲線的性質： 曲線在軸的上方，與軸不相交曲線關于直線對稱 當時，曲線位于最高點 當時，曲線上升（增函數）；當時，曲線下降（減函數）.并且 當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以軸為漸近線，向它無限靠近 一定時，曲線的形狀由確定 越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；越?。€越“瘦高”．總體分布越集中 正態(tài)曲線下的總面積等于.即 標準正態(tài)曲線:當、時，正態(tài)總體稱為標準正態(tài)總體，其相應的函數表示式是，（），其相應的曲線稱為標準正態(tài)曲線 標準正態(tài)總體在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位任何正態(tài)分布的概率問題均可轉化成標準正態(tài)分布的概率問題 標準正態(tài)分布表及標準正態(tài)總體在任一區(qū)間的概率問題: 標準正態(tài)總體在正態(tài)總體的研究中有非常重要的地位，為此專門制作了“標準正態(tài)分布表”．在這個表中，對應于的值是指總體取值小于的概率，即 ，． 對于標準正態(tài)總體，是總體取值小于的概率，即 其中，圖中陰影部分的面積表示為概率只要有標準正態(tài)分布表即可查表解決.從圖中不難發(fā)現:當時，；而當時，，利用標準正態(tài)分布表，可以求出標準正態(tài)總體在任意區(qū)間內取值的概率，即直線，與正態(tài)曲線、軸所圍成的曲邊梯形的面積 故：；； 若，則 任一的正態(tài)總體均可化成標準正態(tài)總體來進行研究， 對任一的正態(tài)總體來說，取值小于的概率 對于正態(tài)總體取值的概率： 在區(qū)間、、內取值的概率分別為、、因此我們時常只在區(qū)間內研究正態(tài)總體分布情況，而忽略其中很小的一部分 小概率事件的含義 發(fā)生概率一般不超過的事件，即事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生 假設檢驗方法的基本思想:首先，假設總體應是或近似為正態(tài)總體，然后，依照小概率事件幾乎不可能在一次試驗中發(fā)生的原理對試驗結果進行分析 假設檢驗方法的操作程序，即“三步曲” 提出統計假設，具體問題里的統計假設服從正態(tài)分布 是確定一次試驗中的值是否落入范圍； 是作出推斷：若，接受統計假設；若，由于這是小概率事件，就拒絕統計假設，說明生產過程中出現了異常情況 相關關系的概念 當自變量一定時，因變量的取值帶有一定的隨機性的兩個變量之間的關系稱為相關關系 相關關系是非隨機變量與隨機變量之間的關系，函數關系是兩個非隨機變量之間的關系，是一種因果關系，而相關關系不一定是因果關系，所以相關關系與函數關系不同，其變量具有隨機性，因此相關關系是一種非確定性關系（有因果關系，也有伴隨關系）.因此，相關關系與函數關系的異同點如下： 相同點：均是指兩個變量的關系. 不同點：函數關系是一種確定的關系；而相關關系是一種非確定關系；函數關系是自變量與因變量之間的關系，這種關系是兩個非隨機變量的關系；而相關關系是非隨機變量與隨機變量的關系． 回歸分析： 對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的方法叫做回歸分析通俗地講，回歸分析是尋找相關關系中非確定性關系的某種確定性. 散點圖：表示具有相關關系的兩個變量的一組數據的圖形叫做散點圖.散點圖形象地反映了各對數據的密切程度粗略地看，散點分布具有一定的規(guī)律. 回歸直線 設所求的直線方程為，其中、是待定系數． 則 ．于是得到各個偏差 . 顯見，偏差的符號有正有負，若將它們相加會造成相互抵消，所以它們的和不能代表幾個點與相應直線在整體上的接近程度，故采用個偏差的平方和． 表示個點與相應直線在整體上的接近程度． 記 (說明的意義)． 上述式子展開后，是一個關于、的二次多項式，應用配方法，可求出使為最小值時的、的值．即 ，　, 相應的直線叫做回歸直線，對兩個變量所進行的上述統計分析叫做回歸分析. 特別指出: 對回歸直線方程只要求會運用它進行具體計算、，求出回歸直線方程即可．不要求掌握回歸直線方程的推導過程． 求回歸直線方程，首先應注意到，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回歸直線方程才有實標意義．否則，求出的回歸直線方程毫無意義．因此，對一組數據作線性回歸分析時，應先看其散點圖是否成線性． 求回歸直線方程，關鍵在于正確地求出系數、，由于求、的計算量較大，計算時仔細謹慎、分層進行，避免因計算產生失誤． 回歸直線方程在現實生活與生產中有廣泛的應用．應用回歸直線方程可以把非確定性問題轉化成確定性問題，把“無序”變?yōu)椤坝行颉?，并對情況進行估測、補充．因此，學過回歸直線方程以后，應增強學生應用回歸直線方程解決相關實際問題的意識． 相關系數：相關系數是因果統計學家皮爾遜提出的，對于變量與的一組觀測值，把 = 叫做變量與之間的樣本相關系數，簡稱相關系數，用它來衡量兩個變量之間的線性相關程度. 相關系數的性質： ≤，且越接近，相關程度越大；且越接近，相關程度越小. 顯著性水平:顯著性水平是統計假設檢驗中的一個概念，它是公認的小概率事件的概率值它必須在每一次統計檢驗之前確定 顯著性檢驗：(相關系數檢驗的步驟)：由顯著性水平和自由度查表得出臨界值，顯著性水平一般取和，自由度為，其中是數據的個數在“相關系數檢驗的臨界值表”查出與顯著性水平或及自由度（為觀測值組數）相應的相關數臨界值或；例如時，， 求得的相關系數和臨界值比較，若，上面與是線性相關的,當或，認為線性關系不顯著 結論：討論若干變量是否線性相關，必須先進行相關性檢驗，在確認線性相關后，再求回歸直線； 通過兩個變量是否線性相關的估計，實際上就是把非確定性問題轉化成確定性問題來研究； （二）典例分析： 問題1．（全國Ⅱ文）一個總體含有個個體，以簡單隨機抽樣方式從該總體中抽取一個容量為的樣本，則指定的某個個體被抽到的概率為 （浙江文）某校有學生人，其中高三學生人，為了解學生的身體素質情況，彩用按年級分層抽樣的方法，從該校學生中抽取一個人的樣本，則樣本中高三學生的人數為 (湖南)某公司甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有個、個、個、個銷售點.公司為了調查產品的情況，需從這個銷售點中抽取一個容量為的樣本，記這項調查為①；在丙地區(qū)中有個特大型銷售點，要從中抽取個調查其收入和售后服務等情況，記這項調查為②.則完成這兩項調查宜采用的抽樣方法依次為 分層抽樣法，系統抽樣法 分層抽樣法，簡單隨機抽樣法 系統抽樣法，分層抽樣法 簡單隨機抽樣法，分層抽樣法 （屆高三湖北省六校）設下表是某班學生在一次數學考試中數學成績的分布表 分數 ， ， ， ， ， ， ， ， 人數 那么分數在中和分數不滿分的頻率和累積頻率分別是 　，　　，　 ，　 ， （湖北文）為了了解某學校學生的身體發(fā)育情況，抽查了該校名高中男生的體重情況，根據所得數據畫出樣本的頻率分布直方圖如右圖所示．根據此圖，估計該校名高中男生中體重大于公斤的人數為 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 54.5 56.5 58.5 60.5 62.5 64.5 66.5 68.5 70.5 72.5 74.5 76.5 體重（kg） （湖南）設隨機變量服從標準正態(tài)分布，已知， 則　　 （安徽）以表示標準正態(tài)總體在區(qū)間內取值的概率，若隨機變量服從正態(tài)分布，則概率等于 問題2．已知從某批材料中任取一件時，取得的材料的強度服從. 計算取得的這件材料的強度不低于的概率；如果所用的材料要求以的概率保證強度不低于，問這些材料是否符合這個要求. 問題3．（湖北）在生產過程中，測得纖維產品的纖度（表示纖維粗細的一種量）共有個數據，將數據分組如右表： 分組 頻數 合計 在答題卡上完成頻率分布表，并在給定的坐標系中畫出頻率分布直方圖； 估計纖度落在中的概率及纖度小于的概率是多少？ 統計方法中，同一組數據常用該組區(qū)間的中點值（例如區(qū)間的中點值是）作為代表．據此，估計纖度的期望． 問題5．假設關于某設備的使用年限和所支出的維修費用（萬元），有如下的統計資料： 若由資料可知與間呈線性相關關系.試求： 線性回歸方程；估計使用年限為年時，維修費用是多少？ （三）課后作業(yè)： 對于線性相關系數敘述正確的是 ，越大，相關程度越大，反之，相關程度越小； ，越大，相關程度越大，反之，相關程度越小； ≤，且越接近，相關程度越大，越接近，相關程度越??； 以上說法均不對. 設有一個回歸方程，則變量增加一個單位時 平均增加個單位； 平均增加個單位； 平均減少個單位； 平均減少個單位； 利用簡單隨機抽樣的方法，從個個體（）中抽取個個體，依次抽取. 若第二次抽取后，余下的每個個體被抽取的概率為，則在整個抽取過程中，每個個體被抽取的概率為 （四）走向高考： （四川）甲校有名學生，乙校有名學生，丙校有名學生，為統計三校學生某方面的情況，計劃采用分層抽樣法，抽取一個樣本容量為人的樣本，應在這三校分別抽取學生 人，人，人　　人，人，人 人，人，人　　人，人，人 （天津） 某工廠生產、、三種不同型號的產品，產品數量之比依次為，現用分層抽樣方法抽出一個容量為的樣本，樣本中種型號產品有件.那么此樣本的容量 （陜西文）某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類分別有種、種、種、種，現從中抽取一個容量為的樣本進行食品安全檢測。若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數之和是（ ） （全國Ⅰ文）從某自動包裝機包裝的食鹽中，隨機抽取袋，測得各袋的質量分別為（單位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根據頻率分布估計總體分布的原理，該自動包裝機包裝的袋裝食鹽質量在～之間的概率約為 （湖北）某初級中學有學生人，其中一年級人，二、三年級各人，現要利用抽樣方法抽取人參加某項調查，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統抽樣三種方案，使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學生按一、二、三年級依次統一編號為，，…，；使用系統抽樣時，將學生統一隨機編號，，…，，并將整個編號依次分為段.如果抽得號碼有下列四種情況： ①，，，，，，，，，； ②，，，，，，，，，； ③，，，，，，，，，； ④，，，，，，，，，； 關于上述樣本的下列結論中，正確的是 ②、③都不能為系統抽樣 ②、④都不能為分層抽樣 ①、④都可能為系統抽樣 ①、③都可能為分層抽樣 （湖南）設隨機變量服從標準正態(tài)分布，已知， 則 （福建）兩封信隨機投入三個空郵箱，則郵箱的信件數的數學期望　 （浙江）已知隨機變量服從正態(tài)分布，， 則 （全國Ⅱ）在某項測量中，測量結果服從正態(tài)分布．若在內取值的概率為，則在內取值的概率為 （屆高三浙江嘉興市二檢）已知隨機變量，若，則 （遼寧文）某公司在過去幾年內使用某種型號的燈管支，該公司對這些燈管的使用壽命（單位：小時）進行了統計，統計結果如下表所示： 分組 [500，900) [900，1100) [1100，1300) [1300，1500) [1500，1700) [1700，1900) [1900，) 頻數 頻率 將各組的頻率填入表中； 根據上述統計結果，計算燈管使用壽命不足小時的頻率； 該公司某辦公室新安裝了這種型號的燈管支，若將上述頻率作為概率，試求至少有支燈管的使用壽命不足小時的概率．