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2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 任意角的三角函數(shù)教案 理 教材分析 這節(jié)課是在初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)．任意角的三角函數(shù)通常是借助直角坐標(biāo)系來定義的．三角函數(shù)的定義是本章教學(xué)內(nèi)容的基本概念和重要概念，也是學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ)，更是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵．因此，要重點(diǎn)地體會、理解和掌握三角函數(shù)的定義．在此基礎(chǔ)上，這節(jié)課又進(jìn)一步研討了三角函數(shù)的定義域，函數(shù)值在各象限的符號，以及誘導(dǎo)公式（一），這既是對三角函數(shù)的簡單應(yīng)用，也是為學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容做了必要準(zhǔn)備． 教學(xué)目標(biāo) 1. 讓學(xué)生認(rèn)識三角函數(shù)推廣的必要性，經(jīng)歷三角函數(shù)的推廣的過程，增強(qiáng)對數(shù)的理解能力． 2. 理解和掌握三角函數(shù)的定義，在此基礎(chǔ)上探索與研究三角函數(shù)定義域、三角函數(shù)值的符號和誘導(dǎo)公式（一），并能初步應(yīng)用它們解決一些問題． 3. 通過對任意角的三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，初步體會數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和運(yùn)用的過程，提高學(xué)生的科學(xué)思維水平． 任務(wù)分析 在初中，我們只是學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是任意角的三角函數(shù)．定義的對象從銳角三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)，從四種三角函數(shù)增加到六種三角函數(shù)．定義的媒介則從直角三角形改為平面直角坐標(biāo)系．為了便于學(xué)生體會和理解，突出定義適用于任意角，通常要把終邊出現(xiàn)在四個(gè)象限的情況都畫出來（注意表示角時(shí)不用箭頭），學(xué)習(xí)時(shí)，必須弄清并強(qiáng)調(diào)：這六個(gè)比值的大小都與點(diǎn)P在角的終邊上的位置無關(guān)，只與角的大小有關(guān)，即它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，符合函數(shù)的定義，從而歸納和總結(jié)出任意角的三角函數(shù)的定義．對于三角函數(shù)的定義域、函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號和誘導(dǎo)公式（一），可放手讓學(xué)生探索、研究、討論和歸納，用以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力． 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、情景設(shè)置 初中我們學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，由其所在的直角三角形的對應(yīng)邊的比值為函數(shù)值，并且定義了角α的正弦、余弦、正切、余切的三角函數(shù)．這節(jié)課，我們研究當(dāng)α是一個(gè)任意角時(shí)的三角函數(shù)的定義． 在初中，三角函數(shù)的定義是借助直角三角形來定義的．如圖32-1，在Rt△ABC中， 現(xiàn)在，把三角形放到坐標(biāo)系中．如圖32-2，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，y），則OC＝b＝x，CB＝a＝y(tǒng)，OB＝，從而 即角α的三角函數(shù)可以理解為坐標(biāo)的比值，在此意義下對任意角α都可以定義其三角函數(shù)． 二、建立模型 一般地，設(shè)α是任意角，以α的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以角α的始邊的方向作為ｘ軸的正方向，建立直角坐標(biāo)系xOy．P（x，y）為α終邊上不同于原點(diǎn)的任一點(diǎn)．如圖： 那么，OP＝，記作r，（r＞0）． 對于三個(gè)量x，y，r，一般地，可以產(chǎn)生六個(gè)比值：.當(dāng)α確定時(shí)，根據(jù)初中三角形相似的知識，可知這六個(gè)比值也隨之相應(yīng)的唯一確定．根據(jù)函數(shù)的定義可以看出，這六個(gè)比值都是以角為自變量的函數(shù)，分別把稱之為α角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函數(shù)，記為 對于定義，思考如下問題： 1. 當(dāng)角α確定后，比值與P點(diǎn)的位置有關(guān)嗎？為什么？ 2. 利用坐標(biāo)法定義三角函數(shù)與利用直角三角形定義三角函數(shù)有什么關(guān)系？ 3. 任意角α的正弦、余弦、正切都有意義嗎？為什么？ 三、解釋應(yīng)用 ［例　題］ 1. 已知角α的終邊經(jīng)過P（－2，3），求角α的六個(gè)三角函數(shù)值． 思考：若P（－2，3）變?yōu)椋ǎ?m，3m）呢？（m≠0） 2. 求下列角的六個(gè)三角函數(shù)值． 注：強(qiáng)化定義． ［練　習(xí)］ 1. 已知角α的終邊經(jīng)過下列各點(diǎn)，求角α的六個(gè)三角函數(shù)值． （1）P（3，－4）．　（2）P（m，3）． 2. 計(jì)　算． （1）5sin90＋2sin0－3sin270＋10cos180． 四、拓展延伸 1. 由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)的關(guān)系，三角函數(shù)可以看成以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，如sina＝，不論α取任何實(shí)數(shù)，恒有意義，所以sina的定義域?yàn)椋粒痢蔙｝．類似地，研究cosa，tana，cota的定義域． 2. 根據(jù)三角函數(shù)的定義以及x，y，r在不同象限內(nèi)的符號，研究sina，cosa，tana，cota的值在各個(gè)象限的符號． 3. 計(jì)算下列各組角的函數(shù)值，并歸納和總結(jié)出一般性的規(guī)律． （1）sin30，sin390．　　（2）cos45，cos（－315）． 規(guī)律：終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值， 即sin（α＋k360）＝sina， cos（α＋k360）＝cosa， tan（α＋k360）＝tana，（k∈Z）． 五、應(yīng)用與深化 ［例　題］ 1. 確定下列三角函數(shù)值的符號． 2. 求證：角α為第三象限角的充要條件是sinθ＜0，并且tanθ＞0． 證明：充分性：如果sinθ＜0，tanθ＞0都成立，那么θ為第三象限角． ∵sinθ＜0成立，所以θ的終邊可能位于第三或第四象限，也可能位于y軸的負(fù)半軸上． 又∵tanθ＞0成立，∴θ角的終邊可能位于第一或第三象限． ∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立，∴θ角的終邊只能位于第三象限． 必要性：若θ為第三象限角，由三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號，知sinθ＜0，tanθ＞0． 從而結(jié)論成立． ［練　習(xí)］ 1. 設(shè)α是三角形的一個(gè)內(nèi)角，問：在sina，cosa，tana，tan中，哪些三角函數(shù)可能取負(fù)值？為什么？ 2. 函數(shù)的值域是 ____________ ． 點(diǎn)　評 這節(jié)課在設(shè)計(jì)上特別注意了以下幾點(diǎn)：①前后知識的聯(lián)系，知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程，如任意角的三角函數(shù)的定義，由初中所講“0～360”的情況逐漸過渡到“任意角”的情況，講清了推廣的必要性及意義．②注重了知識的探究，如三角函數(shù)值在各象限的符號，及誘導(dǎo)公式（一）．這里由學(xué)生自己去研究，討論，探索得出一般性結(jié)論，培養(yǎng)了學(xué)生獲取知識、探究知識的能力，強(qiáng)化了自主學(xué)習(xí)的意識．③注意了跟蹤練習(xí)的設(shè)計(jì)． 例題典型，練習(xí)有層次和變化，鞏固知識到位． 總體來說，這是一節(jié)實(shí)用較強(qiáng)，形式又不乏新穎的較好案例．