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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第29講 等比數(shù)列教案 新人教版 一．課標(biāo)要求： 1．通過(guò)實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念； 2．探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式； 3．能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題。體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。 二．命題走向 等比數(shù)列與等差數(shù)列同樣在高考中占有重要的地位，是高考出題的重點(diǎn)?？陀^性的試題考察等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對(duì)基本的運(yùn)算要求比較高，解答題大多以數(shù)列知識(shí)為工具。 預(yù)測(cè)07年高考對(duì)本講的考察為： （1）題型以等比數(shù)列的公式、性質(zhì)的靈活應(yīng)用為主的1~2道客觀題目； （2）關(guān)于等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題或知識(shí)交匯題的解答題也是重點(diǎn)； （3）解決問(wèn)題時(shí)注意數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，象通過(guò)逆推思想、函數(shù)與方程、歸納猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等，它將能靈活考察考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。 三．要點(diǎn)精講 1．等比數(shù)列定義 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：：數(shù)列對(duì)于數(shù)列（1）（2）（3）都是等比數(shù)列，它們的公比依次是2，5，。（注意：“從第二項(xiàng)起”、“常數(shù)”、等比數(shù)列的公比和項(xiàng)都不為零） 2．等比數(shù)列通項(xiàng)公式為：。 說(shuō)明：（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以知道：當(dāng)公比時(shí)該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知：若為等比數(shù)列，則。 3．等比中項(xiàng) 如果在中間插入一個(gè)數(shù)，使成等比數(shù)列，那么叫做的等比中項(xiàng)（兩個(gè)符號(hào)相同的非零實(shí)數(shù)，都有兩個(gè)等比中項(xiàng)）。 4．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式 一般地，設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是，當(dāng)時(shí)， 或；當(dāng)q=1時(shí)，（錯(cuò)位相減法）。 說(shuō)明：（1）和各已知三個(gè)可求第四個(gè)；（2）注意求和公式中是，通項(xiàng)公式中是不要混淆；（3）應(yīng)用求和公式時(shí)，必要時(shí)應(yīng)討論的情況。 四．典例解析 題型1：等比數(shù)列的概念 例1．“公差為0的等差數(shù)列是等比數(shù)列”；“公比為的等比數(shù)列一定是遞減數(shù)列”；“a,b,c三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是b2=ac”；“a,b,c三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是2b=a+c”，以上四個(gè)命題中，正確的有（ ） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 解析：四個(gè)命題中只有最后一個(gè)是真命題。 命題1中未考慮各項(xiàng)都為0的等差數(shù)列不是等比數(shù)列； 命題2中可知an+1=an，an+1an，即an+1>an，此時(shí)該數(shù)列為遞增數(shù)列； 命題3中，若a=b=0，c∈R，此時(shí)有，但數(shù)列a,b,c不是等比數(shù)列，所以應(yīng)是必要而不充分條件，若將條件改為b=，則成為不必要也不充分條件。 點(diǎn)評(píng)：該題通過(guò)一些選擇題的形式考察了有關(guān)等比數(shù)列的一些重要結(jié)論，為此我們要注意一些有關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列的重要結(jié)論。 例2．命題1：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an+b(a≠1)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列； 命題2：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn+c(a≠0)，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列； 命題3：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=na－n，則數(shù)列{an}既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；上述三個(gè)命題中，真命題有（ ） A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 解析： 由命題1得，a1=a+b，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=(a－1)an－1。若{an}是等比數(shù)列，則=a，即=a，所以只有當(dāng)b=－1且a≠0時(shí)，此數(shù)列才是等比數(shù)列。 由命題2得，a1=a+b+c，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=2na+b－a，若{an}是等差數(shù)列，則a2－a1=2a，即2a－c=2a，所以只有當(dāng)c=0時(shí)，數(shù)列{an}才是等差數(shù)列。 由命題3得，a1=a－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=a－1，顯然{an}是一個(gè)常數(shù)列，即公差為0的等差數(shù)列，因此只有當(dāng)a－1≠0；即a≠1時(shí)數(shù)列{an}才又是等比數(shù)列。 點(diǎn)評(píng)：等比數(shù)列中通項(xiàng)與求和公式間有很大的聯(lián)系，上述三個(gè)命題均涉及到Sn與an的關(guān)系，它們是an=，正確判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列，都必須用上述關(guān)系式，尤其注意首項(xiàng)與其他各項(xiàng)的關(guān)系。上述三個(gè)命題都不是真命題，選擇A。 題型2：等比數(shù)列的判定 例3．（xx全國(guó)理，20）（Ⅰ）已知數(shù)列｛cn｝，其中cn＝2n＋3n，且數(shù)列｛cn＋1－pcn｝為等比數(shù)列，求常數(shù)p；（Ⅱ）設(shè)｛an｝、｛bn｝是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，cn=an+bn，證明數(shù)列｛cn｝不是等比數(shù)列。 解析：（Ⅰ）解：因?yàn)椋鹀n＋1－pcn｝是等比數(shù)列， 故有：（cn＋1－pcn）2＝（cn＋2－pcn＋1）（cn－pcn－1）， 將cn＝2n＋3n代入上式，得： ［2n＋1＋3n＋1－p（2n＋3n）］2＝［2n＋2＋3n＋2－p（2n＋1＋3n＋1）］［2n＋3n－p（2n－1＋3n－1）］， 即［（2－p）2n＋（3－p）3n］2 ＝［（2－p）2n＋1＋（3－p）3n＋1］［（2－p）2n－1＋（3－p）3n－1］， 整理得（2－p）（3－p）2n3n＝0，解得p=2或p=3。 （Ⅱ）證明：設(shè)｛an｝、｛bn｝的公比分別為p、q，p≠q，cn=an+bn。 為證｛cn｝不是等比數(shù)列只需證c22≠c1c3。 事實(shí)上，c22＝（a1p＋b1q）2＝a12p2＋b12q2＋2a1b1pq， c1c3＝（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）＝a12p2＋b12q2＋a1b1（p2＋q2）， 由于p≠q，p2＋q2＞2pq，又a1、b1不為零， 因此c22≠c1c3，故｛cn｝不是等比數(shù)列。 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)，推理和運(yùn)算能力。 例4．（xx京春，21）如圖3—1，在邊長(zhǎng)為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的圖3—1 內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB、BC相切，如此無(wú)限繼續(xù)下去.記圓On的面積為an（n∈N*），證明{an}是等比數(shù)列； 證明：記rn為圓On的半徑，則r1=tan30=。=sin30=，所以rn=rn－1（n≥2），于是a1=πr12=，故{an}成等比數(shù)列。 點(diǎn)評(píng)：該題考察實(shí)際問(wèn)題的判定，需要對(duì)實(shí)際問(wèn)題情景進(jìn)行分析，最終對(duì)應(yīng)數(shù)值關(guān)系建立模型加以解析。 題型3：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用 例5．一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上4，那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列，如果再把這個(gè)等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32，那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求原來(lái)的等比數(shù)列。 解析：設(shè)所求的等比數(shù)列為a，aq，aq2； 則2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)； 解得a=2，q=3或a=，q=－5； 故所求的等比數(shù)列為2，6,18或，－，。 點(diǎn)評(píng)：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點(diǎn)是思路簡(jiǎn)單、實(shí)用，缺點(diǎn)是有時(shí)計(jì)算較繁。 例6．（xx年陜西卷）已知正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和滿足且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng) 解析：∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3。 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，② 由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ∵an+an－1>0 , ∴an－an－1=5 (n≥2)。 當(dāng)a1=3時(shí)，a3=13，a15=73，a1, a3,a15不成等比數(shù)列 ∴a1≠3； 當(dāng)a1=2時(shí),，a3=12， a15=72，有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n－3。 點(diǎn)評(píng)：該題涉及等比數(shù)列的求和公式與等比數(shù)列通項(xiàng)之間的關(guān)系，最終求得結(jié)果。 題型4：等比數(shù)列的求和公式及應(yīng)用 例7．（1）（xx年遼寧卷）在等比數(shù)列中,,前項(xiàng)和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列，則等于（ ） A． B． C． D． （2）（xx年北京卷）設(shè)，則等于（ ） A． B． C． D． （3）（1996全國(guó)文，21）設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＋S6＝2S9，求數(shù)列的公比q；解析：（1）因數(shù)列為等比，則，因數(shù)列也是等比數(shù)列， 則 即，所以，故選擇答案C。 （2）D； （3）解：若q=1，則有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。 因a1≠0，得S3+S6≠2S9，顯然q=1與題設(shè)矛盾，故q≠1。 由S3+S6=2S9，得，整理得q3（2q6－q3－1）=0，由q≠0，得2q6－q3－1=0，從而（2q3＋1）（q3－1）=0，因q3≠1，故q3=－，所以q=－。 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于等比數(shù)列求和問(wèn)題要先分清數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)應(yīng)好首項(xiàng)和公比求出最終結(jié)果即可。 例8．（1）（xx江蘇，18）設(shè)｛an｝為等差數(shù)列，｛bn｝為等比數(shù)列，a1＝b1＝1，a2＋a4＝b3，b2b4＝a3．分別求出｛an｝及｛bn｝的前10項(xiàng)的和S10及T10； （2）（xx全國(guó)春季北京、安徽，20）在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)a1，a2，a3……，an，使這n＋2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)b1，b2，b3，……，bn，使這n＋2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.記An＝a1a2a3……an，Bn＝b1＋b2＋b3＋……＋bn. （Ⅰ）求數(shù)列｛An｝和｛Bn｝的通項(xiàng)； （Ⅱ）當(dāng)n≥7時(shí)，比較An與Bn的大小，并證明你的結(jié)論。 （3）（xx天津理，22）已知｛an｝是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足a1＝0，a2＝3， an＋1an＝（an－1＋2）（an－2＋2），n＝3，4，5，…． （Ⅰ）求a3； （Ⅱ）證明an＝an－2＋2，n＝3，4，5，…； （Ⅲ）求｛an｝的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Sn。 解析：（1）∵｛an｝為等差數(shù)列，｛bn｝為等比數(shù)列， ∴a2＋a4＝2a3，b2b4＝b32． 已知a2＋a4＝b3，b2b4＝a3， ∴b3＝2a3，a3＝b32． 得 b3＝2b32． ∵b3≠0 ∴b3＝，a3＝． 由a1＝1，a3＝知｛an｝的公差為d＝， ∴S10＝10a1＋． 由b1＝1，b3＝知｛bn｝的公比為q＝或q＝． 當(dāng)q＝時(shí)，， 當(dāng)q＝時(shí)，。 （2）（Ⅰ）設(shè)公比為q，公差為d，等比數(shù)列1，a1，a2，……，an，2，等差數(shù)列1，b1，b2，……，bn，2。 則A1＝a1＝1q A2＝1q1q2 A3＝1q1q21q3 又∵an＋2＝1qn＋1＝2得qn＋1＝2， An＝qq2…qn＝q（n＝1，2，3…） 又∵bn＋2＝1＋（n＋1）d＝2 ∴（n＋1）d＝1 B1＝b1＝1＋d B2＝b2＋b1＝1＋d＋1＋2d Bn＝1＋d＋…＋1＋nd＝n （Ⅱ）An＞Bn，當(dāng)n≥7時(shí) 證明：當(dāng)n＝7時(shí)，23．5＝8＝An Bn＝7，∴An＞Bn 設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，An＞Bn，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 又∵Ak+1＝ 且Ak＞Bk ∴Ak＋1＞k ∴Ak＋1－Bk＋1＞ 又∵k＝8，9，10… ∴Ak＋1－Bk＋1＞0，綜上所述，An＞Bn成立. （3）（Ⅰ）解：由題設(shè)得a3a4＝10，且a3、a4均為非負(fù)整數(shù)，所以a3的可能的值為1，2，5，10． 若a3＝1，則a4＝10，a5＝，與題設(shè)矛盾． 若a3＝5，則a4＝2，a5＝，與題設(shè)矛盾． 若a3＝10，則a4＝1，a5＝60，a6＝，與題設(shè)矛盾. 所以a3＝2. （Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝3，a3＝a1＋2，等式成立； ②假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥3）時(shí)等式成立，即ak＝ak－2＋2,由題設(shè)ak＋1ak＝（ak－1＋2）（ak－2＋2），因?yàn)閍k＝ak－2＋2≠0，所以ak＋1＝ak－1＋2， 也就是說(shuō)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式ak＋1＝ak－1＋2成立； 根據(jù)①和②，對(duì)于所有n≥3，有an+1=an－1+2。 （Ⅲ）解：由a2k－1＝a2（k－1）－1＋2，a1＝0，及a2k＝a2（k－1）＋2，a2＝3得a2k－1＝2（k－1），a2k＝2k＋1，k＝1，2，3，…，即an＝n＋（－1）n，n＝1，2，3，…。 所以Sn＝ 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)列與等差數(shù)列前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)，以及準(zhǔn)確表述，分析和解決問(wèn)題的能力。 題型5：等比數(shù)列的性質(zhì) 例9．（1）（xx江蘇3）在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝3，前三項(xiàng)和為21，則a3＋a4＋a5＝（ ） （A）33 （B）72 （C）84 （D）189 （2）（xx上海，12）在等差數(shù)列｛an｝中，若a10＝0，則有等式a1+a2+…＋an=a1+a2+…＋a19－n（n＜19，n∈N成立.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列｛bn｝中，若b9＝1，則有等式 成立。 解析：（1）答案：C；解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，由題意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21,q2+q-6=0，求得q=2(q=－3舍去)，所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4故選C。 （2）答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）； 解：在等差數(shù)列｛an｝中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0， 所以a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1， 又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1 ∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n， 若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋a17－n， 相應(yīng)地等比數(shù)列｛bn｝中，則可得：b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）。 點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的相關(guān)概念及其有關(guān)計(jì)算能力。 例10．（1）設(shè)首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為80，前2n項(xiàng)和為6560，且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54，求此數(shù)列的首項(xiàng)和公比q。 （2）在和之間插入n個(gè)正數(shù)，使這個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，求所插入的n個(gè)數(shù)之積。 （3）設(shè)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的4倍，且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第3項(xiàng)與第4項(xiàng)和的9倍，問(wèn)數(shù)列{lgan}的前多少項(xiàng)和最大？(lg2=0 3,lg3=0.4) 解析：（1）設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，依題意設(shè)：a1＞0，Sn=80 ，S2n=6560。 ∵S2n≠2Sn ，∴q≠1； 從而 =80，且=6560。 兩式相除得1+qn=82 ，即qn=81。 ∴a1=q－1＞0 即q＞1,從而等比數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列，故前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為第n項(xiàng)。 ∴a1qn-1=54,從而(q－1)qn-1=qn-qn-1=54。 ∴qn-1=81－54=27 ∴q==3。 ∴a1=q－1=2 故此數(shù)列的首為2，公比為3。 （2）解法1：設(shè)插入的n個(gè)數(shù)為，且公比為q， 則 。 解法2：設(shè)插入的n個(gè)數(shù)為， 。 （3）解法一 設(shè)公比為q,項(xiàng)數(shù)為2m,m∈N*， 依題意有：， 化簡(jiǎn)得， 設(shè)數(shù)列{lgan}前n項(xiàng)和為Sn， 則Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn－1=lga1nq1+2+…+(n－1) =nlga1+n(n－1)lgq=n(2lg2+lg3)－n(n－1)lg3 =(－)n2+(2lg2+lg3)n 可見(jiàn)，當(dāng)n=時(shí)，Sn最大， 而=5,故{lgan}的前5項(xiàng)和最大， 解法二 接前，,于是lgan=lg［108()n－1］=lg108+(n－1)lg， ∴數(shù)列{lgan}是以lg108為首項(xiàng)，以lg為公差的等差數(shù)列， 令lgan≥0，得2lg2－(n－4)lg3≥0， ∴n≤=5.5， 由于n∈N*,可見(jiàn)數(shù)列{lgan}的前5項(xiàng)和最大。 點(diǎn)評(píng)：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點(diǎn)是思路簡(jiǎn)單、實(shí)用，缺點(diǎn)是有時(shí)計(jì)算較繁；第二種解法利用等比數(shù)列的性質(zhì)，與“首末項(xiàng)等距”的兩項(xiàng)積相等，這在解題中常用到。 題型6：等差、等比綜合問(wèn)題 例11．（xx年廣東卷）已知公比為的無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為9，無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為。 (Ⅰ)求數(shù)列的首項(xiàng)和公比； (Ⅱ)對(duì)給定的，設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．求數(shù)列的前10項(xiàng)之和。 解析：(Ⅰ)依題意可知：， (Ⅱ)由(Ⅰ)知,，所以數(shù)列的的首項(xiàng)為,公差，,即數(shù)列的前10項(xiàng)之和為155。 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于出現(xiàn)等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題，一定要區(qū)分開(kāi)各自的公式，不要混淆。 五．思維總結(jié) 1．等比數(shù)列的知識(shí)要點(diǎn)（可類比等差數(shù)列學(xué)習(xí)） （1）掌握等比數(shù)列定義＝q（常數(shù)）（nN），同樣是證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的依據(jù)，也可由anan＋2＝來(lái)判斷； （2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1； （3）對(duì)于G 是a、b 的等差中項(xiàng)，則G2＝ab，G＝； （4）特別要注意等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式應(yīng)分為q＝1與q≠1兩類，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1，當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝，Sn＝。 2．等比數(shù)列的判定方法 ①定義法：對(duì)于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列； ②等比中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列。 3．等比數(shù)列的性質(zhì) ①等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果是等比數(shù)列的第項(xiàng)，是等差數(shù)列的第項(xiàng)，且，公比為，則有； ②對(duì)于等比數(shù)列，若，則，也就是：，如圖所示：。 ③若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，，那么，，成等比數(shù)列。 如下圖所示：