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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一冊(上)空間向量的直角坐標(biāo)及其運(yùn)算(II) 教學(xué)目的： 1.進(jìn)一步掌握空間向量的夾角、距離等概念，并能熟練運(yùn)用； 2.能綜合運(yùn)用向量的數(shù)量積知識解決有關(guān)立體幾何問題； 3.了解平面法向量的概念 教學(xué)重點(diǎn)：向量的數(shù)量積的綜合運(yùn)用 教學(xué)難點(diǎn)：向量的數(shù)量積的綜合運(yùn)用 授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1 空間直角坐標(biāo)系： （1）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長為，這個(gè)基底叫單位正交基底，用表示； （2）在空間選定一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸．我們稱建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)叫原點(diǎn)，向量 都叫坐標(biāo)向量．通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面，平面； 2．空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)： 在空間直角坐標(biāo)系中，對空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)． 3．空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律： （1）若，，則， ，， ， ， ． （2）若，，則． 一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo) 4 模長公式：若，， 則，． 5．夾角公式：． 6．兩點(diǎn)間的距離公式：若，， 則， 或 二、講解范例： 例1 求證：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線平行 已知：直線于，于． 求證：． 證明：以為原點(diǎn)，射線為非負(fù)軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 分別為沿軸，軸，軸的坐標(biāo)向量， 設(shè)， ∵，∴，， ， ， ∴，即， 又知，為兩個(gè)不同的點(diǎn)，∴． 點(diǎn)評：如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，記作，此時(shí)向量叫做平面的法向量． 例2．在棱長為的正方體中，分別是中點(diǎn)，在棱上，，是的中點(diǎn)， （1）求證：； （2）求與所成的角的余弦； （3）求的長 解：如圖以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系， 則，，，， ，，， （1），， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ，， ∴， ∴與所成的角的余弦． （3）∵， ∴． 例3．已知點(diǎn)是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，如果，， （1）求證：是平面的法向量； （2）求平行四邊形的面積． （1）證明：∵， ， ∴，，又，平面， ∴是平面的法向量． （2），， ∴， ∴， ∴， ∴． 例4　在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，AA1＝c，求異面直線BD1和B1C所成角的余弦值 分析一：利用，以及數(shù)量積的定義，可求出cos＜＞，從而得到異面直線BD1和B1C所成角的余弦值 分析二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量，且將向量的 運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)（坐標(biāo)）的運(yùn)算，以達(dá)到證明的目的 　　解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，使D為坐標(biāo)原點(diǎn)， 則B(b,a,0),D1(0,0,c),B1(b,a,c),C(0,a,0) 設(shè)異面直線BD1和B1C所成角為θ，則 三、課堂練習(xí)： 1設(shè)，，且，記， 求與軸正方向的夾角的余弦值 解：取軸正方向的任一向量，設(shè)所求夾角為， ∵ ∴，即為所求 2．　在ΔABC中，已知AB＝(2,4,0),BC＝(－1,3,0)，則∠ABC＝＿＿＿ 解： ∴∠ABC＝45 3．已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5) ⑴求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積S； ⑵若向量分別與向量垂直，且||＝，求向量的坐標(biāo) 分析：⑴ ∴∠BAC＝60， ⑵設(shè)＝(x,y,z)，則 解得x＝y(tǒng)＝z＝1或x＝y(tǒng)＝z＝－1，∴＝(1,1,1)或＝(－1，－1，－1). 四、小結(jié) ：在計(jì)算和證明立體幾何問題時(shí)，如果能夠在原圖中建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，將圖形中有關(guān)量用坐標(biāo)來表示，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來處理，則往往可以在很大程度上降低對空間相象的要求；求向量坐標(biāo)的常用方法是先設(shè)出向量坐標(biāo)，再待定系數(shù) 五、課后作業(yè)： 六、板書設(shè)計(jì)（略） 七、課后記：