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2019-2020年高中數(shù)學第一章導數(shù)及其應用1.1導數(shù)的概念1.1.1導數(shù)的概念平均變化率教學案蘇教版選修2 假設下圖是一座山的剖面示意圖，并在上面建立平面直角坐標系．A是出發(fā)點，H是山頂．爬山路線用函數(shù)y＝f(x)表示． 自變量x表示某旅游者的水平位置，函數(shù)值y＝f(x)表示此時旅游者所在的高度．設點A的坐標為(x0，y0)，點B的坐標為(x1，y1)． 問題1：若旅游者從A點爬到B點，則自變量x和函數(shù)值y的改變量Δx，Δy分別是多少？ 提示：Δx＝x1－x0，Δy＝y(tǒng)1－y0. 問題2：如何用Δx和Δy來刻畫山路的陡峭程度？ 提示：對于山坡AB，可用來近似刻畫山路的陡峭程度． 問題3：試想＝的幾何意義是什么？ 提示：＝表示直線AB的斜率． 問題4：從A到B，從A到C，兩者的相同嗎？的值與山路的陡峭程度有什么關系？ 提示：不相同.的值越大，山路越陡峭． 1．一般地，函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率為. 2．平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，或者說，曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”． 在函數(shù)平均變化率的定義中，應注意以下幾點： (1)函數(shù)在[x1，x2]上有意義； (2)在式子中，x2－x1>0，而f(x2)－f(x1)的值可正、可負、可為0. (3)在平均變化率中，當x1取定值后，x2取不同的數(shù)值時，函數(shù)的平均變化率不一定相同；同樣的，當x2取定值后，x1取不同的數(shù)值時，函數(shù)的平均變化率也不一定相同． 求函數(shù)在某區(qū)間的平均變化率 [例1]　(1)求函數(shù)f(x)＝3x2＋2在區(qū)間[2,2.1]上的平均變化率； (2)求函數(shù)g(x)＝3x－2在區(qū)間[－2，－1]上的平均變化率． [思路點撥]　求出所給區(qū)間內(nèi)自變量的改變量及函數(shù)值的改變量，從而求出平均變化率． [精解詳析]　(1)函數(shù)f(x)＝3x2＋2在區(qū)間[2,2.1]上的平均變化率為： ＝＝12.3. (2)函數(shù)g(x)＝3x－2在區(qū)間[－2，－1]上的平均變化率為＝ ＝＝3. [一點通]　求函數(shù)平均變化率的步驟為： 第一步：求自變量的改變量x2－x1； 第二步：求函數(shù)值的改變量f(x2)－f(x1)； 第三步：求平均變化率. 1．函數(shù)g(x)＝－3x在[2,4]上的平均變化率是________． 解析：函數(shù)g(x)＝－3x在[2,4]上的平均變化率為＝＝＝－3. 答案：－3 2.如圖是函數(shù)y＝f(x)的圖象，則： (1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上的平均變化率為________； (2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為________． 解析：(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上的平均變化率為＝＝. (2)由函數(shù)f(x)的圖象知，f(x)＝ 所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為＝＝. 答案：：(1)　(2) 3．本例條件不變，分別計算f(x)與g(x)在區(qū)間[1,2]上的平均變化率，并比較變化率的大?。? 解：(1)＝＝9. (2)＝＝3. f(x)比g(x)在[1,2]上的平均變化率大． 實際問題中的平均變化率 [例2]　物體的運動方程為S＝(位移單位：m；時間單位：s)，求物體在t＝1 s到t＝(1＋Δt)s這段時間內(nèi)的平均速度． [思路點撥]　求物體在某段時間內(nèi)的平均速度，就是求位移的改變量與時間的改變量的比值． [精解詳析]　物體在[1,1＋Δt]內(nèi)的平均速度為 ＝ ＝＝ ＝(m/s)． 即物體在t＝1 s到t＝(1＋Δt)s這段時間內(nèi)的平均速度為 m/s. [一點通]　平均變化率問題在生活中隨處可見，常見的有求某段時間內(nèi)的平均速度、加速度、膨脹率、經(jīng)濟效益等．分清自變量和因變量是解決此類問題的關鍵． 4．圓的半徑r從0.1變化到0.3時，圓的面積S的平均變化率為________． 解析：∵S＝πr2，∴圓的半徑r從0.1變化到0.3時， 圓的面積S的平均變化率為 ＝＝0.4π. 答案：0.4π 5．在F1賽車中，賽車位移(單位：m)與比賽時間t(單位：s)存在函數(shù)關系S＝10t＋5t2，則賽車在[20,20.1]上的平均速度是多少？ 解：賽車在[20,20.1]上的平均速度為＝＝＝210.5(m/s)． 函數(shù)平均變化率的應用 [例3]　甲、乙兩人走過的路程s1(t)，s2(t)與時間t的關系如圖所示，試比較兩人的速度哪個大？ [思路點撥]　要比較兩人的速度，其實就是比較兩人走過的路程對時間的平均變化率，通過平均變化率的大小關系得出結(jié)論． [精解詳析]　在t0處s1(t0)＝s2(t0)， 但<， 所以在單位時間內(nèi)乙的速度比甲的速度大，因此，在如圖所示的整個運動狀態(tài)中乙的速度比甲的速度大． [一點通]　平均變化率的絕對值反映函數(shù)在給定區(qū)間上變化的快慢，平均變化率的絕對值越大，函數(shù)在區(qū)間上的變化率越快；平均變化率的絕對值越小，函數(shù)在區(qū)間上的變化率越慢． 6.汽車行駛的路程s和時間t之間的函數(shù)圖象如圖所示．在時間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分別為，，，則三者的大小關系是________． 解析：＝＝kOA， ＝＝kAB， ＝＝kBC， 由圖象知：kOA>. 答案：>> 7．A、B兩機關開展節(jié)能活動，活動開始后，兩機關每天的用電情況如圖所示，其中W1(t)、W2(t)分別表示A、B兩機關的用電量與時間第t天的關系，則下列說法一定正確的是________．(填序號) ①兩機關節(jié)能效果一樣好； ②A機關比B機關節(jié)能效果好； ③A機關在[0，t0]上的用電平均變化率比B機關在[0，t0]上的用電平均變化率大； ④A機關與B機關自節(jié)能以來用電量總是一樣大． 解析：由圖可知，在t＝0時，W1(0)>W2(0)， 當t＝t0時，W1(t0)＝W2(t0)， 所以<， 且>. 故只有②正確． 答案：② 1．求函數(shù)在指定區(qū)間上的平均變化率應注意的問題 (1)平均變化率的公式中，分子是區(qū)間兩端點間的函數(shù)值的差，分母是區(qū)間兩端點間的自變量的差． (2)平均變化率公式中，分子、分母中被減數(shù)同時為右端點，減數(shù)同為左端點． 2．一次函數(shù)的平均變化率 一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)在區(qū)間[m，n]上的平均變化率為＝＝k.由上述計算可知，一次函數(shù)y＝kx＋b，在區(qū)間[m，n]上的變化率與m，n的值無關，只與一次項系數(shù)有關，且其平均變化率等于一次項的系數(shù)． 3．平均變化率的幾何意義 (1)平均變化率表示點(x1，f(x1))，(x2，f(x2))連線的斜率，是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”． (2)平均變化率的大小類似函數(shù)的單調(diào)性，可說明函數(shù)圖象的陡峭程度． [對應課時跟蹤訓練(一)] 一、填空題 1．函數(shù)f(x)＝x2－1在區(qū)間[1,1.1]上的平均變化率為________． 解析：＝＝＝2.1. 答案：2.1 2．函數(shù)f(x)＝2x＋4在區(qū)間[a，b]上的平均變化率為________． 解析：＝＝＝2. 答案：2 3．某人服藥后，人吸收藥物的情況可以用血液中藥物的濃度c(單位：mg/mL)來表示，它是時間t(單位：min)的函數(shù)，表示為c＝c(t)，下表給出了c(t)的一些函數(shù)值： t/min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 c(t)/ (mg/mL) 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63 服藥后30～70 min這段時間內(nèi)，藥物濃度的平均變化率為________． 解析：＝＝－0.002. 答案：－0.002 4.如圖所示物體甲、乙在時間0到t1范圍內(nèi)路程的變化情況，則在0到t0范圍內(nèi)甲的平均速度________乙的平均速度，在t0到t1范圍內(nèi)甲的平均速度________乙的平均速度(填“等于”、“大于”或“小于”)． 解析：由圖可知，在[0，t0]上，甲的平均速度與乙的平均速度相同；在[t0，t1]上，甲的平均速度大于乙的平均速度． 答案：等于　大于 5．函數(shù)y＝x3＋2在區(qū)間[1，a]上的平均變化率為21，則a＝________. 解析：＝＝a2＋a＋1＝21. 解之得a＝4或a＝－5. 又∵a>1，∴a＝4. 答案：4 二、解答題 6．已知函數(shù)f(x)＝2x2＋1.求函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,2.01]上的平均變化率． 解：函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,2.01]上的平均變化率為＝8.02. 7．求函數(shù)y＝sin x在0到之間和到之間的平均變化率，并比較它們的大?。? 解：在0到之間的平均變化率為＝； 在到之間的平均變化率為＝. ∵2－<1，∴>， ∴函數(shù)y＝sin x在0到之間的平均變化率為，在到之間的平均變化率為，故在0到之間的平均變化率較大． 8．已知氣球的表面積S(單位：cm2)與半徑r(單位：cm)之間的函數(shù)關系是S(r)＝4πr2.求： (1)氣球表面積S由10 cm2膨脹到20 cm2時的平均膨脹率即氣球膨脹過程中半徑的增量與表面積增量的比值； (2)氣球表面積S由30 cm2膨脹到40 cm2時的平均膨脹率． 解：根據(jù)函數(shù)的增量來證明． 由S(r)＝4πr2，r>0，把r表示成表面積S的函數(shù)： r(S)＝. (1)當S由10 cm2膨脹到20 cm2時，氣球表面積的增量ΔS＝20－10＝10(cm2)，氣球半徑的增量Δr＝r(20)－r(10)＝(－)≈0.37(cm)． 所以氣球的平均膨脹率為≈＝0.037. (2)當S由30 cm2膨脹到40 cm2時，氣球表面積的增量ΔS＝(－)≈0.239(cm2)．所以氣球的平均膨脹率為≈＝0.023 9.