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2019-2020年高中數(shù)學第二章圓錐曲線與方程2.1曲線與方程高效測評新人教A版選修 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．已知曲線C的方程為x3＋x＋y－1＝0，則下列各點中在曲線C上的點是(　　) A．(0,0)　　　　　　　 B．(－1,3) C．(1,1) D．(－1,1) 解析：　點P(x0，y0)在曲線f(x，y)上?f(x0，y0)＝0. 答案：　B 2．“以方程f(x，y)＝0的解為坐標的點都是曲線C上的點”是“曲線C的方程是f(x，y)＝0”的(　　) A．充分條件 B．必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：　f(x，y)＝0是曲線C的方程必須同時滿足以下兩個條件：①以f(x，y)＝0的解為坐標的點都在曲線C上；②曲線C上的點的坐標都是方程f(x，y)＝0的解，故選B. 答案：　B 3．與點A(－1,0)和點B(1,0)連線的斜率之和為－1的動點P的軌跡方程是(　　) A．x2＋y2＝3 B．x2＋2xy＝1(x≠1) C．y＝ D．x2＋y2＝9(x≠0) 解析：　設P(x，y)，∵kPA＋kPB＝－1， ∴＋＝－1，整理得x2＋2xy＝1(x≠1)． 答案：　B 4．方程(x＋y－1)＝0所表示的曲線是(　　) 解析：　原方程等價于或x2＋y2＝4. 其中當x＋y－1＝0時，需有意義，即x2＋y2≥4，此時它表示直線x＋y－1＝0上不在圓x2＋y2＝4內(nèi)的部分及圓x2＋y2＝4. 答案：　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．點P(2，－3)在曲線x2－ay2＝1上，則a的值為________． 解析：　將點P的坐標(2，－3)代入曲線方程， 可得22－a(－3)2＝1，解得a＝. 答案：　 6．已知點A(0，－1)，當點B在曲線y＝2x2＋1上運動時，線段AB的中點M的軌跡方程是____________． 解析：　設M(x，y)，B(x0，y0)，則y0＝2x＋1. 又M為AB的中點，所以即 將其代入y0＝2x＋1得，2y＋1＝2(2x)2＋1， 即y＝4x2. 答案：　y＝4x2 三、解答題(每小題10分，共20分) 7．指出方程(2x＋3y－5)(－1)＝0表示的曲線是什么？ 解析：　因為(2x＋3y－5)(－1)＝0，所以可得或者－1＝0，也就是2x＋3y－5＝0(x≥3)或者x＝4，故方程表示的曲線為一條射線2x＋3y－5＝0(x≥3)和一條直線x＝4. 8．已知方程x2＋(y－1)2＝10. (1)判斷點P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲線上； (2)若點M在此方程表示的曲線上，求m的值． 解析：　(1)∵12＋(－2－1)2＝10， ()2＋(3－1)2＝6≠10， ∴點P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上， 點Q(，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上． (2)∵點M在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上， ∴x＝，y＝－m適合方程x2＋(y－1)2＝10， 即2＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－. ∴m的值為2或－. 9．(10分)已知圓C：x2＋(y－3)2＝9，過原點作圓C的弦OP，求OP中點Q的軌跡方程．(分別用直接法、定義法、代入法求解) 解析：　方法一(直接法)： 如圖，因為Q是OP的中點， 所以∠OQC＝90. 設Q(x，y)，由題意，得 |OQ|2＋|QC|2＝|OC|2， 即x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9， 所以x2＋2＝(去掉原點)． 方法二(定義法)： 如圖所示，因為Q是OP的中點， 所以∠OQC＝90，則Q在以OC為直徑的圓上，故Q點的軌跡方程為x2＋2＝(去掉原點)． 方法三(代入法)：設P(x1，y1)，Q(x，y)， 由題意，得，即， 又因為x＋(y1－3)2＝9， 所以4x2＋42＝9， 即x2＋2＝(去掉原點).