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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 任意角的三角函數(shù)教案 新人教A版必修4 一．課標(biāo)要求： 1．任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化； 2．三角函數(shù) （1）借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義； 二.要點(diǎn)精講 1．任意角的概念 角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。一條射線由原來的位置，繞著它的端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置，就形成角。旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點(diǎn)叫做叫的頂點(diǎn)。 為了區(qū)別起見，我們規(guī)定:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角,按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角。如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個(gè)零角 2．終邊相同的角、區(qū)間角與象限角 角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角。要特別注意:如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限,稱為非象限角。 終邊相同的角是指與某個(gè)角α具有同終邊的所有角，它們彼此相差2kπ(k∈Z)，即β∈{β|β=2kπ+α，k∈Z}，根據(jù)三角函數(shù)的定義，終邊相同的角的各種三角函數(shù)值都相等。 3．弧度制 長度等于半徑長的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫)。 角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0,角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決定。 角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是：，其中，l是圓心角所對(duì)的弧長，是半徑。 角度制與弧度制的換算主要抓住。 弧度與角度互換公式：1rad＝≈57.30=5718ˊ、1＝≈0.01745（rad）。 弧長公式：（是圓心角的弧度數(shù)）， 扇形面積公式：。 4．三角函數(shù)定義 在的終邊上任取一點(diǎn),它與原點(diǎn)的距離.過作軸的垂線,垂足為,則線段的長度為,線段的長度為.則；；。 利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)，設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn),那么: a的終邊 P(x,y)) O x y (1)叫做的正弦,記做,即； （2）叫做的余弦,記做,即； （3）叫做的正切,記做,即。 5.同角三角函數(shù)關(guān)系式 四．典例解析 題型1：象限角 例1．已知角；（1）在區(qū)間內(nèi)找出所有與角有相同終邊的角；（2）集合，那么兩集合的關(guān)系是什么？ 解析：（1）所有與角有相同終邊的角可表示為：， 則令 ， 得 解得 從而或 代回或 （2）因?yàn)楸硎镜氖墙K邊落在四個(gè)象限的平分線上的角的集合；而集合表示終邊落在坐標(biāo)軸或四個(gè)象限平分線上的角的集合，從而：。 點(diǎn)評(píng)：（1）從終邊相同的角的表示入手分析問題，先表示出所有與角有相同終邊的角，然后列出一個(gè)關(guān)于的不等式，找出相應(yīng)的整數(shù)，代回求出所求解；（2）可對(duì)整數(shù)的奇、偶數(shù)情況展開討論 例2．（xx全國理，1）若sinθcosθ＞0，則θ在（ ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 解析：答案：B；∵sinθcosθ＞0，∴sinθ、cosθ同號(hào)。 當(dāng)sinθ＞0，cosθ＞0時(shí)，θ在第一象限，當(dāng)sinθ＜0，cosθ＜0時(shí)，θ在第三象限，因此，選B。 例3．已知角的終邊過點(diǎn)，求的四個(gè)三角函數(shù)值。 解析：因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，。 當(dāng)； ，。 當(dāng)，；。 課后小練： 1．已知的正弦線與余弦線相等，且符號(hào)相同，那么A． B．C．D． 2．已知的值為( ) A．－2 B．2 C． D．－ 3. 已知角的終邊在函數(shù)的圖象上，則的值為 （ ） A．B．－ C．或－ D． 4.若那么2的終邊所在象限為( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 小結(jié)：