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2019-2020年高中數(shù)學 第1章 常用邏輯用語章末檢測 蘇教版選修2-1
一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)
1．下列語句中，是命題的個數(shù)是________．
①|(zhì)x＋2|；②－5∈Z；③π?R；④{0}∈N.
答案 3
解析?、冖邰苁敲}．
2．命題“若α＝，則tanα＝1”的逆否命題是____________．
答案 若tanα≠1，則α≠
解析 命題“若α＝，則tanα＝1”的逆否命題是“若tanα≠1，則α≠”．
3．設a>0且a≠1，則“函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數(shù)”的________條件．
答案 充分不必要
解析 由題意知函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)等價于0
0.
答案?、?
解析 “m＝”“直線(m＋2)x＋3my＋1＝0與直線(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相平行”，故①不正確．“直線l垂直平面α內(nèi)無數(shù)條直線”“直線l垂直于平面α”，故②不正確．“ab＝ac”“b＝c”，故③不正確．存在性命題的否定為全稱命題，④正確．
8．已知a、b∈R，那么“0＜a＜1且0＜b＜1”是“ab＋1＞a＋b”的________條件．
答案 充分不必要
解析 將ab＋1＞a＋b整理得，(a－1)(b－1)＞0，即判斷“0＜a＜1且0＜b＜1”是“(a－1)(b－1)＞0”的什么條件．由0＜a＜1且0＜b＜1可推知(a－1)(b－1)＞0，由(a－1)(b－1)＞0?或故“0＜a＜1且0＜b＜1”是“ab＋1＞a＋b”的充分不必要條件．
9．設x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集．若命題p：?x∈A,2x∈B，則綈p是________________．
答案 ?x∈A,2x?B
解析 全稱命題的否定是存在性命題．
10．命題“若a>b，則2a>2b－1”的否命題為________________________________．
答案 若a≤b，則2a≤2b－1
解析 一個命題的否命題是對條件和結(jié)論都否定．
11．命題：存在一個實數(shù)對，使2x＋3y＋3<0成立的否定是
________________________________________________________________________.
答案 任意實數(shù)對，使2x＋3y＋3≥0都成立．
解析 存在性命題的否定是全稱命題．
12．設p：x>2或x<；q：x>2或x<－1，則綈p是綈q的________條件．
答案 充分不必要
解析 綈p：≤x≤2.
綈q：－1≤x≤2.綈p?綈q，但綈q綈p.
∴綈p是綈q的充分不必要條件．
13．f(x)，g(x)是定義在R上的函數(shù)，h(x)＝f(x)＋g(x)，則“f(x)，g(x)均為偶函數(shù)”是“h(x)為偶函數(shù)”的________條件．
答案 充分不必要
解析 若f(x)，g(x)為偶函數(shù)，則f(－x)＝f(x)，g(－x)＝g(x)，故h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)．又∵f(x)，g(x)的定義域是R，∴h(x)是偶函數(shù)．∴f(x)，g(x)是偶函數(shù)?h(x)是偶函數(shù)，令f(x)＝x，g(x)＝x2－x，則h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2是偶函數(shù)．而f(x)，g(x)不是偶函數(shù)，∴h(x)是偶函數(shù)f(x)，g(x)是偶函數(shù)．
14．在下列四個命題中，真命題的個數(shù)是________．
①?x∈R，x2＋x＋3>0；
②?x∈Q，x2＋x＋1是有理數(shù)；
③?α，β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；
④?x0，y0∈Z，使3x0－2y0＝10.
答案 4
解析?、僦衳2＋x＋3＝(x＋)2＋≥>0，
故①是真命題．
②中x∈Q，x2＋x＋1一定是有理數(shù)，
故②是真命題．
③中α＝，β＝－時，
sin(α＋β)＝0，sinα＋sinβ＝0，故③是真命題．
④中x0＝4，y0＝1時，
3x0－2y0＝10成立，故④是真命題．
二、解答題(本大題共6小題，共90分)
15．(14分)給出命題p：“在平面直角坐標系xOy中，已知點P(2cosx＋1,2cos2x＋2)和Q(cosx，－1)，?x∈[0，π]，向量與不垂直”．試寫出命題p的否定，并證明命題p的否定的真假性．
解 綈p：在直角坐標系xOy中，已知點P(2cosx＋1,2cos2x＋2)和Q(cosx，－1)，?x∈[0，π]，向量⊥，綈p是真命題，證明如下：
由⊥得cosx(2cosx＋1)－(2cos2x＋2)＝0利用cos2x＝2cos2x－1，
化簡得：2cos2x－cosx＝0，
∴cosx＝0或cosx＝.
又∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝.
故?x＝或x＝，向量⊥.
16．(14分)求證：“a＋2b＝0”是“直線ax＋2y＋3＝0和直線x＋by＋2＝0互相垂直”的充要條件．
證明 充分性：
當b＝0時，如果a＋2b＝0，那么a＝0，此時直線ax＋2y＋3＝0平行于x軸，直線x＋by＋2＝0平行于y軸，它們互相垂直；當b≠0時，直線ax＋2y＋3＝0的斜率k1＝－，直線x＋by＋2＝0的斜率k2＝－，如果a＋2b＝0，那么k1k2＝(－)(－)＝－1，兩直線互相垂直．
必要性：
如果兩條直線互相垂直且斜率都存在，
那么k1k2＝(－)(－)＝－1，所以a＋2b＝0；
若兩直線中有直線的斜率不存在，且互相垂直，則b＝0，且a＝0.所以a＋2b＝0.
綜上，“a＋2b＝0”是“直線ax＋2y＋3＝0和直線x＋by＋2＝0互相垂直”的充要條件．
17．(14分)設p：關(guān)于x的不等式ax>1 (a>0且a≠1)的解集為{x|x<0}，q：函數(shù)y＝lg(ax2－x＋a)的定義域為R.如果p和q有且僅有一個正確，求a的取值范圍．
解 當p真時，0，
∴p假時，a>1，q假時，a≤.
又p和q有且僅有一個正確．
當p真q假時，01.
綜上得，a∈(0，]∪(1，＋∞)．
18．(16分)已知命題p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－m2>0(m>0)，若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．
解 由x2－8x－20>0?x<－2或x>10，
即命題p對應的集合為P＝{x|x<－2或x>10}，
由x2－2x＋1－m2>0(m>0)
?[x－(1－m)][x－(1＋m)]>0(m>0)
?x<1－m或x>1＋m(m>0)，
即命題q對應的集合為
Q＝{x|x<1－m或x>1＋m，m>0}，
因為p是q的充分不必要條件，知P是Q的真子集．
故有或解得00，命題q：實數(shù)x滿足
(1)若a＝1，且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
(2)若綈p是綈q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．
解 (1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0.
又a>0，所以a3}，
則AB.
所以03，即10對任意實數(shù)x均成立．當a＝0時，－x>0，其解集不是R，∴a≠0.
于是有
解得a>2，故命題p為真命題等價于a>2.
命題q為真命題等價于a>＝＝對一切實數(shù)x均成立．
由于x>0，∴>1，＋1>2，
∴<1，從而命題q為真命題等價于a≥1.
根據(jù)題意知，命題p、q有且只有一個為真命題，
當p真q假時，實數(shù)a不存在；
當p假q真時，實數(shù)a的取值范圍是1≤a≤2.
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