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2019-2020年高一數(shù)學(xué)上 第二章 函數(shù)：函數(shù)2.1.1優(yōu)秀教案 2.1 映 射 [教學(xué)目的] 使學(xué)生了解映射的概念及表示方法；了解象、原象的概念；了解一一映射的概念. [重點(diǎn)難點(diǎn)] 重點(diǎn)難點(diǎn)：映射的概念. [教學(xué)設(shè)想] 1.教法：直觀演示、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法； 2.學(xué)法：?jiǎn)l(fā)學(xué)生觀察、思考、分析和討論； 3.課時(shí)：2課時(shí). [教學(xué)過(guò)程] 2.1.1 映射的概念和性質(zhì) [教學(xué)目的] 使學(xué)生了解映射的概念、表示方法及性質(zhì)，了解象、原象的概念.會(huì)判斷一些簡(jiǎn)單的對(duì)應(yīng)是否是映射，會(huì)求象或原象. [重點(diǎn)難點(diǎn)] 重點(diǎn)難點(diǎn)：映射的概念. [教學(xué)過(guò)程] 一、復(fù)習(xí)引入 在上一章里，我們較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了集合的初步知識(shí)，學(xué)習(xí)了元素與集合的關(guān)系—屬于或不屬于，集合與集合的包含關(guān)系，以及集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算等. 在初中我們已學(xué)過(guò)一些對(duì)應(yīng)的例子，例如，對(duì)于任何一個(gè)實(shí)數(shù)a，數(shù)軸上都有唯一的一點(diǎn)P和它對(duì)應(yīng)；對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)任何一個(gè)點(diǎn)M，都有唯一的一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)和它對(duì)應(yīng)；對(duì)于任意一個(gè)三角形，都有唯一的一個(gè)確定的面積和它對(duì)應(yīng).本節(jié)我們將學(xué)習(xí)一種特殊的對(duì)應(yīng)—映射. 二、學(xué)習(xí)、講解新課 ⒈映射的概念 我們看下面的對(duì)應(yīng)： 下列圖2-2中哪些是A中元素對(duì)應(yīng)B中唯一元素的特殊對(duì)應(yīng)： 1 2 3 4 5 6 1 -1 2 -2 3 -3 1/2 1 3 -3 2 -2 1 -1 A B A B A B A B 1 2 3 1 4 9 300 450 600 900 9 4 1 開(kāi)平方 求正弦 求平方 乘以2 (1) (2) (3) (4) 圖2-2 A．⑴； B．⑴⑵； C．⑵⑷； D．⑵⑶⑷ 答案：D. 從上述幾個(gè)例子的對(duì)應(yīng)(圖2-2(1)除外)中，你能歸納出它們的共同特點(diǎn)嗎？ 上述對(duì)應(yīng)(圖2-2(1)除外)的共同特點(diǎn)是：對(duì)于集合A中任何一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng).這種A中元素對(duì)應(yīng)B中唯一元素的特殊對(duì)應(yīng)，我們把它叫做集合A到集合B的映射. 一般地，設(shè)A，B是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合A，B以及A到B的對(duì)應(yīng)法則f)叫做集合A到集合B的映射，記作f:A→B.其中與A中的元素a對(duì)應(yīng)的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象. 這樣，上述(除圖2-2(1)外)的對(duì)應(yīng)，都是集合A到集合B的映射；而圖2-2(1)的對(duì)應(yīng)則不是集合A到集合B的映射(為是么？). 在圖2-2(2)的映射中，1/2，/2,/2，1分別是300，450,600,900的象，300，450,600,900分別是1/2，/2,/2，1的原象. 你能舉出日常生活中的一些有關(guān)映射的例子嗎？ 如照相，如果把Ａ看作是我們班的全體同學(xué)和老師組成的集合，Ｂ看作是我們班全體同學(xué)和老師所照的相上的人像組成的集合，那么我們班的全體同學(xué)和老師都是原象，所照的相片上的人像都是象.另外，當(dāng)大家都沒(méi)有被遮住時(shí)，每個(gè)同學(xué)和老師都有自己對(duì)應(yīng)的象，這是一對(duì)一的映射；當(dāng)有些同學(xué)被前面的同學(xué)遮住時(shí)，那么這些同學(xué)和他前面的同學(xué)就只能對(duì)應(yīng)他前面同學(xué)的象，這是多對(duì)一的映射. 下面我們?cè)賮?lái)分析一下定義中的一些關(guān)鍵字詞，以便更好地理解映射的概念. ①“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射與B到A的映射往往不是同一個(gè)映射，比如圖2-2⑶中A到B是求平方，B到A則是開(kāi)平方，因此映射是有序的； ②“都有”：就是說(shuō)對(duì)集合A中任何一個(gè)元素，集合B中都有元素和它對(duì)應(yīng)，這是映射的存在性； ③“唯一”：對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素，集合B中都是唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，這是映射的唯一性； ④“在集合B中”：也就是說(shuō)A中元素的象必在集合B中，這是映射的封閉性. ⒉映射的性質(zhì) ⑴任意性：映射中的兩個(gè)集合A，B可以是數(shù)集、點(diǎn)集或由圖形組成 的集合等； ⑵有序性：映射是有方向的，A到B的映射與B到A的映射往往不是同一個(gè)映射； ⑶存在性：映射中集合A的每一個(gè)元素在集合B中都有它的象； ⑷唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的； ⑸封閉性：映射中集合A的任一元素的象都必須是B中的元素，即A中元素的象集是B的子集. ⒊怎樣理解映射 從A到B的映射f:A→B，可以形象地比喻為“無(wú)脫靶的射箭”，即： ⑴可以“一對(duì)一”，也可以“多對(duì)一”，但不能“一對(duì)多”； ⑵ A中任一元素在B中均有唯一的一個(gè)元素和它對(duì)應(yīng)，但允許B中有某些元素不是A 中任一元素的象. 例如，上面的無(wú)脫靶投飛標(biāo)，可能“一箭一標(biāo)”，“多箭一標(biāo)”，但不可能“一箭多標(biāo)”.同時(shí)箭袋中的箭可以射完且箭箭中標(biāo)，但標(biāo)不一定被射完. 又如，圖2-2中，⑵⑷是一對(duì)一的映射，⑶是多對(duì)一的映射；若把Ａ看作是自變量組成的集合，Ｂ看作是因變量組成的集合，那么我們初中學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、反比例函數(shù)都是一對(duì)一的映射，而二次函數(shù)是多對(duì)一的映射. ⒋例題評(píng)價(jià) 例１ 已知下列集合A到B的對(duì)應(yīng)，請(qǐng)判斷哪些是A到B的映射？并說(shuō)明理由： ⑴ A=N，B=Z，對(duì)應(yīng)法則：“取相反數(shù)”； ⑵A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，對(duì)應(yīng)法則：“取倒數(shù)”； ⑶A={1，2，3，4，5}，B=R，對(duì)應(yīng)法則：“求平方根”； ⑷A={|00900}，B={x|0x1}，對(duì)應(yīng)法則：“取正弦”. 答案：⑴是；⑵不是，因?yàn)锳中元素0沒(méi)有倒數(shù)；⑶不是，因不滿足唯一性，若對(duì)應(yīng)法則改為“求平方”，則是；⑷是. 例2 集合A=N，B={m|m=,n∈N},f:x→y=，x∈A，y∈B.請(qǐng)計(jì)算在f作用下，象9/11，11/13的原象分別是多少. 分析：求象9/11的原象只需解方程（2x-1）/（2x+1）=9/11求出x即可.同理可求11/13的原象. 答案：象9/11，11/13的原象分別是5，6. ⒌目標(biāo)檢測(cè) ⑴課本P49練習(xí)：1，2，4.（直接做在課本上） ⑵判斷題：在從集合A到集合B的映射中，下列說(shuō)法正確的是（ ） ① A中的每一個(gè)元素在B中都有象； ② A中的兩個(gè)不同元素在B中的象必不同； ③ B中的元素在A中可以沒(méi)有原象； ④ B中的某一元素在A中是原象可能不止一個(gè)； ⑤ A中元素象的集合即為B. A.①②③； B.①③④； C.①④⑤； D.①②④ 答案：⑴課本練習(xí)：1.（略）；2.⑴有2個(gè)，即2；⑵有1個(gè)，即1/2；⑶有一個(gè)，即1；⑷有一個(gè)，即6； 4. 600的象是；的原象是450. ⑵判斷題：B. 三、小 結(jié) ⒈ 對(duì)應(yīng) ⒉ 映射的三要素：兩個(gè)集合A，B以及A到B的對(duì)應(yīng)法則f. ⒊ 映射是特殊的對(duì)應(yīng)，A中任一元素對(duì)應(yīng)B中唯一元素，簡(jiǎn)言之：“每元有象，象唯一”. 四、布置作業(yè) (一)復(fù)習(xí)：課本P46-48的內(nèi)容. (二)書(shū)面：課本P49-50習(xí)題2.1：1，2，4（直接做在課本上）；