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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程章末復(fù)習(xí)提升 蘇教版選修2-1
1.橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)
橢圓
雙曲線
拋物線
幾何條件
與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)
與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)
與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等
標(biāo)準(zhǔn)方程
+=1(a>b>0)
-=1(a>0,b>0)
y2=2px(p>0)
圖形
頂點(diǎn)坐標(biāo)
(a,0)
(0,b)
(a,0)
(0,0)
對(duì)稱(chēng)軸
x軸,長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a;
y軸,短軸長(zhǎng)2b
x軸,實(shí)軸長(zhǎng)2a;
y軸,虛軸長(zhǎng)2b
x軸
焦點(diǎn)坐標(biāo)
(c,0)
c=
(c,0)
c=
(,0)
離心率
0
1,e=
e=1
準(zhǔn)線
x=
x=
x=-
漸近線
y=x
(1)曲線與方程:如果曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系:①曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解;②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上,那么,這條曲線叫做方程的曲線,這個(gè)方程叫做曲線的方程.
(2)圓錐曲線的共同特征:圓錐曲線上的點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離與它到一條定直線的距離之比是定值e;當(dāng)01時(shí),圓錐曲線是雙曲線;當(dāng)e=1時(shí),圓錐曲線是拋物線.
3.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
直線和圓錐曲線的位置關(guān)系有三種:相離、相切、相交.設(shè)直線l的方程為Ax+By+C=0,與圓錐曲線D的方程聯(lián)立可得(消去y)ax2+bx+c=0(*).
(1)當(dāng)a≠0時(shí),若關(guān)于x的方程(*)的判別式Δ>0,則直線與圓錐曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn);若Δ<0,則直線與圓錐曲線沒(méi)有交點(diǎn);若Δ=0,則直線與圓錐曲線相切.
(2)當(dāng)a=0時(shí),若方程(*)有解,則直線與圓錐曲線有一個(gè)交點(diǎn).
題型一 圓錐曲線定義與幾何性質(zhì)的應(yīng)用
橢圓、雙曲線、拋物線的定義是經(jīng)??疾榈膬?nèi)容,往往體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上的轉(zhuǎn)化與化歸思想.圓錐曲線的幾何性質(zhì)包括橢圓、雙曲線、拋物線的對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率,雙曲線的漸近線,拋物線的準(zhǔn)線等內(nèi)容,主要考查這些性質(zhì)的理解記憶.
例1 如圖,已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左,右焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為4(+1);一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.
(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2,證明k1k2=1.
(1)解 由題意知,橢圓離心率為=,得a=c,又由以橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左,右焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為4(+1),結(jié)合橢圓定義得2a+2c=4(+1),所以可解得a=2,c=2,故b2=a2-c2=4,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
易得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線,且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.
(2)證明 設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),則k1=,k2=,所以k1k2==,
又點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線上,所以有-=1,即y=x-4,所以k1k2==1.
跟蹤演練1 已知橢圓+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,左、右頂點(diǎn)分別為A、C,上頂點(diǎn)為B,O為原點(diǎn),P為橢圓上任意一點(diǎn).過(guò)F、B、C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為(m,n).
(1)當(dāng)m+n≤0時(shí),求橢圓的離心率的取值范圍;
(2)當(dāng)(1)的條件下,橢圓的離心率最小時(shí),若點(diǎn)D(b+1,0),(+)的最小值為,求橢圓的方程.
解 (1)設(shè)半焦距為c.由題意得FC、BC的中垂線方程分別為x=、y-=,
于是圓心坐標(biāo)為.
所以m+n=+≤0,即ab-bc+b2-ac≤0,
即(a+b)(b-c)≤0,所以b≤c,
于是b2≤c2,即a2=b2+c2≤2c2,
所以e2=≥,即≤e<1.
(2)由(1)知emin=,a=b=c,
此時(shí)橢圓的方程為+=1,
設(shè)P(x,y),則-c≤x≤c,
所以(+)=x2-x+c2=(x-1)2+c2-.
當(dāng)c≥時(shí),上式的最小值為c2-,即c2-=,得c=2;
當(dāng)0<c<時(shí),上式的最小值為(c)2-c+c2,即(c)2-c+c2=,
解得c=,與0<c<矛盾,舍去.
綜上所述,橢圓的方程為+=1.
題型二 與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問(wèn)題
軌跡是動(dòng)點(diǎn)按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的,軌跡的條件可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示出來(lái).求軌跡方程的基本方法是
(1)直接法求軌跡方程:建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,根據(jù)條件列出方程;
(2)待定系數(shù)法求軌跡方程:根據(jù)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(3)定義法求軌跡方程:動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿(mǎn)足圓錐曲線的定義;
(4)代入法求軌跡方程:動(dòng)點(diǎn)M(x,y)取決于已知曲線C上的點(diǎn)(x0,y0)的坐標(biāo)變化,根據(jù)兩者關(guān)系,得到x,y,x0,y0的關(guān)系式,用x,y表示x0,y0,代入曲線C的方程.
例2 如圖,已知線段AB=4,動(dòng)圓O1與線段AB切于點(diǎn)C,且AC-BC=2,過(guò)點(diǎn)A、B分別作圓O1的切線,兩切線交于點(diǎn)P,且P、O1均在AB的同側(cè),求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.
解 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則A(-2,0),B(2,0),由切線長(zhǎng)定理得
AC-BC=PA-PB=2<4,
∴點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支(不包括頂點(diǎn)).
∵a=,c=2,∴b2=2.
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是x2-y2=2 (x>).
跟蹤演練2 若動(dòng)圓P過(guò)點(diǎn)N(-2,0),且與另一圓M:(x-2)2+y2=8相外切,求動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程.
解 設(shè)P(x,y),因?yàn)閯?dòng)圓P過(guò)點(diǎn)N,
所以PN是該圓的半徑,
又因?yàn)閯?dòng)圓P與圓M外切,
所以有PM=PN+2,即PM-PN=2,
故點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為2,焦距MN為4的雙曲線的左支,
即a=,c=2,所以b==,
從而動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程為-=1 (x≤-).
題型三 圓錐曲線的綜合問(wèn)題
圓錐曲線中定點(diǎn)、定值、最值、范圍問(wèn)題是圓錐曲線的綜合問(wèn)題,它是解析法的應(yīng)用,它涉及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,圓錐曲線與圓錐曲線的位置關(guān)系,圓錐曲線知識(shí)的縱向聯(lián)系,圓錐曲線知識(shí)與三角、函數(shù)、不等式、方程、平面向量等代數(shù)知識(shí)的橫向聯(lián)系.解這類(lèi)問(wèn)題的分析思想與方法是可循的,重要的是要善于掌握?qǐng)A錐曲線知識(shí)縱向、橫向的聯(lián)系,努力提高解題能力.
例3 如圖,設(shè)A(a,0) (a>0),B、C分別為x軸、y軸上的點(diǎn),非零向量滿(mǎn)足:=2,⊥.
(1)當(dāng)點(diǎn)B在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)P的軌跡E的方程;
(2)設(shè)Q是曲線E上異于P的點(diǎn),且=0,求證:直線PQ過(guò)定點(diǎn).
(1)解 設(shè)B(x0,0),C(0,y0),P(x,y).
∵=2,∴C是BP的中點(diǎn),
∴
易知=(-x0,y0),=(-a,y0),
由⊥,即⊥,得ax0+y=0,
∴-ax+y2=0,即y2=4ax.
又=(2x,y)≠0,
∴P點(diǎn)的軌跡方程是y2=4ax (a>0,x≠0).
(2)證明 ∵=0,∴OP⊥OQ,
顯然直線OP的斜率存在,且不為0,
∴可設(shè)直線OP:y=kx,則直線OQ:y=-x,
由 得P;
由 得Q=(4ak2,-4ak).
當(dāng)k=1時(shí),直線PQ的方程為x=4a,過(guò)定點(diǎn)(4a,0);
當(dāng)k≠1時(shí),直線PQ的方程為=,
整理得k(x-4a)+(k2-1)y=0,
∵k≠0,∴過(guò)定點(diǎn)(4a,0).
綜上,直線PQ必過(guò)定點(diǎn)(4a,0).
跟蹤演練3 如圖,已知A(-3p,0) (p>0),B、C兩點(diǎn)分別在y軸和x軸上運(yùn)動(dòng),并且滿(mǎn)足=0,=.
(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線與Q的軌跡交于E、F兩點(diǎn),A′(3p,0),求直線A′E,A′F的斜率之和.
解 (1)設(shè)Q(x,y),B(0,y0),C(x0,0),
則=(x0,-y0),=(x-x0,y),
∵=,∴(x0,-y0)=(x-x0,y),
即x0=,y0=-.∴B,C.
又A(-3p,0),∴=,=,
由=0,得3px-y2=0,
即y2=4px.
∴Q點(diǎn)的軌跡方程為y2=4px (p>0).
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線方程為y=k(x+3p) (k≠0),E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2).
聯(lián)立方程組
消去x,得y2-y+3kp=0.
∴y1y2=12p2,
kA′E+kA′F=+
=,
又y=4px1,y=4px2,
∴kA′E+kA′F=.
由y1y2=12p2,得kA′E+kA′F=0.
1.圓錐曲線的定義是圓錐曲線問(wèn)題的根本,利用圓錐曲線的定義解題是高考考查圓錐曲線的一個(gè)重要命題點(diǎn),在歷年的高考試題中曾多次出現(xiàn).
2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是用代數(shù)方法研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)的基礎(chǔ),高考對(duì)圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的考查方式有兩種:一個(gè)是在解答題中作為試題的入口進(jìn)行考查;二是在填空題中結(jié)合圓錐曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)進(jìn)行考查.
3.圓錐曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)是圓錐曲線的重點(diǎn)內(nèi)容,高考對(duì)此進(jìn)行重點(diǎn)考查,主要考查橢圓與雙曲線的離心率的求解、雙曲線的漸近線方程的求解,試題一般以圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等為主進(jìn)行交匯命題.
4.雖然考綱中沒(méi)有直接要求關(guān)于直線與圓錐曲線相結(jié)合的知識(shí),但直線與圓錐曲線是密不可分的,如雙曲線的
漸近線、拋物線的準(zhǔn)線,圓錐曲線的對(duì)稱(chēng)軸等都是直線.高考不但不回避直線與圓錐曲線,而且在試題中進(jìn)行重點(diǎn)考查,考查方式既可以是填空題,也可以是解答題.
5.考綱對(duì)曲線與方程的要求是“了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系”,高考對(duì)曲線與方程的考查主要體現(xiàn)在以利用圓錐曲線的定義和待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程,以直接法、代入法等方法求圓錐曲線的方程.
6.高考對(duì)圓錐曲線的考查是綜合性的,這種綜合性體現(xiàn)在圓錐曲線、直線、圓、平面向量、不等式等知識(shí)的相互交匯,高考對(duì)圓錐曲線的綜合考查主要是在解答題中進(jìn)行,一般以橢圓或者拋物線為依托,全面考查圓錐曲線與方程的求法、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,考查函數(shù)、方程、不等式、平面向量等在解決問(wèn)題中的綜合運(yùn)用.
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