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2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 異面直線教案 理 教材分析 異面直線是立體幾何中十分重要的概念．研究空間點(diǎn)、直線和平面之間的各種位置關(guān)系必須從異面直線開始． 教材首先通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生弄懂“共面”、“異面”的區(qū)別，正確理解“異面”的含義，進(jìn)而介紹異面直線所成角及異面直線間的距離，這樣處理完全符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律．處理好這節(jié)內(nèi)容，可以比較容易地引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)由平面直觀到空間想象的過(guò)渡． 教學(xué)重點(diǎn)是異面直線的概念，求異面直線所成的角和異面直線間的距離是這節(jié)的難點(diǎn)． 教學(xué)目標(biāo) 1. 理解異面直線的概念，了解空間中的直線的三種位置關(guān)系． 2. 理解異面直線所成的角、異面直線間的距離的意義，體會(huì)空間問(wèn)題平面化的基本數(shù)學(xué)思想方法． 3. 通過(guò)異面直線的學(xué)習(xí)，使學(xué)生逐步養(yǎng)成在空間考慮問(wèn)題的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力． 任務(wù)分析 空間中的兩條直線的位置關(guān)系，是在平面中兩條直線位置關(guān)系及平面的基本性質(zhì)基礎(chǔ)上提出來(lái)的．學(xué)生對(duì)此已有一定的感性認(rèn)識(shí)，但是此認(rèn)識(shí)是膚淺的．同時(shí)，學(xué)生空間想象能力還較薄弱．因此，這節(jié)內(nèi)容課應(yīng)從簡(jiǎn)單、直觀的圖形開始介紹．“直觀”是這節(jié)內(nèi)容的宗旨．多給學(xué)生思考的時(shí)間和空間，以有助于空間想象能力的形成．異面直線所成的角的意義及求法，充分體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想．要讓學(xué)生通過(guò)基本問(wèn)題的解決，進(jìn)一步體會(huì)異面直線所成的角、異面直線間的距離的意義及其基本求法． 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問(wèn)題情境（１） 1. 同一平面內(nèi)的兩條直線有幾種位置關(guān)系？空間中的兩條直線呢？觀察教室內(nèi)的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側(cè)所在直線的位置或觀察天安門廣場(chǎng)上旗桿所在直線與長(zhǎng)安街所在直線的位置． 2. 如圖15-1，長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，線段A1B所在直線與線段C1C所在直線的位置關(guān)系如何？ 二、建立模型（１） 1. 首先引導(dǎo)學(xué)生觀察實(shí)例或幾何模型，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)，空間兩直線除平行或相交外，還有一種位置關(guān)系：存在兩條直線既不平行又不相交，即不能共面的兩直線，并在此基礎(chǔ)上總結(jié)出異面直線的定義． 2. 在學(xué)生討論歸納異面直線定義的基礎(chǔ)上，教師概括：我們把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫作異面直線． 強(qiáng)調(diào)：（1）所謂異面，即不共面，所以它們既不平行，也不相交． （2）“不共面”，指不在任何一個(gè)平面內(nèi)，關(guān)鍵是“任何”二字． 3. 先讓學(xué)生總結(jié)空間中兩條直線的位置關(guān)系，然后教師明晰． （1）共面與異面．共面分為平行和相交． （2）有無(wú)公共點(diǎn)．有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)———相交直線，無(wú)公共點(diǎn) ____________ 平行直線和異面直線． 4. 異面直線的畫法． 先讓學(xué)生體會(huì)下列圖形，并讓其指出哪些更為直觀． 顯然，圖15-2或圖15-3較好． 因此，當(dāng)表示異面直線時(shí)，以平面襯托可以顯示得更清楚． 三、問(wèn)題情境（2） 刻畫兩條平行直線位置通常用距離，兩條相交直線通常用角度，那么，如何刻畫兩條異面直線的相對(duì)位置呢？容易想象要用角和距離，如何定義異面直線的角和距離呢？下面探究一個(gè)具體的問(wèn)題： 如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中， 1. 我們知道AB與A1B是共面的，它們成的角是45，那么異面直線AB與D1C所成的角定義為多少度的角比較合理呢？ 2. 回憶我們已學(xué)過(guò)的“距離”概念，發(fā)現(xiàn)“距離”具有“最小性”，現(xiàn)在直線AB和D1C上各取一點(diǎn)，這兩點(diǎn)必然存在距離，試問(wèn)在這所有可能的距離中，是否存在兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)間距離最短？ 進(jìn)一步思考：如何定義異面直線AB和D1C間的距離？ 四、建立模型（2） 在學(xué)生充分討論、探究的基礎(chǔ)上，抽象概括出異面直線所成的角和異面直線間的距離的概念． 1. 異面直線a與b所成的角 已知兩條異面直線a，b．經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O，作直線a′∥a，b′∥b，我們把a(bǔ)′與b′所成的銳角（或直角），叫作異面直線a與b所成的角． 強(qiáng)調(diào)：（1）“空間角”是通過(guò)“平面角”來(lái)定義的． （2）“空間角”的大小，與空間點(diǎn)O的選取無(wú)關(guān)，依據(jù)是“等角定理”．為簡(jiǎn)便，點(diǎn)O常取在兩條異面直線中的一條上． （3）異面直線所成角的范圍是0＜θ≤90． （4）異面直線垂直的意義．今后所說(shuō)的兩直線垂直，可能是相交直線，也可能是異面直線． 2. 對(duì)于問(wèn)題2，學(xué)生討論，可以發(fā)現(xiàn)：線段BC是在異面直線AB和D1C上各任取一點(diǎn)，且兩點(diǎn)間的距離為異面直線AB和D1C間的最小值．此時(shí)，我們就說(shuō)BC的長(zhǎng)度就是AB和D1C的距離． 引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析線段BC與AB，D1C之間的關(guān)系，得出公垂線段定義：和兩條異面直線都垂直且相交的線段． 強(qiáng)調(diào)：（1）“垂直”與“相交”同時(shí)成立． （2）公垂線段的長(zhǎng)度定義為異面直線間的距離． 五、解釋應(yīng)用 ［例　題］ 1. 如圖，點(diǎn)D是△ABC所在平面外一點(diǎn)，求證直線AB與直線CD是異面直線． 注：主要考查異面直線的定義，這里可考慮用反證法證明．要讓學(xué)生體會(huì)用反證法的緣由． 2. 已知：如圖，已知正方體ABCD—A′B′C′D′． （1）哪些棱所在直線與直線BA′是異面直線？ （2）直線BA′和CC′的夾角是多少？ （3）哪些棱所在直線與直線AA′垂直？ （4）直線BB′與DC間距離是多少？注：主要是理解、鞏固有關(guān)異面直線的一些基本概念．解題格式要規(guī)范，合理． ［練　習(xí)］ 1. 如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么，另一條直線是否也與這條直線垂直？ 2. 垂直于同一條直線的兩條直線是否平行？ 3. 與兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是怎樣的？ 4. 已知：如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A′B′C′D′中，AB＝2 ，AD＝2，AA′＝2． （1）BC和A′C′所成角是多少度？ （2）AA′和BC′所成角是多少度？ （3）AA′和BC所成的角和距離是多少？ （4）A′B與B′C所成的角是多少？ （5）AC′與BD所成的角是多少？ 四、拓展延伸 1. 判斷異面直線除了定義之外，還有如下依據(jù)：過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)和平面外一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線．請(qǐng)給以證明． 2. 設(shè)點(diǎn)P是直線l外的一定點(diǎn)，過(guò)P與l成30角的異面直線有 ____________ 條．（無(wú)數(shù)） 3. 已知異面直線a與b成50角，P為空間任一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P且與a，b所成的角都是30的直線有 ____________ 條．（2） 若a與b所成的角是60，65和70呢？ 點(diǎn)　評(píng) 這篇案例設(shè)計(jì)思路完整，條理清晰．案例首先通過(guò)直觀的圖形引出定義，這樣有利于學(xué)生的接受．然后探索了異面直線所成角與異面直線間距離的概念．探索過(guò)程有利于激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，體驗(yàn)科學(xué)思維方法．列舉的例題有針對(duì)性，對(duì)知識(shí)的鞏固和形成起到了很好的作用．“拓展延伸”中提出的問(wèn)題旨在開拓學(xué)生解題思路，增強(qiáng)學(xué)生空間想象能力．