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2019-2020年高中數學 第一章 集合與函數概念 第3節(jié) 函數的基本性質（1）教案 新人教A版必修1 教學目標　　　　　 1．使學生從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法． 2．通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合的思想方法，培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力． 3．通過知識的探究過程培養(yǎng)學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程． 重點難點　　　　　 教學重點：函數單調性的概念、判斷及證明． 教學難點：歸納抽象函數單調性的定義以及根據定義證明函數的單調性． 教學方法　　　　　 教師啟發(fā)講授，學生探究學習． 教學手段　　　　　 計算機、投影儀． 創(chuàng)設情境，引入課題　　　 課前布置任務： (1)由于某種原因，xx年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因. (2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況． 課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜舉辦大型國際體育賽事． 下圖是北京市某年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖． 圖1 引導學生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學生思考． 問題：觀察圖形，能得到什么信息？ 預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到； (2)在某時刻的溫度； (3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低． 在生活中，我們關心很多數據的變化規(guī)律，了解這些數據的變化規(guī)律，對我們的生活是很有幫助的． 問題：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎？ 預案：水位高低、燃油價格、股票價格等． 歸納：用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變?。? 【設計意圖】 由生活情境引入新課，激發(fā)興趣． 歸納探索，形成概念　　　 對于自變量變化時，函數值是變大還是變小，初中時同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數單調性的嚴格定義． 1．借助圖象，直觀感知 問題1：分別作出函數y＝x＋2，y＝－x＋2，y＝x2，y＝的圖象，并且觀察自變量變化時，函數值有什么變化規(guī)律？ 圖2 預案：(1)函數y＝x＋2在整個定義域內y隨x的增大而增大；函數y＝－x＋2在整個定義域內y隨x的增大而減?。? (2)函數y＝x2在[0，＋∞)上y隨x的增大而增大，在(－∞，0)上y隨x的增大而減?。? (3)函數y＝在(0，＋∞)上y隨x的增大而減小，在(－∞，0)上y隨x的增大而減小． 引導學生進行分類描述(增函數、減函數)，同時明確函數的單調性是對定義域內某個區(qū)間而言的，是函數的局部性質． 問題2：能不能根據自己的理解說說什么是增函數、減函數？ 預案：如果函數f(x)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數f(x)在該區(qū)間上為增函數；如果函數f(x)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們說函數f(x)在該區(qū)間上為減函數． 教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數單調性的直觀．描述性的認識． 【設計意圖】 從圖象直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的第一次認識． 2．探究規(guī)律，理性認識 問題1：下圖是函數y＝x＋(x>0)的圖象，能說出這個函數分別在哪個區(qū)間為增函數和減函數嗎？ 圖3 學生的困難是難以確定分界點的確切位置． 通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究． 【設計意圖】 使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性． 問題2：如何從解析式的角度說明f(x)＝x2在[0，＋∞)為增函數？ 預案：(1)在給定區(qū)間內取兩個數，例如1和2，因為12<22，所以f(x)＝x2在[0，＋∞)為增函數． (2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以f(x)＝x2在[0，＋∞)為增函數． (3)任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x12，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0可以嗎？ 引導學生分析這種敘述與定義的等價性，讓學生嘗試用這種等價形式證明函數f(x)＝在[0，＋∞)上是增函數． 【設計意圖】 初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟．等價形式進一步發(fā)展可以得到導數法，為用導數方法研究函數單調性埋下伏筆． 歸納小結，提高認識　　　 學生交流在本節(jié)課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結． 1．小結 (1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性． (2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論． (3)數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等． 2．作業(yè) 書面作業(yè)：課本習題1.3　A組第1,2,3題． 課后探究： (1)證明：函數f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數的充要條件是對任意的x，x＋h∈(a，b)，且h≠0有>0. (2)研究函數y＝x＋(x>0)的單調性，并結合描點法畫出函數的草圖． 《函數的單調性》教學設計說明 一、教學內容的分析 函數的單調性是學生在了解函數概念后學習的函數的第一個性質，是函數學習中第一個用數學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數其他性質提供了方法依據． 對于函數單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：(1)要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的；(2)單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節(jié)課的重點和難點． 二、教學目標的確定 根據本課教材的特點、教學大綱對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標，重視單調性概念的形成過程和對概念本質的認識；強調判斷、證明函數單調性的方法的落實以及數形結合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習慣的養(yǎng)成． 三、教學方法和教學手段的選擇 本節(jié)課是函數單調性的起始課，采用教師啟發(fā)講授，學生探究學習的教學方法，通過創(chuàng)設情境，引導探究，師生交流，最終形成概念，獲得方法．本節(jié)課使用了多媒體投影和計算機來輔助教學，目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點，為學生提供直觀感性的材料，有助于學生對問題的理解和認識． 四、教學過程的設計 為達到本節(jié)課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施： (1)在探索概念階段，讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對單調性定義的三次認識，使得學生對概念的認識不斷深入． (2)在應用概念階段，通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用定義證明函數單調性的方法和步驟． (3)可對判斷方法進行適當的延展，加深對定義的理解，同時也為用導數研究單調性埋下伏筆．