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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第32講 不等式解法及應(yīng)用教案 新人教版 一．課標(biāo)要求： 1．不等關(guān)系 通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實際背景； 2．一元二次不等式 ①．經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程； ②通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系； ③會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，嘗試設(shè)計求解的程序框圖。 3二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題 ①從實際情境中抽象出二元一次不等式組； ②了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組； ③從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決。 二．命題走向 分析近幾年的高考試題，本將主要考察不等式的解法，綜合題多以與其他章節(jié)（如函數(shù)、數(shù)列等）交匯。從題型上來看，多以比較大小，解簡單不等式以及線性規(guī)劃等，解答題主要考察含參數(shù)的不等式的求解以及它在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列中的應(yīng)用。 預(yù)測xx年高考的命題趨勢： 1．結(jié)合指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)的考察函數(shù)的性質(zhì)，解不等式的試題常以填空題、解答題形式出現(xiàn)； 2．以當(dāng)前經(jīng)濟、社會、生活為背景與不等式綜合的應(yīng)用題仍是高考的熱點，主要考察考生閱讀以及分析、解決問題的能力； 3．在函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點命題，特別注意與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)綜合命題這一變化趨勢； 4．對含參數(shù)的不等式，要加強分類討論思想的復(fù)習(xí)，學(xué)會分析引起分類討論的原因，合理分類，不重不漏。 三．要點精講 1．不等式的解法 解不等式是求定義域、值域、參數(shù)的取值范圍時的重要手段，與“等式變形”并列的“不等式的變形”，是研究數(shù)學(xué)的基本手段之一。 高考試題中，對解不等式有較高的要求，近兩年不等式知識占相當(dāng)大的比例。 （1）同解不等式（(1)與同解； （2）與同解，與同解； （3）與同解）； 2．一元一次不等式 解一元一次不等式（組）及一元二次不等式（組）是解其他各類不等式的基礎(chǔ)，必須熟練掌握，靈活應(yīng)用。 情況分別解之。 3．一元二次不等式 或分及情況分別解之，還要注意的三種情況，即或或，最好聯(lián)系二次函數(shù)的圖象。 4．分式不等式 分式不等式的等價變形：>0f(x)g(x)>0，≥0。 5．簡單的絕對值不等式 絕對值不等式適用范圍較廣，向量、復(fù)數(shù)的模、距離、極限的定義等都涉及到絕對值不等式。高考試題中，對絕對值不等式從多方面考查。 解絕對值不等式的常用方法： ①討論法：討論絕對值中的式于大于零還是小于零，然后去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為一般不等式； ②等價變形： 解絕對值不等式常用以下等價變形： |x|0)， |x|>ax2>a2x>a或x<－a(a>0)。 一般地有： |f(x)|g(x)f(x)>g (x)或f(x)0的解集為（ ） A.{x|x<1} B.{x|x>3} C.{x|x<1或x>3} D.{x|10， ∴x<1或x>3. 故原不等式的解集為{x|x<1或x>3}。 點評：簡單的分式不等式的解法是高中數(shù)學(xué)中常用到的求范圍問題工具，分式不等式的解題思路是：分式化整式（注意分母不為零）。 題型2：簡單的絕對值、涉及指數(shù)、對數(shù)和三角的不等式的求解問題 例3．（1）（xx全國，3）不等式（1＋x）（1－｜x｜）＞0的解集是（ ） A．｛x｜0≤x＜1 B.｛x｜x＜0且x≠－1 C．｛x｜－1＜x＜1 D.｛x｜x＜1且x≠－1 （2）（1997全國，14）不等式組的解集是（ ） A.｛x｜0＜x＜2 B.｛x｜0＜x＜2.5 C.｛x｜0＜x＜ D.｛x｜0＜x＜3 解析：（1）答案：D； 解法一：①x≥0時，原不等式化為：（1＋x）（1－x）＞0， ∴（x＋1）（x－1）＜0， ∴0≤x＜1。 ②x＜0時，原不等式化為：（1＋x）（1＋x）＞0（1＋x）2＞0， ∴x≠－1， ∴x＜0且x≠－1。 綜上，不等式的解集為x＜1且x≠－1。 解法二：原不等式化為： ①或 ② ①解得－1＜x＜1， ②解得即x＜－1， ∴原不等式的解集為x＜1且x≠－1。 點評：該題體現(xiàn)了對討論不等式與不等式組的轉(zhuǎn)化及去絕對值的基本方法的要求。 （2）答案：C 解法一：當(dāng)x≥2時，原不等式化為， 去分母得（x+2）（3－x）＞（x+3）（x－2）， 即－x2＋x＋6＞x2＋x－6，2x2－12＜0，。 注意x≥2，得2≤x＜； 當(dāng)0＜x＜2時，原不等式化為，去分母得－x2＋x＋6＞－x2－x＋6。 即2x＞0 注意0＜x＜2，得0＜x＜2。 綜上得0＜x＜，所以選C。 解法二：特殊值法.取x=2，適合不等式，排除A；取x=2.5，不適合不等式，排除D；再取x=，不適合不等式，所以排除B；選C。 點評：此題考查不等式的解法、直覺思維能力、估算能力。 例4．（1）（1995全國理，16）不等式（）＞3－2x的解集是_____。 （2）（xx全國文5，理4）在（0，2π）內(nèi)，使sinx＞cosx成立的x取值范圍為（ ） A.（，）∪（π，） B.（，π） C.（，） D.（，π）∪（，） （3）（06山東理，3）設(shè)f(x)= 則不等式f(x)>2的解集為（ ） (A)（1，2）（3，+∞） (B)（，+∞） (C)（1，2） （ ，+∞） (D)（1，2） 解析：（1）答案：｛x|－2＜x＜4｝ 將不等式變形得 則－x2＋8＞－2x，從而x2－2x－8＜0，（x＋2）（x－4）＜0，－2＜x＜4，所以不等式的解集是｛x|－2＜x＜4｝． 評述：此題考查指數(shù)不等式的解法； （2）答案：C 解法一：作出在（0，2π）區(qū)間上正弦和余弦函數(shù)的圖象，解出兩交點的橫坐標(biāo)和，由圖4—6可得C答案。 圖4—6 圖4—7 解法二：在單位圓上作出一、三象限的對角線，由正弦線、余弦線知應(yīng)選C.（如圖4—7）。 （3）C； 點評：特殊不等式的求解，轉(zhuǎn)化是一方面，借助于函數(shù)的性質(zhì)和圖象也是解決問題的有效手段。 題型3：含參數(shù)的不等式的求解問題 例5．（1）設(shè)不等式x2－2ax+a+2≤0的解集為M，如果M［1，4］，求實數(shù)a的取值范圍？ （2）解關(guān)于x的不等式＞1(a≠1)。 分析：該題實質(zhì)上是二次函數(shù)的區(qū)間根問題，充分考慮二次方程、二次不等式、二次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系是關(guān)鍵所在；數(shù)形結(jié)合的思想使題目更加明朗。 解析：（1）M［1，4］有兩種情況：其一是M=，此時Δ＜0；其二是M≠，此時Δ=0或Δ＞0，分三種情況計算a的取值范圍。 設(shè)f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2) 當(dāng)Δ＜0時，－1＜a＜2，M=［1，4］； 當(dāng)Δ=0時，a=－1或2； 當(dāng)a=－1時M={－1}［1，4］；當(dāng)a=2時，m={2}［1，4］。 當(dāng)Δ＞0時，a＜－1或a＞2。 設(shè)方程f(x)=0的兩根x1，x2，且x1＜x2， 那么M=［x1，x2］，M［1，4］1≤x1＜x2≤4， 即，解得2＜a＜， ∴M［1，4］時，a的取值范圍是(－1，)。 （2）原不等式可化為：＞0， ①當(dāng)a＞1時，原不等式與(x－)(x－2)＞0同解。 由于， ∴原不等式的解為(－∞，)∪(2，+∞)。 ②當(dāng)a＜1時，原不等式與(x－)(x－2) ＜0同解。 由于， 若a＜0，，解集為(，2)； 若a=0時，，解集為； 若0＜a＜1，，解集為(2，)。 綜上所述：當(dāng)a＞1時解集為(－∞，)∪(2，+∞)；當(dāng)0＜a＜1時，解集為(2，)；當(dāng)a=0時，解集為；當(dāng)a＜0時，解集為(，2)。 點評：考查二次不等式的解與系數(shù)的關(guān)系及集合與集合之間的關(guān)系。本題主要涉及一元二次不等式根與系數(shù)的關(guān)系及集合與集合之間的關(guān)系，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想。 M=是符合題設(shè)條件的情況之一，出發(fā)點是集合之間的關(guān)系考慮是否全面，易遺漏；構(gòu)造關(guān)于a的不等式要全面、合理，易出錯。 例6．（1）（06重慶理，15）設(shè)a＞0,n1,函數(shù)f(x)=alg(x2-2n+1) 有最大值.則不等式logn(x2-5x+7) ＞0的解集為______ _； （2）（06重慶文，15）設(shè)，函數(shù)有最小值，則不等式的解集為 。 解析：（1）由于函數(shù)有最大值，則。所以原不等式可轉(zhuǎn)化為，又因為恒成立，由解得； （2）由于函數(shù)有最小值，故。原不等式化為，即。 點評：含參數(shù)指數(shù)、對數(shù)不等式的處理原則是轉(zhuǎn)化為一般的不等式，兼顧到底數(shù)的分類標(biāo)準為兩種情況，這也是分類的標(biāo)準。 題型4：線性規(guī)劃問題 例7．（1）（06安徽，10）如果實數(shù)滿足條件， 那么的最大值為（ ） A． B． C． D． （2）（06天津理，3）設(shè)變量、滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ） A．　　 　 　B．　　　　　 C．　　　 D． 解析：（1）當(dāng)直線過點(0，-1)時，最大，故選B； （2）B． 點評：近年來線性規(guī)劃的一些基本運算問題成為出題的熱點，該部分知識大多都屬于基礎(chǔ)題目，屬于中低檔題目。 例8．（1）（06四川理，8）某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為千克，甲、乙產(chǎn)品每千克可獲利潤分別為元，月初一次性夠進本月用原料各千克，要計劃本月生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品各多少千克才能使月利潤總額達到最大；在這個問題中，設(shè)全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為千克，千克，月利潤總額為元，那么，用于求使總利潤最大的數(shù)學(xué)模型中，約束條件為（ ） （A） （B） （C） （D） （2）（06浙江理，3）在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是（ ） (A) (B) (C) (D) （3）（06北京理，13）已知點 P（x，y）的坐標(biāo)滿足條件點O為坐標(biāo)原點，那么|PO |的最小值等于，最大值等于。 解析：（1）約束條件為，選C； （2）A； （3）、。 點評：線性規(guī)劃的應(yīng)用題也是高考的熱點，諸如求面積、距離、參數(shù)取值的問題經(jīng)常出現(xiàn)。 題型5：不等式的應(yīng)用 例9．（06湖南理，20）對1個單位質(zhì)量的含污物體進行清洗，清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為：為，要求清洗完后的清潔度為。有兩種方案可供選擇，方案甲：一次清洗；方案乙: 分兩次清洗。該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質(zhì)量變?yōu)?。設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是，用單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是，其中是該物體初次清洗后的清潔度。 (Ⅰ)分別求出方案甲以及時方案乙的用水量, 并比較哪一種方案用水量較少； (Ⅱ)若采用方案乙，當(dāng)為某固定值時，如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最小? 并討論取不同數(shù)值時對最少總用水量多少的影響。 解析：(Ⅰ)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設(shè)有=0.99,解得x=19。 由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程： 解得y=4,故z=4+3.即兩種方案的用水量分別為19與4+3。 因為當(dāng),故方案乙的用水量較少。 （II）設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為與，類似（I）得，（*）， 于是+， 當(dāng)為定值時,， 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。 此時 將代入（*）式得 故時總用水量最少, 此時第一次與第二次用水量分別為： , 最少總用水量是. 當(dāng)，故T()是增函數(shù)(也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷)。這說明，隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量。 點評：通過實際情景建立函數(shù)關(guān)系式求解不等式問題成為高考的亮點，解題的關(guān)鍵是建立函數(shù)模型，通過函數(shù)的性質(zhì)特別是單調(diào)性建立不等關(guān)系求得結(jié)果。 例10．（xx全國文24、理22）如圖6—1，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米.已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)與a、b的乘積ab成反比.現(xiàn)有制箱材料60平方米.問當(dāng)a、b各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最?。ˋ、B孔的面積忽略不計）? 解法一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)，則y=，其中k＞0為比例系數(shù)，依題意，即所求的a、b值使y值最小。 根據(jù)題設(shè)，有4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0）， 得b=（0＜a＜30 ①， 于是 。 當(dāng)a+2=時取等號，y達到最小值。 這時a=6，a=－10（舍去） 將a=6代入①式得b=3， 故當(dāng)a為6米，b為3米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小。 解法二：依題意，即所求的a、b值使ab最大。 由題設(shè)知4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0）， 即a+2b+ab=30（a＞0，b＞0）。 ∵a+2b≥2 ∴2＋ab≤30， 當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時，上式取等號. 由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18 即當(dāng)a=2b時，ab取得最大值，其最大值為18。 ∴2b2＝18．解得b=3，a=6。 故當(dāng)a為6米，b為3米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小。 點評：本題考查綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決實際問題的能力，考查函數(shù)關(guān)系、不等式性質(zhì)、最大值、最小值等基礎(chǔ)知識，考查利用均值不等式求最值的方法、閱讀理解能力、建模能力。 五．思維總結(jié) 1．在復(fù)習(xí)不等式的解法時，加強等價轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練與復(fù)習(xí) 解不等式的過程是一個等價轉(zhuǎn)化的過程，通過等價轉(zhuǎn)化可簡化不等式（組），以快速、準確求解。 加強分類討論思想的復(fù)習(xí).在解不等式或證不等式的過程中，如含參數(shù)等問題，一般要對參數(shù)進行分類討論.復(fù)習(xí)時，學(xué)生要學(xué)會分析引起分類討論的原因，合理的分類，做到不重不漏。 加強函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用訓(xùn)練。不等式、函數(shù)、方程三者密不可分，相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化.如求參數(shù)的取值范圍問題，函數(shù)與方程思想是解決這類問題的重要方法.在不等式的證明中，加強化歸思想的復(fù)習(xí)，證不等式的過程是一個把已知條件向要證結(jié)論的一個轉(zhuǎn)化過程，既可考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識，又可考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，正因為證不等式是高考考查學(xué)生代數(shù)推理能力的重要素材，復(fù)習(xí)時應(yīng)引起我們的足夠重視。 2．強化不等式的應(yīng)用 突出不等式的知識在解決實際問題中的應(yīng)用價值，借助不等式來考查學(xué)生的應(yīng)用意識。 高考中除單獨考查不等式的試題外，常在一些函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何和實際應(yīng)用問題的試題中涉及不等式的知識，加強不等式應(yīng)用能力，是提高解綜合題能力的關(guān)鍵.因此，在復(fù)習(xí)時應(yīng)加強這方面訓(xùn)練，提高應(yīng)用意識，總結(jié)不等式的應(yīng)用規(guī)律，才能提高解決問題的能力。 如在實際問題應(yīng)用中，主要有構(gòu)造不等式求解或構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的最值等方法，求最值時要注意等號成立的條件，避免不必要的錯誤。 3．突出重點 綜合考查在知識與方法的交匯點處設(shè)計命題，在不等式問題中蘊含著豐富的函數(shù)思想，不等式又為研究函數(shù)提供了重要的工具，不等式與函數(shù)既是知識的結(jié)合點，又是數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)方法的交匯點，因而在歷年高考題中始終是重中之重。在全面考查函數(shù)與不等式基礎(chǔ)知識的同時，將不等式的重點知識以及其他知識有機結(jié)合，進行綜合考查，強調(diào)知識的綜合和知識的內(nèi)在聯(lián)系，加大數(shù)學(xué)思想方法的考查力度，是高考對不等式考查的又一新特點。