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2019-2020年高三數(shù)學第一輪復習第02講 函數(shù)概念與表示教案 一．課標要求 1．通過豐富實例，進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關系的重要數(shù)學模型，在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數(shù)，體會對應關系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念； 2．在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)； 3．通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用； 4．通過已學過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；結合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義； 5．學會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質。 二．命題走向 函數(shù)是整個高中數(shù)學的重點，其中函數(shù)思想是最重要的數(shù)學思想方法，函數(shù)問題在歷年的高考中都占據(jù)相當大的比例。 從近幾年來看，對本部分內容的考察形勢穩(wěn)中求變，向著更靈活的的方向發(fā)展，對于函數(shù)的概念及表示多以下面的形式出現(xiàn)：通過具體問題（幾何問題、實際應用題）找出變量間的函數(shù)關系，再求出函數(shù)的定義域、值域，進而研究函數(shù)性質，尋求問題的結果。 高考對函數(shù)概念與表示考察是以選擇或填空為主，以解答題形式出現(xiàn)的可能性相對較小，本節(jié)知識作為工具和其他知識結合起來命題的可能性依然很大。 預測xx年高考對本節(jié)的考察是： 1．題型是1個選擇和一個填空； 2．熱點是函數(shù)概念及函數(shù)的工具作用，以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數(shù)成為新的熱點。 三．要點精講 1．函數(shù)的概念： 設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)。記作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域。 注意：（1）“y=f(x)”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； （2）函數(shù)符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應的函數(shù)值，一個數(shù)，而不是f乘x。 2．構成函數(shù)的三要素：定義域、對應關系和值域 （1）解決一切函數(shù)問題必須認真確定該函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域包含三種形式： ①自然型：指函數(shù)的解析式有意義的自變量x的取值范圍（如：分式函數(shù)的分母不為零，偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負數(shù)，對數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，等等）； ②限制型：指命題的條件或人為對自變量x的限制，這是函數(shù)學習中重點，往往也是難點，因為有時這種限制比較隱蔽，容易犯錯誤； ③實際型：解決函數(shù)的綜合問題與應用問題時，應認真考察自變量x的實際意義。 （2）求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學問題，中學數(shù)學要求能用初等方法求一些簡單函數(shù)的值域問題。 ①配方法（將函數(shù)轉化為二次函數(shù)）；②判別式法（將函數(shù)轉化為二次方程）；③不等式法（運用不等式的各種性質）；④函數(shù)法（運用基本函數(shù)性質，或抓住函數(shù)的單調性、函數(shù)圖象等）。 3．兩個函數(shù)的相等： 函數(shù)的定義含有三個要素，即定義域A、值域C和對應法則f。當函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對應法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定。因此，定義域和對應法則為函數(shù)的兩個基本條件，當且僅當兩個函數(shù)的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)。 4．區(qū)間 （1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間； （2）無窮區(qū)間； （3）區(qū)間的數(shù)軸表示。 5．映射的概念 一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：AB”。 函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集間的一種對應，若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應關系，這種的對應就叫映射。 注意：（1）這兩個集合有先后順序，A到B的射與B到A的映射是截然不同的．其中f表示具體的對應法則，可以用漢字敘述。 （2）“都有唯一”什么意思？ 包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思。 6．常用的函數(shù)表示法 （1）解析法：就是把兩個變量的函數(shù)關系，用一個等式來表示，這個等式叫做函數(shù)的解析表達式，簡稱解析式； （2）列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關系； （3）圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個變量之間的關系。 7．分段函數(shù) 若一個函數(shù)的定義域分成了若干個子區(qū)間，而每個子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)又稱分段函數(shù)； 8．復合函數(shù) 若y=f(u)，u=g(x),x(a，b)，u(m,n)，那么y=f[g(x)]稱為復合函數(shù)，u稱為中間變量，它的取值范圍是g(x)的值域。 四．典例解析 題型1：函數(shù)概念 例1．（1）設函數(shù) （2）（xx上海理，1）設函數(shù)f（x）＝，則滿足f（x）=的x值為 。 解：（1）這是分段函數(shù)與復合函數(shù)式的變換問題，需要反復進行數(shù)值代換， = = （2）當x∈（－∞，1，值域應為［，＋∞］， 當x∈（1，＋∞）時值域應為（0，＋∞）， ∴y＝，y∈（0，＋∞）， ∴此時x∈（1，＋∞）， ∴l(xiāng)og81x＝，x＝81＝3。 點評：討論了函數(shù)的解析式的一些常用的變換技巧（賦值、變量代換、換元等等），這都是函數(shù)學習的常用基本功。 變式題：（xx山東 文2）設（ ） A．0 　 B．1 C．2 D．3 解：選項為C。 例2．（xx安徽 文理15） （1）函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，若則__ ________； （2）函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，若則__________。 解：（1）由得， 所以，則。 （2）由得，所以，則。 點評：通過對抽象函數(shù)的限制條件，變量換元得到函數(shù)解析式，考察學生的邏輯思維能力。 題型二：判斷兩個函數(shù)是否相同 例3．試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？ （1）f（x）=，g（x）=； （2）f（x）=，g（x）= （3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）； （4）f（x）=，g（x）=； （5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。 解：（1）由于f（x）==|x|，g（x）==x，故它們的值域及對應法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù)； （2）由于函數(shù)f（x）=的定義域為（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=的定義域為R，所以它們不是同一函數(shù)； （3）由于當n∈N*時，2n1為奇數(shù)， ∴f（x）==x，g（x）=（）2n－1=x，它們的定義域、值域及對應法則都相同，所以它們是同一函數(shù)； （4）由于函數(shù)f（x）=的定義域為{x|x≥0}，而g（x）=的定義域為{x|x≤－1或x≥0}，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù)； （5）函數(shù)的定義域、值域和對應法則都相同，所以它們是同一函數(shù)。 點評：對于兩個函數(shù)y=f（x）和y=g（x），當且僅當它們的定義域、值域、對應法則都相同時，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函數(shù)若兩個函數(shù)表示同一函數(shù)，則它們的圖象完全相同，反之亦然。 （1）第（5）小題易錯判斷成它們是不同的函數(shù)，原因是對函數(shù)的概念理解不透要知道，在函數(shù)的定義域及對應法則f不變的條件下，自變量變換字母，以至變換成其他字母的表達式，這對于函數(shù)本身并無影響，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可視為同一函數(shù)。（2）對于兩個函數(shù)來講，只要函數(shù)的三要素中有一要素不相同，則這兩個函數(shù)就不可能是同一函數(shù)。 題型三：函數(shù)定義域問題 例4．求下述函數(shù)的定義域： （1）； （2） 解：（1），解得函數(shù)定義域為. （2） ，（先對a進行分類討論，然后對k進行分類討論）， ①當a=0時，函數(shù)定義域為； ②當時，得， 1）當時，函數(shù)定義域為， 2）當時，函數(shù)定義域為， 3）當時，函數(shù)定義域為； ③當時，得， 1）當時，函數(shù)定義域為， 2）當時，函數(shù)定義域為， 3）當時，函數(shù)定義域為。 點評：在這里只需要根據(jù)解析式有意義，列出不等式，但第（2）小題的解析式中含有參數(shù)，要對參數(shù)的取值進行討論，考察學生分類討論的能力。 例5．已知函數(shù)定義域為(0，2)，求下列函數(shù)的定義域： (1) ；(2)。 解：（1）由0＜x＜2， 得 點評：本例不給出f(x)的解析式，即由f(x)的定義域求函數(shù)f[g(x)]的定義域關鍵在于理解復合函數(shù)的意義，用好換元法；求函數(shù)定義域的第三種類型是一些數(shù)學問題或實際問題中產生的函數(shù)關系，求其定義域，后面還會涉及到。 變式題：已知函數(shù)f（x）=的定義域是R，則實數(shù)a的取值范圍是（ ） A．a＞ B．－12＜a≤0 C．－12＜a＜0 D．a≤ 解：由a=0或可得－12＜a≤0，答案B。 題型四：函數(shù)值域問題 例5．求下列函數(shù)的值域： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）； （7）；（8）；（9）。 解：（1）（配方法）， ∴的值域為。 改題：求函數(shù)，的值域。 解：（利用函數(shù)的單調性）函數(shù)在上單調增， ∴當時，原函數(shù)有最小值為；當時，原函數(shù)有最大值為。 ∴函數(shù)，的值域為。 （2）求復合函數(shù)的值域： 設（），則原函數(shù)可化為。 又∵， ∴，故， ∴的值域為。 （3）（法一）反函數(shù)法： 的反函數(shù)為，其定義域為， ∴原函數(shù)的值域為。 （法二）分離變量法：， ∵，∴， ∴函數(shù)的值域為。 （4）換元法（代數(shù)換元法）：設，則， ∴原函數(shù)可化為，∴， ∴原函數(shù)值域為。 注：總結型值域， 變形：或 （5）三角換元法： ∵，∴設， 則 ∵，∴，∴， ∴， ∴原函數(shù)的值域為。 （6）數(shù)形結合法：， ∴，∴函數(shù)值域為。 （7）判別式法：∵恒成立，∴函數(shù)的定義域為。 由得： ① ①當即時，①即，∴ ②當即時，∵時方程恒有實根， ∴△， ∴且， ∴原函數(shù)的值域為。 （8）， ∵，∴， ∴， 當且僅當時，即時等號成立。 ∴， ∴原函數(shù)的值域為。 （9）（法一）方程法：原函數(shù)可化為：， ∴（其中）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴原函數(shù)的值域為。 點評：上面討論了用初等方法求函數(shù)值域的一些常見類型與方法，在現(xiàn)行的中學數(shù)學要求中，求值域要求不高，要求較高的是求函數(shù)的最大與最小值，在后面的復習中要作詳盡的討論。 題型五：函數(shù)解析式 例6．（1）已知，求； （2）已知，求； （3）已知是一次函數(shù)，且滿足，求； （4）已知滿足，求。 解：（1）∵， ∴（或）。 （2）令（），則， ∴，。 （3）設， 則， ∴，， ∴。 （4） ①， 把①中的換成，得 ②， ①②得， ∴。 點評：第（1）題用配湊法；第（2）題用換元法；第（3）題已知一次函數(shù)，可用待定系數(shù)法；第（4）題用方程組法。 例7．（xx重慶理21）已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(f(x)－x2+x)=f(x)－x2+x。 （Ⅰ）若f(2)=3,求f(1)；又若f(0)=a,求f(a)； （Ⅱ）設有且僅有一個實數(shù)x0，使得f(x0)= x0。求函數(shù)f(x)的解析表達式。 解：（Ⅰ）因為對任意x∈R，有f(f(x)－x2 + x)=f(x)－x2 +x， 所以f(f(2)－22+2)=f(2)－22+2。 又由f(2)=3，得f(3－22+2)－3－22+2，即f(1)=1。 若f(0)=a，則f(a－02+0)=a－02+0，即f(a)=a。 （Ⅱ）因為對任意x∈R，有f(f(x))－ x2 +x)=f(x)－ x2 +x。 又因為有且只有一個實數(shù)x0,使得f(x0)－ x0。 所以對任意x∈R，有f(x)－ x2 +x= x0.。 在上式中令x= x0，有f(x0)－x + x0= x0。 又因為f(x0)－ x0，所以x0－x=0，故x0=0或x0=1。 若x0=0，則f(x)－ x2 +x=0，即f(x)= x2 –x。 但方程x2 –x=x有兩上不同實根，與題設條件矛質，故x2≠0。 若x2=1，則有f(x)－ x2 +x=1，即f(x)= x2 –x+1。 易驗證該函數(shù)滿足題設條件。 綜上，所求函數(shù)為f(x)= x2 –x+1（xR）。 點評：該題的題設條件是一個抽象函數(shù)，通過應用條件進一步縮小函數(shù)的范圍得到函數(shù)的解析式。這需要考生有很深的函數(shù)理論功底。 題型六：函數(shù)應用 例8．（xx北京春，理文21）某租賃公司擁有汽車100輛.當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出。當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛。租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元。 （1）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？ （2）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：（1）當每輛車的月租金定為3600元時，未租出的車輛數(shù)為： =12，所以這時租出了88輛車。 （2）設每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為： f（x）=（100－）（x－150）－50， 整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050。 所以，當x=4050時，f（x）最大，其最大值為f（4050）=307050。 即當每輛車的月租金定為4050元時，租賃公司的月收益最大，最大收益為307050元. 點評：根據(jù)實際問題求函數(shù)表達式，是應用函數(shù)知識解決實際問題的基礎，在設定或選定變量去尋求等量關系并求得函數(shù)表達式后，還要注意函數(shù)定義域常受到實際問題本身的限制。 例9．（xx湖南 理20）對1個單位質量的含污物體進行清洗，清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為：為，要求清洗完后的清潔度為。有兩種方案可供選擇，方案甲：一次清洗；方案乙：分兩次清洗。該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質量變?yōu)?。設用單位質量的水初次清洗后的清潔度是，用單位質量的水第二次清洗后的清潔度是，其中是該物體初次清洗后的清潔度。 (Ⅰ)分別求出方案甲以及時方案乙的用水量，并比較哪一種方案用水量較少； (Ⅱ)若采用方案乙, 當為某固定值時, 如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最小? 并討論取不同數(shù)值時對最少總用水量多少的影響。 解：(Ⅰ)設方案甲與方案乙的用水量分別為x與z。 由題設有=0.99，解得x=19。 由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程: 解得y=4,故z=4+3.即兩種方案的用水量分別為19與4+3。 因為當,故方案乙的用水量較少。 （II）設初次與第二次清洗的用水量分別為與，類似（I）得 ，（*） 于是+ 當為定值時,, 當且僅當時等號成立。 此時 將代入（*）式得 故時總用水量最少, 此時第一次與第二次用水量分別為， 最少總用水量是。 當, 故T()是增函數(shù)(也可以用二次函數(shù)的單調性判斷)。這說明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量。 點評：本題貼近生活。要求考生讀懂題目，迅速準確建立數(shù)學模型，把實際問題轉化為數(shù)學問題并加以解決。該題典型代表高考的方向。 題型7：課標創(chuàng)新題 例10．（1）設，其中a、b、c、d是常數(shù)。 如果求； （2）若不等式對滿足的所有m都成立，求x的取值范圍。 解：（1）構造函數(shù)則故： （2）原不等式可化為 構造函數(shù)，其圖象是一條線段。 根據(jù)題意，只須： 即 解得。 點評：上面兩個題目通過重新構造函數(shù)解決了實際問題，體現(xiàn)了函數(shù)的工具作用。 五．思維總結 “函數(shù)”是數(shù)學中最重要的概念之一，學習函數(shù)的概念首先要掌握函數(shù)三要素的基本內容與方法。由給定函數(shù)解析式求其定義域這類問題的代表，實際上是求使給定式有意義的x的取值范圍它依賴于對各種式的認識與解不等式技能的熟練。 1．求函數(shù)解析式的題型有： （1）已知函數(shù)類型，求函數(shù)的解析式：待定系數(shù)法； （2）已知求或已知求：換元法、配湊法； （3）已知函數(shù)圖像，求函數(shù)解析式； （4）滿足某個等式，這個等式除外還有其他未知量，需構造另個等式：解方程組法； （5）應用題求函數(shù)解析式常用方法有待定系數(shù)法等。 2．求函數(shù)定義域一般有三類問題： （1）給出函數(shù)解析式的：函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合； （2）實際問題：函數(shù)的定義域的求解除要考慮解析式有意義外，還應考慮使實際問題有意義； （3）已知的定義域求的定義域或已知的定義域求的定義域： ①掌握基本初等函數(shù)（尤其是分式函數(shù)、無理函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的定義域； ②若已知的定義域，其復合函數(shù)的定義域應由解出。 3．求函數(shù)值域的各種方法 函數(shù)的值域是由其對應法則和定義域共同決定的。其類型依解析式的特點分可分三類：(1)求常見函數(shù)值域；(2)求由常見函數(shù)復合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見函數(shù)作某些“運算”而得函數(shù)的值域。 ①直接法：利用常見函數(shù)的值域來求 一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域為R，值域為R； 反比例函數(shù)的定義域為{x|x0}，值域為{y|y0}； 二次函數(shù)的定義域為R， 當a>0時，值域為{}； 當a<0時，值域為{}。 ②配方法：轉化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；常轉化為型如：的形式； ③分式轉化法（或改為“分離常數(shù)法”） ④換元法：通過變量代換轉化為能求值域的函數(shù)，化歸思想； ⑤三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運用三角函數(shù)有界性來求值域； ⑥基本不等式法：轉化成型如：，利用平均值不等式公式來求值域； ⑦單調性法：函數(shù)為單調函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調性求值域。 ⑧數(shù)形結合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結合的方法來求值域。