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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第十五課時 正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)教案 蘇教版必修4 教學(xué)目標(biāo)： 會用單位圓中的正切線畫出正切函數(shù)的圖象，理解正切函數(shù)的性質(zhì)，掌握性質(zhì)的簡單應(yīng)用，會解決一些實際問題；用數(shù)形結(jié)合的思想理解和處理有關(guān)問題，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)實踐第一觀點. 教學(xué)重點： 正切函數(shù)的圖象和性質(zhì) 教學(xué)難點： 正切函數(shù)的性質(zhì)的簡單應(yīng)用 教學(xué)過程： Ⅰ.課題導(dǎo)入 常見的三角函數(shù)還有正切函數(shù)，前面我們研究了正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，今天我們來探討一下正切函數(shù)的圖象，以及它具有哪些性質(zhì)? Ⅱ.講授新課 為了精確，我們還是利用單位圓中的正切線來畫一下正切曲線. ∵tan(π＋x)＝＝＝tanx(其中x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z) 根據(jù)周期函數(shù)定義，可知正切函數(shù)也是周期函數(shù)，且π是它的周期. 現(xiàn)在利用正切線畫出函數(shù) y＝tanx，x∈(－，)的圖象 引導(dǎo)學(xué)生完成. 引導(dǎo)學(xué)生觀察得出正切曲線的特征： 正切曲線是被相互平行的直線x＝＋kπ(k∈Z)所隔開的無窮多支曲線組成的. 現(xiàn)在我們根據(jù)正切曲線來看一下正切函數(shù)有哪些主要性質(zhì). (1)定義域：｛x｜x≠＋kπ，k∈Z｝ (2)值域：R (3)周期性：正切函數(shù)是周期函數(shù)，且周期T＝π (4)奇偶性：∵tan(－x)＝－tanx ∴正切函數(shù)是奇函數(shù) ∴正切曲線關(guān)于原點O對稱 (5)單調(diào)性：正切函數(shù)在開區(qū)間(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z內(nèi)都是增函數(shù). 注意：①正切函數(shù)在整個定義域上不具有單調(diào)性，因為它的定義域不連續(xù)，所以不能說它在整個定義域內(nèi)是增函數(shù).②正切函數(shù)在每個單調(diào)區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù) 下面，來看性質(zhì)的簡單應(yīng)用. ［例1］求函數(shù)y＝tan2x的定義域. 解：由2x≠kπ＋，(k∈Z) 得x≠＋，(k∈Z) ∴y＝tan2x的定義域為：｛x｜x∈R且x≠＋，k∈Z｝ ［例2］觀察正切曲線寫出滿足下列條件的x的值的范圍：tanx＞0 解：畫出y＝tanx在(－，)上的圖象，不難看出在此區(qū)間上滿足tanx＞0的x的范圍為：0＜x＜ 結(jié)合周期性，可知在x∈R,且x≠kπ＋上滿足的x的取值范圍為(kπ，kπ＋)(k∈Z) ［例3］不通過求值，比較tan135與tan138的大小. 解：∵90＜135＜138＜270 又∵y＝tanx在x∈(90，270)上是增函數(shù), ∴tan135＜tan138 ［例4］求函數(shù)y＝tan(x＋)的定義域，并討論它的單調(diào)性. 解：由x＋≠kπ＋，(k∈Z) 得x≠kπ＋，(k∈Z) ∴y＝tan(x＋)的定義域為｛x｜x∈R且x≠kπ＋，k∈Z｝ 又由y＝tanx在每個區(qū)間(kπ－，kπ＋)k∈Z上是增函數(shù)可知： 當(dāng)kπ－＜x＋＜kπ＋ 即kπ－＜x＜kπ＋ (k∈Z)時，y＝tan(x＋)是增函數(shù) ∴y＝tan(x＋)在每個區(qū)間(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增函數(shù). ［例5］函數(shù)y＝tan2x是否具有周期性，若具有，則最小正周期是什么? 解：由y＝tanx是周期函數(shù)，且周期為π可知：只有必須當(dāng)x至少增加到x＋π時，函數(shù)值才重復(fù)出現(xiàn). 也就是說只有2x至少增加到2x＋π時，即x至少增加到x＋時，函數(shù)值才重復(fù)出現(xiàn). ∴y＝tan2x具有周期性，且最小正周期為 . 由正、余弦函數(shù)最小正周期T＝得正切函數(shù)的最小正周期T＝ 例如y＝5tan，x≠(2k＋1)π，(k∈Z)的周期T＝＝4π. y＝tan3x，x≠＋ (k∈Z)的周期T＝. Ⅲ.課堂練習(xí) 課本P35 1～4 Ⅳ.課時小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要掌握正切函數(shù)的圖象，理解它具有的主要性質(zhì)，并會應(yīng)用它解決一些較簡單問題. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P46習(xí)題 5