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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《立體幾何中的向量方法》教案4新人教A版選修2-1 教學(xué)要求：向量運(yùn)算在幾何證明與計算中的應(yīng)用．掌握利用向量運(yùn)算解幾何題的方法，并能解簡單的立體幾何問題． 教學(xué)重點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明與計算中的應(yīng)用． 教學(xué)難點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明與計算中的應(yīng)用． 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入 1. 用向量解決立體幾何中的一些典型問題的基本思考方法是：⑴如何把已知的幾何條件（如線段、角度等）轉(zhuǎn)化為向量表示；?、瓶紤]一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式；?、侨绾螌σ呀?jīng)表示出來的向量進(jìn)行運(yùn)算，才能獲得需要的結(jié)論？ 2. 通法分析：利用兩個向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)可以解決哪些問題呢？ ⑴利用定義ab＝|a||b|cos＜a,b＞或cos＜a,b＞＝，可求兩個向量的數(shù)量積或夾角問題； ⑵利用性質(zhì)a⊥bab＝０可以解決線段或直線的垂直問題； ?、抢眯再|(zhì)aa＝｜a｜2，可以解決線段的長或兩點(diǎn)間的距離問題． 二、例題講解 1. 出示例1：已知空間四邊形OABC中，，．求證：． 證明：＝ ＝－． ∵，， ∴，， 　，． ∴，． ∴＝，＝0． ∴ 2. 出示例2：如圖，已知線段AB在平面α內(nèi)，線段，線段BD⊥AB，線段，，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D間的距離． 解：由，可知． 由可知，＜＞＝， ∴＝＝＋＋＋2(＋＋) ＝＝． 　　∴． 3. 出示例3：如圖，M、N分別是棱長為1的正方體的棱、的中點(diǎn)．求異面直線MN與所成的角． 解：∵＝，＝， ∴＝＝(＋＋＋)． 　∵，，，∴，，， 　∴＝＝． …求得 cos＜＞，∴＜＞＝. 4. 小結(jié)：利用向量解幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示式，并用已知向量表示未知向量，然后通過向量的運(yùn)算去計算或證明． 三、鞏固練習(xí) 作業(yè)：課本P116 練習(xí) 1、2題. 第二課時： 3.2立體幾何中的向量方法（二） 教學(xué)要求：向量運(yùn)算在幾何證明與計算中的應(yīng)用．掌握利用向量運(yùn)算解幾何題的方法，并能解簡單的立體幾何問題． 教學(xué)重點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明與計算中的應(yīng)用． 教學(xué)難點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明與計算中的應(yīng)用． 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入 討論：將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題的途徑？ （1）通過一組基向量研究的向量法，它利用向量的概念及其運(yùn)算解決問題； （2）通過空間直角坐標(biāo)系研究的坐標(biāo)法，它通過坐標(biāo)把向量轉(zhuǎn)化為數(shù)及其運(yùn)算來解決問題. 二、例題講解 1. 出示例1： 如圖，在正方體中，E、F分別是、CD的中點(diǎn)，求證：平面ADE． 證明：不妨設(shè)已知正方體的棱長為１個單位長度，且設(shè)＝i，＝j(luò)，＝k．以i、j、k為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則 ∵＝(-1,0,0)，＝(0,,-1)，∴＝(-1,0,0)(0,,-1)＝0，∴AD． 　又 ＝(0,1,)，∴＝(0,1,)(0,,-1)＝0，　　∴ AE． 　又　，　　∴平面ADE． 說明：⑴“不妨設(shè)”是我們在解題中常用的小技巧，通?？捎糜谠O(shè)定某些與題目要求無關(guān)的一些數(shù)據(jù)，以使問題的解決簡單化．如在立體幾何中求角的大小、判定直線與直線或直線與平面的位置關(guān)系時，可以約定一些基本的長度．⑵空間直角坐標(biāo)些建立，可以選取任意一點(diǎn)和一個單位正交基底，但具體設(shè)置時仍應(yīng)注意幾何體中的點(diǎn)、線、面的特征，把它們放在恰當(dāng)?shù)奈恢?，才能方便計算和證明． 2. 出示例2：課本P116 例3 分析：如何轉(zhuǎn)化為向量問題？進(jìn)行怎樣的向量運(yùn)算？ 3. 出示例3：課本P118 例4 分析：如何轉(zhuǎn)化為向量問題？進(jìn)行怎樣的向量運(yùn)算？ 4. 出示例4：證：如果兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行． 改寫為：已知：直線OA⊥平面α，直線BD⊥平面α，O、B為垂足．求證：OA//BD． 證明：以點(diǎn)O為原點(diǎn)，以射線OA為非負(fù)z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，i,j,k為沿x軸，y軸，z軸的坐標(biāo)向量，且設(shè)＝． ∵BD⊥α，　∴⊥i，⊥j，　 ∴i＝(1,0,0)＝x＝0，j＝(0,1,0)＝y(tǒng)＝0, ∴＝(0,0,z)．∴＝zk．即//k．由已知O、B為兩個不同的點(diǎn)，∴OA//BD． 5. 法向量定義：如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個向量垂直于平面α，記作a⊥α．如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量． 6. 小結(jié)： 向量法解題“三步曲”：（1）化為向量問題 →（2）進(jìn)行向量運(yùn)算 →（3）回到圖形問題. 三、鞏固練習(xí) 作業(yè)：課本P120、 習(xí)題A組 1、2題. 第三課時： 3.2立體幾何中的向量方法（三） 教學(xué)要求：向量運(yùn)算在幾何證明與計算中的應(yīng)用．掌握利用向量運(yùn)算解幾何題的方法，并能解簡單的立體幾何問題． 教學(xué)重點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明與計算中的應(yīng)用． 教學(xué)難點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明與計算中的應(yīng)用． 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入 1. 法向量定義：如果直線, 取直線l的方向向量為，則向量叫作平面α的法向量（normal vectors）. 利用法向量，可以巧妙的解決空間角度和距離. 2. 討論：如何利用法向量求線面角？ → 面面角？ 直線AB與平面α所成的角，可看成是向量所在直線與平面α的法向量所在直線夾角的余角，從而求線面角轉(zhuǎn)化為求直線所在的向量與平面的法向量的所成的線線角，根據(jù)兩個向量所成角的余弦公式，我們可以得到如下向量法的公式： . 3. 討論：如何利用向量求空間距離？ 兩異面直線的距離，轉(zhuǎn)化為與兩異面直線都相交的線段在公垂向量上的投影長. 點(diǎn)到平面的距離，轉(zhuǎn)化為過這點(diǎn)的平面的斜線在平面的法向量上的投影長. 二、例題講解： 1. 出示例1：長方體中，AD==2，AB=4，E、F分別是、AB的中點(diǎn)，O是的交點(diǎn). 求直線OF與平面DEF所成角的正弦. 解：以點(diǎn)D為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，DA、DC、為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 則 . 設(shè)平面DEF的法向量為 ， 則 ， 而， . ∴ ，即, 解得， ∴ . ∵ ， 而. ∴ 所以，直線OF與平面DEF所成角的正弦為. 2. 變式： 用向量法求：二面角余弦；OF與DE的距離；O點(diǎn)到平面DEF的距離. 三、鞏固練習(xí) 作業(yè)：課本P121、 習(xí)題A組 5、6題.