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2019-2020年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第六章 不等式 【知識(shí)圖解】 不等式 一元二次不等式 基本不等式 二元一次不等式組 應(yīng)用 解法 應(yīng)用 幾何意義 應(yīng)用 證明 【方法點(diǎn)撥】 不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，不等式的性質(zhì)是解、證不等式的基礎(chǔ)，兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理及其變形在不等式的證明和解決有關(guān)不等式的實(shí)際問(wèn)題中發(fā)揮著重要的作用.解不等式是研究方程和函數(shù)的重要工具，不等式的概念和性質(zhì)涉及到求最大（小）值，比較大小，求參數(shù)的取值范圍等，不等式的解法包括解不等式和求參數(shù)，不等式的綜合題主要是不等式與集合、函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的綜合，綜合性強(qiáng)，難度較大，是高考命題的熱點(diǎn)，也是高考復(fù)習(xí)的難點(diǎn). 1. 掌握用基本不等式求解最值問(wèn)題，能用基本不等式證明簡(jiǎn)單的不等式，利用基本不等式求最值時(shí)一定要緊扣“一正、二定、三相等”這三個(gè)條件。 2. 一元二次不等式是一類重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化。 3. 線性規(guī)劃問(wèn)題有著豐富的實(shí)際背景，且作為最優(yōu)化方法之一又與人們?nèi)粘Ｉ蠲芮邢嚓P(guān)，對(duì)于這部分內(nèi)容應(yīng)能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組，能解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題。同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合的思想在線性規(guī)劃中的運(yùn)用。 第1課　基本不等式 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1. 能用基本不等式證明其他的不等式，能用基本不等式求解簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題。 2. 能用基本不等式解決綜合形較強(qiáng)的問(wèn)題。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.“a>b>0”是“ab<”的充分而不必要條件(填寫充分而不必要條件、必要而不充分條件、充分必要條件、既不充分也不必要條件) 2.的最小值為 3.已知，且，則的最大值為 4.已知，則的最小值是2 【范例導(dǎo)析】 例1.已知，求函數(shù)的最大值. 分析：由于，所以首先要調(diào)整符號(hào). 解：∵∴ ∴y=4x-2+=≤-2+3=1 當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時(shí)，上式成立，故當(dāng)x=1時(shí)，. 例2.（1）已知a，b為正常數(shù)，x、y為正實(shí)數(shù)，且，求x+y的最小值。 （2） 已知，且，求的最大值． 分析：?jiǎn)栴}（1）可以采用常數(shù)代換的方法也可以進(jìn)行變量代換從而轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)再利用基本不等式求解；問(wèn)題（2）既可以直接利用基本不等式將題目中的等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，也可以采用變量代換轉(zhuǎn)換為一元函數(shù)再求解. 解:(1)法一：直接利用基本不等式：≥當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立 法二： 由得 ∵ x>0，y>0，a>0 ∴ 由>0得y-b>0 ∴ x+y≥ 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立 （2）法一：由，可得，． 注意到．可得，． 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，代入中得，故的最大值為18． 法二：，， 代入中得： 解此不等式得．下面解法見(jiàn)解法一，下略． 點(diǎn)撥：求條件最值的問(wèn)題，基本思想是借助條件化二元函數(shù)為一元函數(shù)，代入法是最基本的方法，也可考慮通過(guò)變形直接利用基本不等式解決. 【反饋練習(xí)】 1.設(shè)a＞1,且,則的大小關(guān)系為m＞p＞n 2.已知下列四個(gè)結(jié)論： ①若則； ②若,則； ③若則； ④若則。 其中正確的是④ 3.已知不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立，則正實(shí)數(shù)的最小值為6 4.（1）已知：，且：，求證：，并且求等號(hào)成立的條件． （2）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足y+x2=0，00的解集是 4.若不等式的解集是，則b=__-2____ c=__-3____. 【范例導(dǎo)析】 例.解關(guān)于ｘ的不等式 分析：本題可以轉(zhuǎn)化為含參的一元二次不等式，要注意分類討論. 解:原不等式等價(jià)于∵∴等價(jià)于： （*） a>１時(shí)，（*）式等價(jià)于>0∵<１∴x<或x>２ a<１時(shí)，（*）式等價(jià)于<0由２－＝知： 當(dāng)0２，∴２１時(shí)，原不等式的解集為（－∞，）∪（2，＋∞）。 思維點(diǎn)撥:含參數(shù)不等式,應(yīng)選擇恰當(dāng)?shù)挠懻摌?biāo)準(zhǔn)對(duì)所含字母分類討論,要做到不重不漏. 【反饋練習(xí)】 1.若關(guān)于x的不等式的解集為R，則的取值范圍是 2.不等式解集為，則ab值分別為-12，-2 3.若函數(shù)f(x) = 的定義域?yàn)镽，則的取值范圍為 4.已知M是關(guān)于x的不等式2x2+(3a－7)x+3＋a－2a2<0解集，且M中的一個(gè)元素是0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并用a表示出該不等式的解集. 解：原不等式即(2x－a－1)(x＋2a－3)<0， 由適合不等式故得，所以，或. 若，則，∴， 此時(shí)不等式的解集是； 若，由，∴， 此時(shí)不等式的解集是。 第3課　線性規(guī)劃 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1. 會(huì)在直角坐標(biāo)系中表示二元一次不等式、二元一次不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域，能由給定的平面區(qū)域確定所對(duì)應(yīng)的二元一次不等式、二元一次不等式組. 2. 能利用圖解法解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，并從中體會(huì)線性規(guī)劃所體現(xiàn)的用幾何圖形研究代數(shù)問(wèn)題的思想. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.原點(diǎn)（0,0）和點(diǎn)P（1,1）在直線的兩側(cè)，則a的取值范圍是00，x－y+2>0，2x+y－5<0 因此所求區(qū)域的不等式組為 x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0 作平行于直線3x－2y=0的直線系3x－2y=t（t為參數(shù)），即平移直線y=x，觀察圖形可知：當(dāng)直線y=x－t過(guò)A（3，－1）時(shí)，縱截距－t最小此時(shí)t最大，tmax=33－2（－1）=11；當(dāng)直線y=x－t經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（－1，1）時(shí)，縱截距－t最大，此時(shí)t有最小值為tmin= 3（－1）－21=－5 因此，函數(shù)z=3x－2y在約束條件x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0下的最大值為11，最小值為－5 。 第4課　不等式綜合 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 能利用不等式性質(zhì)、定理、不等式解法及證明解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，如最值問(wèn)題、恒成立問(wèn)題、最優(yōu)化問(wèn)題等. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.若函數(shù)，則與的大小關(guān)系是 2.函數(shù)在區(qū)間上恒為正，則的取值范圍是0＜a＜2 3.當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，的最小值是7 4.對(duì)于0≤m≤4的m，不等式x2+mx＞4x+m－3恒成立，則x的取值范圍是x＞3或x＜－1 【范例導(dǎo)析】 例1、已知集合，函數(shù)的定義域?yàn)镼 （1）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 （2）若方程在內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 分析：?jiǎn)栴}（1）可轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有有解；從而和問(wèn)題（2）是同一類型的問(wèn)題，既可以直接構(gòu)造函數(shù)角度分析，亦可以采用分離參數(shù). 解：（1）若，在內(nèi)有有解 令 當(dāng)時(shí)， 所以a>-4,所以a的取值范圍是 （2）方程在內(nèi)有解， 則在內(nèi)有解。 當(dāng)時(shí)， 所以時(shí)，在內(nèi)有解 點(diǎn)撥：本題用的是參數(shù)分離的思想. 例2.甲、乙兩地相距，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過(guò)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度的平方成正比，且比例系數(shù)為；固定部分為元． （1）把全程運(yùn)輸成本元表示為速度的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域； （2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？ 分析：需由實(shí)際問(wèn)題構(gòu)造函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題求解 解：（1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用的時(shí)間為，全程運(yùn)輸成本為 ．故所求函數(shù)為，定義域?yàn)椋? （2）由于都為正數(shù)， 故有，即． 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式中等號(hào)成立． 若時(shí)，則時(shí)，全程運(yùn)輸成本最小； 當(dāng)，易證，函數(shù)單調(diào)遞減，即時(shí)，． 綜上可知，為使全程運(yùn)輸成本最小， 在時(shí)，行駛速度應(yīng)為； 在時(shí)，行駛速度應(yīng)為． 點(diǎn)撥：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、不等式性質(zhì)（公式）的應(yīng)用．也是綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問(wèn)題的一道優(yōu)秀試題． 【反饋練習(xí)】 1.設(shè)，函數(shù)，則使的的取值范圍是 2.如果函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，a]，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是____ a<-1____ 3.若關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 4已知二次函數(shù)f (x)=,設(shè)方程f (x)=x的兩個(gè)實(shí)根為x1和x2．如果x1<2＜x2<4，且函數(shù)f (x)的對(duì)稱軸為x=x0，求證：x0＞—1． 證明：設(shè)g(x)= f (x)—x=，且g(4)>0，即 ∴