2019-2020年高三數學第一輪復習單元講座 第40講 統(tǒng)計教案 新人教版.doc
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2019-2020年高三數學第一輪復習單元講座 第40講 統(tǒng)計教案 新人教版 一．課標要求： 1．統(tǒng)計案例 通過典型案例，學習下列一些常見的統(tǒng)計方法，并能初步應用這些方法解決一些實際問題。 （1）通過對典型案例（如"肺癌與吸煙有關嗎"等）的探究，了解獨立性檢驗（只要求22列聯表）的基本思想、方法及初步應用； （2）通過對典型案例（如"質量控制"、"新藥是否有效"等）的探究，了解實際推斷原理和假設檢驗的基本思想、方法及初步應用； （3）通過對典型案例（如"昆蟲分類"等）的探究，了解聚類分析的基本思想、方法及初步應用； （4）通過對典型案例（如"人的體重與身高的關系"等）的探究，進一步了解回歸的基本思想、方法及初步應用。 2．隨機變量的分布列 （1）在對具體問題的分析中，理解取有限值的離散型隨機變量及其分布列的概念，認識分布列對于刻畫隨機現象的重要性； （2）通過實例（如彩票抽獎），理解超幾何分布及其導出過程，并能進行簡單的應用； （3）在具體情境中，了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題； （4）通過實例，理解取有限值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題； （5）通過實際問題，借助直觀（如實際問題的直方圖），認識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義。 二．命題走向 統(tǒng)計案例 本部分內容主要包括回歸分析的基本思想及其初步應用和獨立性檢驗的基本思想和初步應用，是教材新增內容，估計高考中比重不會過大。 預測07年的高考主要有以下幾種情況： （1）知識點將會考察回歸分析的基本思想方法，用獨立性檢驗判斷A與B間的關系，及22列聯表； （2）考查的形式主要以選擇、填空題為主，但不會涉及很多； 隨機變量的分布列 本部分內容主要包括隨機變量的概念及其分布列，離散性隨機變量的均值和方差，正態(tài)分布，從近幾年的高考觀察，這部分內容有加強命題的趨勢。 預測07年的高考對本部分內容的考查有以下情況： （1）考查的重點將以隨機變量及其分布列的概念和基本計算為主，題型以選擇、填空為主，有時也以解答題形式出現； （2）預計07年高考還是實際情景為主，建立合適的分布列，通過均值和方差解釋實際問題； 三．要點精講 統(tǒng)計案例 1．相關系數 相關系數是因果統(tǒng)計學家皮爾遜提出的，對于變量y與x的一組觀測值，把 叫做變量y與x之間的樣本相關系數，簡稱相關系數，用它來衡量兩個變量之間的線性相關程度。 相關系數的性質：≤1，且越接近1，相關程度越大；且越接近0，相關程度越小。 顯著性水平:顯著性水平是統(tǒng)計假設檢驗中的一個概念，它是公認的小概率事件的概率值。它必須在每一次統(tǒng)計檢驗之前確定。顯著性檢驗：(相關系數檢驗的步驟)由顯著性水平和自由度查表得出臨界值，顯著性水平一般取0.01和0.05，自由度為ｎ－２，其中ｎ是數據的個數 在“相關系數檢驗的臨界值表”查出與顯著性水平0.05或0.01及自由度n-2（n為觀測值組數）相應的相關數臨界值r0 05或r0 01；例如ｎ＝７時，ｒ0.05＝0.754，ｒ0.01＝0.874 求得的相關系數ｒ和臨界值ｒ0.05比較，若ｒ＞ｒ0.05，上面ｙ與ｘ是線性相關的,當≤r0.05或r0.01，認為線性關系不顯著。 結論：討論若干變量是否線性相關，必須先進行相關性檢驗，在確認線性相關后，再求回歸直線； 通過兩個變量是否線性相關的估計，實際上就是把非確定性問題轉化成確定性問題來研究； 我們研究的對象是兩個變量的線性相關關系，還可以研究多個變量的相關問題，這在今后的學習中會進一步學到。 2．卡方檢驗 統(tǒng)計中有一個有用的（讀做“卡方”）統(tǒng)計量，它的表達式是： ，經過對統(tǒng)計量分布的研究，已經得到了兩個臨界值：3.841與6.635。當根據具體的數據算出的k>3.841時，有95%的把握說事件A與B有關；當k>6.635時，有99%的把握說事件A與B有關；當k3.841時，認為事件A與B是無關的。 隨機變量 1．隨機變量的概念 如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量。隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示。 對于隨機變量可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量。 注：隨機變量ξ是關于試驗結果的函數，即每一個試驗結果對應著一個實數；隨機變量ξ的線性組合η=aξ+b(a、b是常數)也是隨機變量。 2．離散性隨機變量的分布列 一般地，設離散型隨機變量可能取得值為： X1，X2，…，X3，…， 取每一個值Xi（I=1，2，…）的概率為P（，則稱表 X1 X2 … xi … P P1 P2 … Pi … 為隨機變量的概率分布，簡稱的分布列。 兩條基本性質：①…)；②P1+P2+…=1。 3．獨立 相互獨立事件：事件A（或B）是否發(fā)生對事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響.這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。 獨立重復試驗：若n次重復試驗中，每次試驗結果的概率都不依賴于其他各次試驗的結果，則稱這n次試驗是獨立的。 公式 (1)兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P（AB）=P（A）P（B）； 推廣：若事件A1，A2，…，An相互獨立，則P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(n)。 (2)如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率為P,那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率：Pn(k)=CPk(1－P)n-k。 4．隨機變量的均值和方差 （1）隨機變量的均值 …；反映隨機變量取值的平均水平。 （2）離散型隨機變量的方差： ……；反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度。 基本性質：；。 5．幾種特殊的分布列 （1）兩點分步 兩點分布：對于一個隨機試驗，如果它的結果只有兩種情況，則我們可用隨機變量，來描述這個隨機試驗的結果。如果甲結果發(fā)生的概率為P，則乙結果發(fā)生的概率必定為1－P，所以兩點分布的分布列為： 1 0 P P 1－p 均值為E=p，方差為D=p（1－p）。 （2）超幾何分布 重復進行獨立試驗，每次試驗只有成功、失敗兩種可能，如果每次試驗成功的概率為p，重復試驗直到出現一次成功為止，則需要的試驗次數是一個隨機變量，用ξ表示，因此事件{ξ＝n}表示“第n次試驗成功且前n－1次試驗均失敗”。所以，其分布列為： ξ 1 2 … n … P p p(1－p) … … （3）二項分布 如果我們設在每次試驗中成功的概率都為P，則在n次重復試驗中，試驗成功的次數是一個隨機變量，用ξ來表示，則ξ服從二項分布．則在n次試驗中恰好成功k次的概率為： 二項分布的分布列為： ξ 0 1 … … n P … … 記ε是n次獨立重復試驗某事件發(fā)生的次數，則ε～B（n，p）；其概率…。期望Eε=np，方差Dε=npq。 6．正態(tài)分布 正態(tài)分布密度函數：，均值為Eε=μ，方差為。 正態(tài)曲線具有以下性質： （1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交。 （2）曲線關于直線x =μ對稱。 （3）曲線在x =μ時位于最高點。 （4）當x <μ時，曲線上升；當x >μ時，曲線下降。并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近。 （5）當μ一定時，曲線的形狀由σ確定。σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中。 從理論上講，服從正態(tài)分布的隨機變量的取值范圍是R，但實際上取區(qū)間(μ-3σ，μ+3σ)外的數值的可能性微乎其微，在實際問題中常常認為它是不會發(fā)生的。因此，往往認為它的取值是個有限區(qū)間，即區(qū)間(μ-3σ，μ+3σ)，這即實用中的三倍標準差規(guī)則，也叫3σ規(guī)則。在企業(yè)管理中，經常應用這個規(guī)則進行產品質量檢查和工藝生產過程控制。 四．典例解析 題型1：線性相關性檢驗 例1．一個工廠在某年里每月產品的總成本y（萬元）與該月產量x（萬件）之間由如下一組數據： x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50 1）畫出散點圖；2）檢驗相關系數r的顯著性水平；3）求月總成本y與月產量x之間的回歸直線方程. 解析： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 xi 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 yi 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50 xiyi 2.43 2.264 2.856 3.264 3.590 4.07 4.643 5.090 5.652 6.096 6.653 7.245 =，==2.8475，=29.808，=99.2081，=54.243 1）畫出散點圖： 2） r= = 在“相關系數檢驗的臨界值表”查出與顯著性水平0.05及自由度12-2=10相應的相關數臨界值r0.05=0.576<0.997891, 這說明每月產品的總成本y（萬元）與該月產量x（萬件）之間存在線性相關關系。 3）設回歸直線方程， 利用 ， 計算a，b，得b≈1.215, a=≈0.974， ∴回歸直線方程為： 例2．在7塊并排、形狀大小相同的試驗田上進行施化肥量對水稻產量影響的試驗，得數據如下（單位：kg） 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻產量y 330 345 365 405 445 450 455 1）畫出散點圖；2）檢驗相關系數r的顯著性水平；3）求月總成本y與月產量x之間的回歸直線方程。 解析：1）畫出散點圖如下： 2）檢驗相關系數r的顯著性水平： i 1 2 3 4 5 6 7 xi 15 20 25 30 35 40 45 yi 330 345 365 405 445 450 455 xiyi 4950 6950 9125 12150 15575 18000 20475 =30,=399.3,=7000,=1132725,=87175 r==≈0.9733，在“相關系數檢驗的臨界值表”查出與顯著性水平0.05及自由度7－2=5相應的相關數臨界值r0.05=0.754＜0.9733，這說明水稻產量與施化肥量之間存在線性相關關系。 3）設回歸直線方程，利用 計算a，b， 得b= a=399.3-4.7530≈257，則回歸直線方程 題型2：獨立性檢驗 例3．為了探究患慢性氣管炎是否與吸煙有關，調查了339名50歲以上的人，調查結果如下表所示： 患慢性氣管炎 未患慢性氣管炎 合計 吸煙 43 162 205 不吸煙 13 121 134 合計 56 283 339 試問：50歲以上的人患慢性氣管炎與吸煙習慣有關嗎？ 解析：由公式，因為7.469>6.635,所以我們有99%的把握說：50歲以上的人患慢性氣管炎與吸煙習慣有關。 例4．對196個接受心臟搭橋手術的病人和196個接受血管清障手術的病人進行了3年的跟蹤研究，調查他們是否又發(fā)作過心臟病，調查結果如下表所示： 又發(fā)作過心臟病 未發(fā)作過心臟病 合計 心臟搭橋手術 39 157 196 血管清障手術 29 167 196 合計 68 324 392 試根據上述數據比較這兩種手術對病人又發(fā)作心臟病的影響有沒有差別。 解析：由公式，因為1.78>3.841，所以我們沒有理由說“心臟搭橋手術”與“又發(fā)作過心臟病”有關，可以認為病人又發(fā)作與否與其做過任何手術無關。 題型3：獨立的概念及應用 例5．(xx,江蘇、河南,12分)有三種產品,合格率分別是0.90,0.95和0.95，各抽取一件進行檢驗。 (1)求恰有一件不合格的概率； (2)求至少有兩件不合格的概率（精確到0.001）； 解析：設三種產品各抽取一件，抽到合格產品的事件分別為A、B和C， (1)P(A)=0.90，P(B)=P(C)=0.95，則P()=0.10,P()=P()=0.05。 因為事件A、B、C相互獨立，恰有一件不合格的概率為： P（AB）+P（AC）+P（BC） =P（A）P（B）P（）+P（A）P（）P（C）+P()P(B)P(C) =20.900.950.05+0.100.950.95≈0.176 答：恰有一件不合格的概率為0.176. (2)解法一：至少有兩件不合格的概率為： P（A）+P（B）+P（C）+P（） =0.900.050.05+20.100.050.95+0.100.050.05≈0.012. 答：至少有兩件不合格的概率為0.012. 解法二：三件產品都合格的概率為： P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=0.900.950.95≈0.812. 由(1)知，恰有一件不合格的概率為0.176，所以，至少有兩件不合格的概率為1-[P（ABC）+0.176]=1-（0.812+0.176）=0.012. 答：至少有兩件不合格的概率為0.012. 點評：本題主要考查互斥事件有一個發(fā)生的概率和相互獨立事件概率的計算及運用數學知識解決問題的能力。 例6．（06北京卷）某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案。 方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過； 方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格為考試通過. 假設某應聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響. （Ⅰ）分別求該應聘者用方案一和方案二時考試通過的概率； （Ⅱ）試比較該應聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小.（說明理由） 解析：設三門考試課程考試通過的事件分別為A，B，C，相應的概率為a，b，c （1）考試三門課程，至少有兩門及格的事件可表示為AB＋AC＋BC＋ABC，設其概率為P1，則P1＝ab（1－c）＋a（1－b）c＋（1－a）bc＋abc＝ab＋ac＋bc－2abc 設在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格的概率為P2，則P2＝ab＋ac＋bc （2）P1－P2＝（ab＋ac＋bc－2abc）－（ab＋ac＋bc）＝ab＋ac＋bc－2abc＝（ab＋ac＋bc－3abc）＝〔ab（1-c）＋ac（1－b）＋bc（1－a）〕>0 \P1>P2即用方案一的概率大于用方案二的概率。 點評：“至少、至多”問題的處理方式是分類到底，利用獨立、互斥或對立事件進行轉化。 題型4：隨機變量的分布列 例7．（06廣東卷）．某運動員射擊一次所得環(huán)數的分布如下： 6 7 8 9 10 0 現進行兩次射擊，以該運動員兩次射擊中最高環(huán)數作為他的成績，記為. (I)求該運動員兩次都命中7環(huán)的概率 (II)求的分布列 解析：(Ⅰ)求該運動員兩次都命中7環(huán)的概率為； (Ⅱ)的可能取值為7、8、9、10 ； ， ， ， 分布列為： 7 8 9 10 P 0.04 0.21 0.39 0.36 (Ⅲ) 的數學希望為。 點評：分布列不僅明確給出了（）的概率，而且對任事件（）發(fā)生的概率均可由分布列算出： 。 例8．設自動生產線在調整后出現廢品的概率為0.1，而且一旦出現廢品就要重新調整，求在兩次調整之間所生產的合格品的數目不小于5的概率。 分析：如果用隨機變量η表示兩次調整之間生產的產品的個數，而且我們知道一旦出現廢品就重新調整生產線，所以兩次調整之間所生產的合格品是連續(xù)出現的，那么隨機變量η的取值就服從幾何分布，我們在解題時應先求出η的分布列。然后再計算事件“合格品數不小于5”即{η>5}的概率。 解析：設隨機變量η表示兩次調整之間生產線所生產的產品的個數，則η服從幾何分布，事件{η＝k}就表示生產了k－1件合格品，且第k件產品是廢品。容易求得： P(η＝1)＝0.1， P(η＝2)＝(1－0.1)0.1＝0.09， 寫成分布列的形式為： 1 2 3 4 5 6 … P 0.1 0.09 0.81 0.0729 0.06561 0.059049 … 題目中要求計算“所生產的合格品數不小于5”的概率，即P(η>5)，因為事件{η>5}所包含的基本事件為{η＝6}，{η＝7}，…，{η＝n}，…，所以有 P(η>5)＝P(η＝6)＋P(η＝7)＋…＋P(η＝n)＋… 我們應用分布列的性質計算上式的值．因為P(η>5)＝1－P(η≤5)，所以 P(η>5)＝1－［P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＋P(η＝4)＋P(η＝5)］ ＝1－(0.1＋0.09＋0.081＋0.0729＋0.06561)＝0.49049， 所以事件“兩次調整之間所生產的合格品數不小于5”的概率為0.49049 點評：這是一道綜合例題，包括了分列的計算及分布列的應用兩個步驟。該題對于我們鞏固所學知識，深入了解分布列有很大幫助。 題型5：隨機變量的均值 例9．（1）（06福建卷）一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標以數0，兩個面上標以數1,一個面上標以數2，將這個小正方體拋擲2次； 則向上的數之積的數學期望是 ； （2）（xx上海文）利用下列盈利表中的數據進行決策，應選擇的方案是_____. 解析：（1）一個均勻小正方體的6個面中，三個面上標以數0，兩個面上標以數1，一個面上標以數2。將這個小正方體拋擲2次，向上的數之積可能為ξ=0，1，2，4， 則， ， ， ， ∴ . 點評：掌握離散性隨機變量均值的計算方法，以及計算的先后順序。 （2）答案：A3 解析：A1的數學期望：=0.2550+0.3065+0.4526=43.7 A2的數學期望：=0.2570+0.3026+0.4516=32.5 A3的數學期望：=0.25（－20）+0.3052+0.4578=45.7 A4的數學期望：=0.2598+0.3082+0.45（－10）=44.6 點評：本題考查概率與數學期望，考查學生識表的能力.對圖表的識別能力，是近年高考突出考查的熱點.圖表語言與其數學語言的相互轉換，應成為數學學習的一個重點，應引起高度重視。 例10．（06四川卷）設離散型隨機變量可能取的值為1，2，3，4。（1，2，3，4）。又的數學期望，則 ; 解析：設離散性隨機變量可能取的值為，所以，即， 又的數學期望，則，即，,∴ 。 點評：均值計算時要根據公式進行簡化計算，從而達到簡化運算的目的。 題型6：隨機變量的方差 例11．甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數相等，所得次品數分別為ε、η，ε和η的分布列如下： ε 0 1 2 η 0 1 2 P P 試對這兩名工人的技術水平進行比較。 分析：一是要比較兩名工人在加工零件數相等的條件下出次品數的平均值，即期望；二是要看出次品數的波動情況，即方差值的大小。 解析：工人甲生產出次品數ε的期望和方差分別為： ， ； 工人乙生產出次品數η的期望和方差分別為： ， ； 由Eε=Eη知，兩人出次品的平均數相同，技術水平相當，但Dε>Dη，可見乙的技術比較穩(wěn)定。 點評：期望僅體現了隨機變量取值的平均大小，但有時僅知道均值的大小還不夠。如果兩個隨機變量的均值相等，還要看隨機變量的取值如何在均值周圍變化，即計算方差。方差大說明隨機變量取值較分散，方差小說明取值分散性小或者取值比較集中、穩(wěn)定。 題型7：正態(tài)分布 例12．（06湖北卷）在某校舉行的數學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似服從正態(tài)分布。已知成績在90分以上（含90分）的學生有12名。 （Ⅰ）、試問此次參賽學生總數約為多少人？ （Ⅱ）、若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學生，試問設獎的分數線約為多少分？ 可共查閱的（部分）標準正態(tài)分布表 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1 0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821 0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826 0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830 0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834 0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838 0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842 0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846 0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850 0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854 0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857 解析：（Ⅰ）設參賽學生的分數為，因為～N(70，100)，由條件知， P(≥90)＝1－P（<90）＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－0.9772＝0.228. 這說明成績在90分以上（含90分）的學生人數約占全體參賽人數的2.28％，因此， 參賽總人數約為≈526（人）。 （Ⅱ）假定設獎的分數線為x分，則P(≥x)＝1－P（
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