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整數(shù)中的推理問題（A卷） 年級 班 姓名 得分 一、填空題 1.在下邊的表格的每個(gè)空格內(nèi),填入一個(gè)整數(shù),使它恰好表示它上面的那個(gè)數(shù)字在第二行中出現(xiàn)的次數(shù),那么第二行中的五個(gè)數(shù)字依次是_______. 0 1 2 3 4 2.有30個(gè)2分硬幣和8個(gè)5分硬幣,這些硬幣值的總和正好是1元.用這些硬幣不能組成1元之內(nèi)的幣值是_______. 3.a是一個(gè)自然數(shù),已知a與a+1的各位數(shù)字之和都能被7整除,那么這樣的自然數(shù)a最小是_______. 4.有一個(gè)電話號碼是六位數(shù),其中左邊三位數(shù)字相同,右邊三個(gè)數(shù)字是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù),六個(gè)數(shù)字之和恰好等于末尾的兩位數(shù).這個(gè)電話號碼是______. 5.小明家住在一條小胡同里,各家號碼從1號連著排下去,全胡同所有家的號碼之和再減去小明家號碼后是60.小明家是_______號. 6.女子足球賽,有甲、乙、丙、丁四個(gè)隊(duì)參加,每兩隊(duì)都要賽一場,結(jié)果甲隊(duì)勝丁隊(duì),并且甲、乙、丙三隊(duì)勝的場數(shù)相同.則丁隊(duì)勝了_____場. 7.某校五年級五個(gè)班各派一隊(duì)參加小足球比賽,每兩隊(duì)都要比賽一場,到現(xiàn)在為止,一班賽了4場,二班賽了3場,三班賽了2場,四班賽了1場,那么五班賽了______場. 8.某學(xué)校氣象小組在一段時(shí)間里觀察天氣,共寫出四個(gè)數(shù)據(jù): (1)上午和下午共下雨7次; (2)有5天下午未下雨; (3)有6天上午未下雨; (4)下午下雨的那幾天,上午都未下雨. 這段時(shí)間共有______天,其中全天未下雨的有______天. 9.某年的10月里有5個(gè)星期六,4個(gè)星期日,問:這年的10月1日是星期_____. 10.某人買了相同的鋼筆和相同的圓珠筆各若干支,買鋼筆使用了10元5角6分,如果一支鋼筆的價(jià)錢比一支圓珠筆的價(jià)錢多1元,而買的鋼筆比圓珠筆多6支,問這個(gè)人買了_______支鋼筆. 二、解答題 11.某次考試滿分是100分.A,B,C,D,E5人參加了這次考試. A說:“我得了94分.” B說:“我在5人中得分最高.” C說:“我的得分是A和D的平均分.” D說:“我的得分恰好是5人的平均分.” E說:“我比C多得2分.并且5人中居第二.” 問:這5個(gè)人各得幾分? 12.某商品的編號是一個(gè)三位數(shù),現(xiàn)有5個(gè)三位數(shù) 874,765,123,364,925. 其中每一個(gè)數(shù)與商品編號,恰好在同一位上有一個(gè)相同的數(shù)字.求商品編號的位數(shù)? 13.有100根火柴,甲、乙兩人輪流取火柴游戲,規(guī)定每人每次可取10根以內(nèi)(包括10根)的任何根火柴,以誰取完火柴使對手已無火柴可取者為勝. 如果開始由甲先取.問誰一定能取勝?他怎樣取才能取走? 14.若干個(gè)同樣的盒子排成一排,小明把50多個(gè)同樣的棋子分裝在盒中,其中只有一個(gè)盒子里沒有裝棋子,然后他外出了.小光從每個(gè)有棋子的盒子里各拿一個(gè)棋子放在空盒內(nèi),再把盒子重新排了一下,小明回來仔細(xì)查看了一番,沒有發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過這些盒子和棋子,問共有多少個(gè)盒子? ———————————————答 案—————————————————————— 一、填空題 1. 第二行五個(gè)數(shù)字依次應(yīng)填:2,1,2,0,0 先考慮表格中最右邊4下面的填數(shù).如果4下面填1,這表明第二行中必有1個(gè)4.由于4填在某數(shù)的下面,該數(shù)在第二行中就必須出現(xiàn)4次,所以4必須填在1的下面.這樣0,2,3下面也都是1,但第二行中并沒有出現(xiàn)這些數(shù),所以不能滿足要求.同樣可推知,在4下面不能填大于1的數(shù),所以4下面應(yīng)該填0. 再看3下面的填數(shù),如果在3下面填1,那么第二行中有一個(gè)3,而且1下面已不能填0,所以第二行中最多有兩個(gè)0,從而3不能填在0的下面.如果3填在1下面,則0和2下面都必須填1.但2下面填1,說明第二行中有一個(gè)2,矛盾.如果3填在2下面,那么第二行中必須有三個(gè)2,這是不可能的.綜上所述,3下面不能填1,當(dāng)然也不能填大于1的數(shù),所以也必須填0. 如果第二行中再有一格填0,那么就出現(xiàn)三個(gè)0.這樣,在第一行的0下面空格中要填3,從而第一行中3下面就不能是0.這與上面矛盾.同樣可推知第二行不能有四個(gè)0,所以第二行中只能有兩個(gè)0,就是說在第一行的0下面填2. 再看第一行中剩下的1與2下面的填數(shù).若在1下面填2,第2行必有兩個(gè)1,這不可能,所以1下面必須填1. 最后我們看到第一行的2下面必須填2. 綜上所述,第二行五個(gè)數(shù)字依次應(yīng)填2,1,2,0,0. 2. 用這些硬幣不能組成1元之內(nèi)的幣值是:1分、3分、97分和99分四種. 因?yàn)橛矌庞?分、5分兩種,顯然不能組成1分和3分幣值. 同時(shí)根據(jù)硬幣的總額為1元=100分的條件可知,也不可能組成100-1=99(分)和100-3=97(分)幣值. 因此,用這些硬幣不能組成1元之內(nèi)的幣值是1分、3分、97分和99分. 3. 最小a是69999. 根據(jù)題意, a+1必須在a的基礎(chǔ)上進(jìn)位,不然a和a+1的各位數(shù)字之和就成為兩個(gè)相鄰的自然數(shù),顯然不可能同時(shí)被7整除,這樣a的個(gè)位數(shù)字只能是9,而a+1的個(gè)位數(shù)字必然是0. 首先, a+1不會是兩位數(shù),因?yàn)閭€(gè)位數(shù)字是0,各位數(shù)字之和能被7整除的兩位數(shù)只有70;而69的各位數(shù)字之和不能被7整除. 其次,考慮a+1是三位數(shù),此處B只能是0,不然a的各位數(shù)字之和一定是A+(B-1)+9=A+B+8,而a+1的各位數(shù)字之和是A+B,這兩個(gè)數(shù)字和不會同時(shí)被7整除.當(dāng)B是0時(shí),A只能是7,即a+1等于700,但a等于699,各位數(shù)字之和不能被7整除,說明a+1不能是三位數(shù). 采用類似的辦法可知, a+1不會是四位數(shù).說明a+1至少是五位數(shù),而且末尾四位也必須都是0,即a+1至少是五位數(shù),而且末尾四位也必須都是0,即a+1=70000,此時(shí)a=69999.均滿足要求,說明符合條件的最小a是69999. 4. 電話號碼是555321 設(shè)電話號碼為,其中b、c、d為連續(xù)自然數(shù),則 因?yàn)閎、c、d為連續(xù)自然數(shù),所以d= c-1,或d= c+1. ①若,則,從而 顯然c只能為2,此時(shí)a=5, b=3, d=1.所求六位數(shù)為555321. ②若,從而 只有c=1,此時(shí)b=0, d=2,因?yàn)?不是自然數(shù),矛盾,這說明是不能成立的. 所以,所求電話號碼是555321. 5. 小明家是6號. 依題意知,全胡同所有家的號碼之和一定大于60.據(jù)此估算如下: 10家門牌號碼之和是55,不合題意; 11家門牌號碼之和是66; 12家門牌號嗎之和是78,不合題意. 由此可見,胡同里應(yīng)該是11家,小明家的號碼應(yīng)是6號. 6. 丁隊(duì)勝了0場. 4個(gè)隊(duì)每兩隊(duì)都要賽一場,每隊(duì)要賽3場,一共賽了(432=)6場.已知甲、乙、丙三隊(duì)勝的場數(shù)相同.假設(shè)他們各勝1場,則丁隊(duì)要?jiǎng)?場.這不可能.因?yàn)槎￡?duì)已知敗給甲隊(duì).所以甲、乙、丙三隊(duì)各勝2場.故知丁隊(duì)勝了0場. 7. 五班賽了2場. 一班賽了4場,這就是說,一班與二、三、四、五班各賽了1場.因此,二班、三班、四班除去與一班比賽之外分別還賽了2場、1場、0場.于是二班只能是與三班、五班各賽1場.所以,五班到現(xiàn)在為止共賽了2場. （1） （2） （3） （4） （5） 本題用圖形來表示更直觀.如右圖,一班、二班、三班、四班、五班分別用一個(gè)點(diǎn)表示,兩個(gè)點(diǎn)之間的連線表示他們之間進(jìn)行過比賽. 8. 共有9天,全天末下雨的有2天. 由“(4)下午下雨的那幾天,上午都未下雨”,可推出:在觀察的這段時(shí)間內(nèi),沒有全天下雨的,但有全天未下雨的.上午和下午各是半天.未下雨的幾個(gè)全天的上午和下午,都包含在未下雨的5個(gè)下午和6個(gè)上午之中.因此共觀察的半天有: 7+5+6=18(個(gè)) 共觀察的天數(shù)為:182=9(天) 全天未下雨的有:9-7=2(天) 用圖示法也可以解答此題,以●代表下雨的半天,而以○代表未下雨的半天.如下圖所示,即可推出結(jié)果. ○○○●●○●○○ ●○●○○●○●○ 9. 10月1日是星期四. 10月有31天,而31=47+3,所以,這個(gè)月有4個(gè)星期零3天,要判斷10月1日是星期幾,可以先推算這個(gè)月的第一個(gè)星期六是幾日: 如果10月1日是星期六,那么10月2日、9日、16日、23日30日都是星期日,出現(xiàn)了5個(gè)星期日,與題設(shè)的“10月里有4個(gè)星期日”不符,所以10月1日不是星期六,用同樣的方法,可以推算出10月2日也不是星期六. 如果10月3日是星期六,那么10月4日、11日、18日、25日是星期日,恰好是4個(gè)星期日,符合題目條件.倒推回去,可以知道10月1日是星期四. 這里的關(guān)鍵是要判定10月的第一個(gè)星期六是10月幾日,由此就容易算出10月1日星期幾,也可以先判定10月里的第一個(gè)星期日是10月幾日,讀者不妨一試. 10. 買了8支鋼筆. 由“買的鋼筆比圓珠筆多6支”這個(gè)條件,就能判斷買的鋼筆不少于7支.由“一支鋼筆的價(jià)錢比一支圓珠筆的價(jià)錢多一元”能判斷出一支鋼筆的價(jià)錢多于1元.由“買鋼筆用了10元5角6分”能判斷買的鋼筆支數(shù)不能多于10支,而且只能是7、8、9、10這四個(gè)數(shù),而這四個(gè)數(shù)中,只有8才能整除1056分,所以這個(gè)人買了8支鋼筆. 二、解答題 11. A,B,C,D,E 5人得分依次是94,98,95,96,97. 題目已告訴我們,B得分最高,E其次.現(xiàn)在要分析,A,B,D 3人的得分誰多誰少.C是A和D的平均分,因此C是A與D之間的數(shù).為了說明清楚起見,分三種情況來說: (1)A和D相等,C是它們的平均分,也與A、D相等,B和E都比它們得分多.D就不可能是5個(gè)人的平均分,與題目的條件不符合,因此這一情況不成立. (2)A比D得分多,C是它們的平均分,當(dāng)然也比D得分多,這樣一來,D是得分最少的,就不可能是5人平均分,因此這一情況也不成立. (3)D比A得分多.C是A和D的平均分,得分就比D少,比A多.也就是說A是得分最少的.A得94分,其他人得分就在95分至100分之間. A的得分94是偶數(shù),與D的平均分C的得分是整數(shù),D的得分也一定是偶數(shù),D只能是96或98分.如果D是98分,B和E中只能是99和100,而C的得分是(94+98)2=96.5個(gè)人的平均分將是 (100+99+98+96+94)5=97.4, 并不等于D的得分98,與題目條件不符合.因此D的得分是96分,C的得分是(96+94)2=95,E的得分是95+2=97.為了使5人平均分是D的得分96,B應(yīng)得98分. B,E,D,C,A 5人得分依次是98,97,96,95,94. 分情況討論,這是數(shù)學(xué)推理時(shí)常用的方法.這道例題對D的得分98和96進(jìn)行討論,排除與題目條件不符合的情況,縮小了考慮問題的范圍,逐漸求出正確答案. 12. 商品編號是724. 每一個(gè)數(shù)與商品的編號,恰好在同一位有一個(gè)相同的數(shù)字,5個(gè)數(shù)就出現(xiàn)5次相同,列出這5個(gè)數(shù) 874 765 123 364 925 這5次相同要分布在百位、十位、個(gè)位上.百位上5個(gè)數(shù)各不同,只能與商品編號的百位數(shù)出現(xiàn)一次相同.十位上有兩個(gè)6和兩個(gè)2;個(gè)位上有兩個(gè)4和兩個(gè)5,因此,十位和個(gè)位只能各出現(xiàn)兩次相同. 分兩種情況: (1)商品編號的十位數(shù)字是6,這樣個(gè)位數(shù)字就不能是5和4,個(gè)位上就不能出現(xiàn)兩次相同. (2)商品編號的十位數(shù)字是2.這樣,個(gè)位數(shù)字就不能是3和5.商品編號的個(gè)位只能是4,在個(gè)位上恰好出現(xiàn)兩次相同. 當(dāng)確定后兩位是24后,5個(gè)數(shù)中后兩位與24都不相同的只有第二個(gè)數(shù)765.商品編號的百位數(shù)只能是7.商品編號是724. 13. 先取者甲一定能勝. 因?yàn)?00=911+1,甲開始取1根,余下99根是11的倍數(shù), 這時(shí)不論乙取多少,甲再取的火柴根數(shù)與乙剛才取的數(shù)目湊成11(這時(shí)余下88根,仍是11的倍數(shù)). 依此法進(jìn)行,直至最后余下11根火柴時(shí),輪到乙取,這時(shí)不論乙取幾根火柴時(shí),余下火柴甲都可一次取完. 14. 共有11個(gè)盒子. 原有一個(gè)空盒子,現(xiàn)在裝進(jìn)了棋子.而小明沒有發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過,可見現(xiàn)在又有一個(gè)空盒子.這說明原來一定有一個(gè)盒子內(nèi)裝的是一個(gè)棋子.原來裝有一個(gè)棋子的盒子現(xiàn)在成了空盒子,可見現(xiàn)在另有一個(gè)盒子裝有一個(gè)棋子.而這另一個(gè)盒子原來是裝有兩個(gè)棋子. 同樣的推理分析,原來一定有一個(gè)盒子裝三個(gè)棋子,裝四個(gè)棋子…等等. 總之,原來各盒中棋子數(shù)是0,1,2,3…這一系列數(shù). 由于,0+1+2+…+9=45 0+1+2+…+10=55 0+1+2+…+11=65 可見原來一定是11個(gè)盒子,各裝著0個(gè),1個(gè),2個(gè),…10個(gè)棋子. 這個(gè)題的解題依據(jù)是小光移動(dòng)棋子前后情況一樣,突破口是“空盒”,棋子的總量控制了盒的數(shù)量,由此推理,便一環(huán)扣一環(huán),將盒子裝棋子的情況逐漸推開,同時(shí)也就知了盒子數(shù).