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2019-2020年高三數(shù)學(xué) 考試清單 考點(diǎn)六 不等式、線性規(guī)劃 2．掌握不等式的性質(zhì)，會(huì)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行不等式的運(yùn)算、證明和比較數(shù)或式的大小． 6.2　一元二次不等式及其解法 1．會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型． 2．通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系． 3．會(huì)解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖． 6.3　二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 1．會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組． 2．了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組． 3．會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決． 高考真題示例 1．（xx?重慶）若不等式組，表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，且其面積等于，則m的值為（　?。? 　 A． ﹣3 B． 1 C． D． 3 　答案：B 2．（xx?天津）設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最大值為（　?。? 　 A． 7 B． 8 C． 9 D． 14 　 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）． 由z=3x+y得y=﹣3x+z， 平移直線y=﹣3x+z， 由圖象可知當(dāng)直線y=﹣3x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y=﹣3x+z的截距最大， 此時(shí)z最大． 由，解得，即A（2，3）， 代入目標(biāo)函數(shù)z=3x+y得z=32+3=9． 即目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最大值為9． 故選：C． 3．（xx?廣東）若變量x，y滿足約束條件，則z=3x+2y的最小值為（　?。? 　 A． 4 B． C． 6 D． 　 解：不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖： 由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直線y=﹣x+， 則由圖象可知當(dāng)直線y=﹣x+，經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)直線y=﹣x+的截距最小， 此時(shí)z最小， 由，解得，即A（1，）， 此時(shí)z=31+2=， 故選：B． 4．（xx?山東）已知x，y滿足約束條件，若z=ax+y的最大值為4，則a=（　?。? 　 A． 3 B． 2 C． ﹣2 D． ﹣3 　 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）． 則A（2，0），B（1，1）， 若z=ax+y過A時(shí)取得最大值為4，則2a=4，解得a=2， 此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)為z=2x+y， 即y=﹣2x+z， 平移直線y=﹣2x+z，當(dāng)直線經(jīng)過A（2，0）時(shí)，截距最大，此時(shí)z最大為4，滿足條件， 若z=ax+y過B時(shí)取得最大值為4，則a+1=4，解得a=3， 此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)為z=3x+y， 即y=﹣3x+z， 平移直線y=﹣3x+z，當(dāng)直線經(jīng)過A（2，0）時(shí)，截距最大，此時(shí)z最大為﹣6，不滿足條件， 故a=2， 故選：B 　 5．（xx?四川）若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有（　　） 　 A． ＞ B． ＜ C． ＞ D． ＜ 答案：∵c＜d＜0， ∴﹣c＞﹣d＞0， ∵a＞b＞0， ∴﹣ac＞﹣bd， ∴， ∴． 故選：B． 6．（xx?安徽）x、y滿足約束條件，若z=y﹣ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為（　?。? 　 A． 或﹣1 B． 2或 C． 2或1 D． 2或﹣1 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）． 由z=y﹣ax得y=ax+z，即直線的截距最大，z也最大． 若a=0，此時(shí)y=z，此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)只在A處取得最大值，不滿足條件， 若a＞0，目標(biāo)函數(shù)y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一， 則直線y=ax+z與直線2x﹣y+2=0平行，此時(shí)a=2， 若a＜0，目標(biāo)函數(shù)y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一， 則直線y=ax+z與直線x+y﹣2=0，平行，此時(shí)a=﹣1， 綜上a=﹣1或a=2， 故選：D 7．（xx?山東）已知x，y滿足約束條件，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）在該約束條件下取到最小值2時(shí)，a2+b2的最小值為（　?。? 　 A． 5 B． 4 C． D． 2 　 解：由約束條件作可行域如圖， 聯(lián)立，解得：A（2，1）． 化目標(biāo)函數(shù)為直線方程得：（b＞0）． 由圖可知，當(dāng)直線過A點(diǎn)時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z最?。? ∴2a+b=2． 即2a+b﹣2=0． 則a2+b2的最小值為． 故選：B． 8．（xx?北京）若x，y滿足且z=y﹣x的最小值為﹣4，則k的值為（　?。? 　 A． 2 B． ﹣2 C． D． ﹣ 　 解：對不等式組中的kx﹣y+2≥0討論，可知直線kx﹣y+2=0與x軸的交點(diǎn)在x+y﹣2=0與x軸的交點(diǎn)的右邊， 故由約束條件作出可行域如圖， 由kx﹣y+2=0，得x=， ∴B（﹣）． 由z=y﹣x得y=x+z． 由圖可知，當(dāng)直線y=x+z過B（﹣）時(shí)直線在y軸上的截距最小，即z最?。? 此時(shí)，解得：k=﹣． 故選：D． 9．（xx?福建）已知圓C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，設(shè)平面區(qū)域Ω=，若圓心C∈Ω，且圓C與x軸相切，則a2+b2的最大值為（　　） 　 A． 5 B． 29 C． 37 D． 49 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：圓心為（a，b），半徑為1 ∵圓心C∈Ω，且圓C與x軸相切，∴b=1，則a2+b2=a2+1， ∴要使a2+b2的取得最大值，則只需a最大即可， 由圖象可知當(dāng)圓心C位于B點(diǎn)時(shí)，a取值最大， 由，解得，即B（6，1）， ∴當(dāng)a=6，b=1時(shí)，a2+b2=36+1=37，即最大值為37， 故選：C 10．（xx?山東）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則直線OM斜率的最小值為（　?。? 　 A． 2 B． 1 C． D． 　 解：不等式組表示的區(qū)域如圖， 當(dāng)M取得點(diǎn)A（3，﹣1）時(shí)， z直線OM斜率取得最小，最小值為 k==﹣． 故選C． 11．（xx?四川）某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元．公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過12千克．通過合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是（　?。? 　 A． 1800元 B． 2400元 C． 2800元 D． 3100元 　 解：設(shè)分別生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品為x桶，y桶，利潤為z元 則根據(jù)題意可得，z=300x+400y 作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示 作直線L：3x+4y=0，然后把直線向可行域平移， 由可得x=y=4， 此時(shí)z最大z=2800 12．（xx?重慶）不等式≤0的解集為 　解：由不等式可得 ，解得﹣＜x≤1，故不等式的解集為 13．（xx?重慶）設(shè)函數(shù)f（x）=x2﹣4x+3，g（x）=3x﹣2，集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，N={x∈R|g（x）＜2}，則M∩N為（　?。? 　 A． （1，﹢∞） B． （0，1） C． （﹣1，1） D． （﹣∞，1） 解：因?yàn)榧螹={x∈R|f（g（x））＞0}，所以（g（x））2﹣4g（x）+3＞0， 解得g（x）＞3，或g（x）＜1． 因?yàn)镹={x∈R|g（x）＜2}，M∩N={x|g（x）＜1}． 即3x﹣2＜1，解得x＜1． 所以M∩N={x|x＜1}． 故選：D． 14．（xx?廣東）不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是（　?。? 　 A． （﹣，1） B． （1，+∞） C． （﹣∞，1）∪（2，+∞） D． （﹣∞，﹣）∪（1，+∞） 　 解：原不等式同解于（2x+1）（x﹣1）＞0 ∴x＞1或x＜ 故選：D 15．（xx?廣東）已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定．若M（x，y）為D上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，1），則z=?的最大值為（　?。? 　 A． 4 B． 3 C． 4 D． 3 　答案：C 16．（xx?廣東）已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定．若M（x，y）為D上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則z=?的最大值為（　?。? 　 A． 3 B． 4 C． 3 D． 4 　 解析：z=?=，即y=﹣x+z 做出l0：y=﹣x，將此直線平行移動(dòng)，當(dāng)直線y=﹣x+z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線在y軸上截距最大時(shí)，z有最大值． 因?yàn)锽（，2），所以z的最大值為4 故選：B 17．（xx?北京）設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則a的取值范圍是（　?。? 　 A． （1，3] B． [2，3] C． （1，2] D． [3，+∞] 　 解：作出區(qū)域D的圖象，聯(lián)系指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象， 由得到點(diǎn)C（2，9）， 當(dāng)圖象經(jīng)過區(qū)域的邊界點(diǎn)C（2，9）時(shí)，a可以取到最大值3， 而顯然只要a大于1，圖象必然經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)． 故選：A． 18．（xx?山東）設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=3x﹣4y的最大值和最小值分別為（　?。? 　 A． 3，﹣11 B． ﹣3，﹣11 C． 11，﹣3 D． 11，3 　 解：作出滿足約束條件的可行域，如右圖所示， 可知當(dāng)直線z=3x﹣4y平移到點(diǎn)（5，3）時(shí)， 目標(biāo)函數(shù)z=3x﹣4y取得最大值3； 當(dāng)直線z=3x﹣4y平移到點(diǎn)（3，5）時(shí)， 目標(biāo)函數(shù)z=3x﹣4y取得最小值﹣11，故選A． 19．（xx?建德市校級模擬）若實(shí)數(shù)x、y滿足（x+2）2+y2=3，則的最大值為（　?。? 　 A． B． C． D． 解：（x+2）2+y2=3，表示以（﹣2，0）為圓心，以為半徑的圓 表示圓上的點(diǎn)與（0，0）連線的斜率，設(shè)為k則y=kx 由圖知，當(dāng)過原點(diǎn)的直線與圓相切時(shí)斜率最大 故有解得或 由圖知， 故選A 20．（xx?福建）在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組（a為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域的面積等于2，則a的值為（　　） 　 A． ﹣5 B． 1 C． 2 D． 3 　解：不等式組所圍成的區(qū)域如圖所示． ∵其面積為2， ∴|AC|=4， ∴C的坐標(biāo)為（1，4）， 代入ax﹣y+1=0， 得a=3． 故選D． 21．（xx?陜西）若x，y滿足約束條件，目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點(diǎn)（1，0）處取得最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。? 　 A． （﹣1，2） B． （﹣4，2） C． （﹣4，0] D． （﹣2，4） 　解：不等式組所圍成的區(qū)域如圖所示． ∵其面積為2， ∴|AC|=4， ∴C的坐標(biāo)為（1，4）， 代入ax﹣y+1=0， 得a=3． 故選D． 22．（xx?安徽）若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則k的值是（　　） 　 A． B． C． D． 　 解：可行域?yàn)椤鰽BC，如圖， 當(dāng)a=0時(shí)，顯然成立． 當(dāng)a＞0時(shí)，直線ax+2y﹣z=0的斜率k=﹣＞kAC=﹣1，a＜2． 當(dāng)a＜0時(shí)，k=﹣＜kAB=2 a＞﹣4． 綜合得﹣4＜a＜2， 故選B． 23．（xx?安徽）不等式組，所表示的平面區(qū)域的面積等于（　?。? 　 A． B． C． D． 　 答案：A 24．（xx?山東）設(shè)x，y滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值為12，則的最小值為（　?。? 　 A． B． C． D． 4 　解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分， 當(dāng)直線ax+by=z（a＞0，b＞0） 過直線x﹣y+2=0與直線3x﹣y﹣6=0的交點(diǎn)（4，6）時(shí)， 目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12， 即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=， 故選A． 25．（xx?廣東）設(shè)a，b∈R，若a﹣|b|＞0，則下列不等式中正確的是（　?。? 　 A． b﹣a＞0 B． a3+b3＜0 C． a2﹣b2＜0 D． b+a＞0 　 解：利用賦值法：令a=1，b=0 b﹣a=﹣1＜0，故A錯(cuò)誤； a3+b3=1＞0，故B錯(cuò)誤； a2﹣b2=1＞0，故C錯(cuò)誤； 排除A，B，C，選D． 26．（xx?山東）設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，使函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是（　　） 　 A． [1，3] B． [2，] C． [2，9] D． [，9] 　解析：平面區(qū)域M如如圖所示． 求得A（2，10），C（3，8），B（1，9）． 由圖可知，欲滿足條件必有a＞1且圖象在過B、C兩點(diǎn)的圖象之間． 當(dāng)圖象過B點(diǎn)時(shí)，a1=9，∴a=9． 當(dāng)圖象過C點(diǎn)時(shí)，a3=8，∴a=2． 故a的取值范圍為[2，9] 故選C． 27．（xx?福建）若實(shí)數(shù)x、y滿足則的取值范圍是（　?。? 　 A． （0，2） B． （0，2） C． （2，+∞） D． [，+∞） 　解：不等式組，當(dāng)取得點(diǎn)（2，3）時(shí)， 取得最小值為，所以答案為[，+∞）， 故選D．