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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文 一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．） 1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，則集合（?UM）∩N等于( ) A．{2，3} B．{2，3，5，6} C．{1，4} D．{1，4，5，6} 2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z=2i，則z=( ) A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i 3．“x＜0”是“l(fā)n（x+1）＜0”的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 4．在△ABC中，，AC=1，∠B=30，△ABC的面積為，則∠C=( ) A．30 B．45 C．60 D．75 5．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1=1，公差d=2，Sn+2﹣Sn=36，則n=( ) A．5 B．6 C．7 D．8 6．若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的直觀圖是( ) A． B． C． D． 7．已知x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值為( ) A．3 B．﹣3 C．1 D． 8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的k的值為( ) A．4 B．5 C．6 D．7 9．已知函數(shù)，若，則f（﹣a）=( ) A． B． C． D． 10．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F(xiàn)為BC邊的三等分點，則?=( ) A． B． C． D． 11．函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和等于( ) A．2 B．4 C．6 D．8 12．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，則不等式exf（x）＞ex+3（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為( ) A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞） 二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題紙上.） 13．已知，，則sinα+cosα=__________． 14．已知{an}是等比數(shù)列，，則a1a2+a2a3+…+anan+1=__________． 15．若直線l：（a＞0，b＞0）經(jīng)過點（1，2）則直線l在x軸和y軸的截距之和的最小值是__________ 16．已知四面體P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面體P﹣ABC的體積為，則該球的體積為__________． 三、解答題：（解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，解答過程書寫在答題紙的對應(yīng)位置.） 17．（12分）已知函數(shù)f（x）=sin2x+sinxcosx． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅱ）當(dāng)x∈[0，]時，求函數(shù)f（x）的值域． 18．（12分）等比數(shù)列{an}的前n 項和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列 （Ⅰ）求{an}的公比q； （Ⅱ）若a1﹣a3=3，bn=nan．求數(shù)列{bn}的前n 項和Tn． 19．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，，且c=3． （Ⅰ）求角C； （Ⅱ）若向量與共線，求a、b的值． 20．．（12分）如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90，CD∥AB，AD=CD=AB=2，點E為AC中點．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D﹣ABC，如圖所示． （Ⅰ）在CD上找一點F，使AD∥平面EFB； （Ⅱ）求點C到平面ABD的距離． 21．（12分）已知函數(shù)f（x）=alnx（a＞0），e為自然對數(shù)的底數(shù)． （Ⅰ）若過點A（2，f（2））的切線斜率為2，求實數(shù)a的值； （Ⅱ）當(dāng)x＞0時，求證：f（x）≥a（1﹣）； （Ⅲ）在區(qū)間（1，e）上＞1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 選修4-1：幾何證明選講 22．（10分）如圖，已知AB是圓O的直徑，C、D是圓O上的兩個點，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG． （Ⅰ）求證：C是劣弧BD的中點； （Ⅱ）求證：BF=FG． 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 23．（10分）已知直線l：（t為參數(shù)），曲線C1：（θ為參數(shù)）． （Ⅰ）設(shè)l與C1相交于A，B兩點，求|AB|； （Ⅱ）若把曲線C1上各點的橫坐標(biāo)壓縮為原來的倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來的倍，得到曲線C2，設(shè)點P是曲線C2上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值． 選修4-5：不等式選講 24．（10分）設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|． （Ⅰ）解不等式f（x）＞0； （Ⅱ）若f（x）+3|x﹣4|＞m對一切實數(shù)x均成立，求m的取值范圍． 一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．） 1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，則集合（?UM）∩N等于( ) A．{2，3} B．{2，3，5，6} C．{1，4} D．{1，4，5，6} 考點：交、并、補集的混合運算． 專題：集合． 分析：根據(jù)集合的基本運算即可得到結(jié)論． 解答： 解：由補集的定義可得?UN={2，3，5}， 則（?UN）∩M={2，3}， 故選：A 點評：本題主要考查集合的基本運算，比較基礎(chǔ)． 2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z=2i，則z=( ) A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i 考點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算． 專題：計算題． 分析：根據(jù)所給的等式兩邊同時除以1﹣i，得到z的表示式，進行復(fù)數(shù)的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，整理成最簡形式，得到結(jié)果． 解答： 解：∵復(fù)數(shù)z滿足z（1﹣i）=2i， ∴z==﹣1+i 故選A． 點評：本題考查代數(shù)形式的除法運算，是一個基礎(chǔ)題，這種題目若出現(xiàn)一定是一個送分題目，注意數(shù)字的運算． 3．“x＜0”是“l(fā)n（x+1）＜0”的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 考點：充要條件． 專題：計算題；簡易邏輯． 分析：根據(jù)不等式的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可得到結(jié)論． 解答： 解：∵x＜0，∴x+1＜1，當(dāng)x+1＞0時，ln（x+1）＜0； ∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0， ∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分條件． 故選：B． 點評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)． 4．在△ABC中，，AC=1，∠B=30，△ABC的面積為，則∠C=( ) A．30 B．45 C．60 D．75 考點：三角形的面積公式． 專題：解三角形． 分析：利用正弦定理，求出C，從而可求A，利用△ABC的面積確定C的大小，即可得出結(jié)論． 解答： 解：∵△ABC中，B=30，AC=1，AB=，由正弦定理可得： =， ∴sinC=， ∴C=60或120， C=60時，A=90；C=120時A=30， 當(dāng)A=90時，∴△ABC的面積為?AB?AC?sinA=， 當(dāng)A=30時，∴△ABC的面積為?AB?AC?sinA=，不滿足題意， 則C=60． 故選：C． 點評：本題考查正弦定理的運用，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題． 5．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1=1，公差d=2，Sn+2﹣Sn=36，則n=( ) A．5 B．6 C．7 D．8 考點：等差數(shù)列的性質(zhì)． 專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析：由Sn+2﹣Sn=36，得an+1+an+2=36，代入等差數(shù)列的通項公式求解n． 解答： 解：由Sn+2﹣Sn=36，得：an+1+an+2=36， 即a1+nd+a1+（n+1）d=36， 又a1=1，d=2， ∴2+2n+2（n+1）=36． 解得：n=8． 故選：D． 點評：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列的通項公式，是基礎(chǔ)題． 6．若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的直觀圖是( ) A． B． C． D． 考點：平面圖形的直觀圖． 專題：空間位置關(guān)系與距離． 分析：逐一分析四個答案中幾何體的三視圖，比照已知中的三視圖，可得答案． 解答： 解：A中，的三視圖為：，滿足條件； B中，的側(cè)視圖為：，與已知中三視圖不符，不滿足條件； C中，的側(cè)視圖和俯視圖為：，與已知中三視圖不符，不滿足條件； D中，的三視圖為：，與已知中三視圖不符，不滿足條件； 故選：A 點評：本題考查的知識點是三視圖的畫法，能根據(jù)已知中的直觀圖，畫出幾何體的三視圖是解答的關(guān)鍵． 7．已知x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值為( ) A．3 B．﹣3 C．1 D． 考點：簡單線性規(guī)劃． 專題：計算題． 分析：先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=2x+y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最大值即可． 解答： 解：作圖 易知可行域為一個三角形， 當(dāng)直線z=2x+y過點A（2，﹣1）時，z最大是3， 故選A． 點評：本小題是考查線性規(guī)劃問題，本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題． 8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的k的值為( ) A．4 B．5 C．6 D．7 考點：程序框圖． 專題：計算題；規(guī)律型；算法和程序框圖． 分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是輸出輸出不滿足條件S=0+1+2+8+…＜100時，k+1的值． 解答： 解：分析程序中各變量、各語句的作用， 再根據(jù)流程圖所示的順序， 可知：該程序的作用是： 輸出不滿足條件S=0+1+2+8+…＜100時，k+1的值． 第一次運行：滿足條件，s=1，k=1； 第二次運行：滿足條件，s=3，k=2； 第三次運行：滿足條件，s=11＜100，k=3；滿足判斷框的條件，繼續(xù)運行， 第四次運行：s=1+2+8+211＞100，k=4，不滿足判斷框的條件，退出循環(huán)． 故最后輸出k的值為4． 故選：A． 點評：本題考查根據(jù)流程圖（或偽代碼）輸出程序的運行結(jié)果．這是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：：①分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中即要分析出計算的類型，又要分析出參與計算的數(shù)據(jù)（如果參與運算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對數(shù)據(jù)進行分析管理）?②建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型③解模． 9．已知函數(shù)，若，則f（﹣a）=( ) A． B． C． D． 考點：函數(shù)的值． 專題：計算題． 分析：利用f（x）=1+，f（x）+f（﹣x）=2即可求得答案． 解答： 解：∵f（x）==1+， ∴f（﹣x）=1﹣， ∴f（x）+f（﹣x）=2； ∵f（a）=， ∴f（﹣a）=2﹣f（a）=2﹣=． 故選C． 點評：本題考查函數(shù)的值，求得f（x）+f（﹣x）=2是關(guān)鍵，屬于中檔題． 10．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F(xiàn)為BC邊的三等分點，則?=( ) A． B． C． D． 考點：平面向量數(shù)量積的運算． 專題：計算題；平面向量及應(yīng)用． 分析：運用向量的平方即為模的平方，可得=0，再由向量的三角形法則，以及向量共線的知識，化簡即可得到所求． 解答： 解：若|+|=|﹣|， 則=， 即有=0， E，F(xiàn)為BC邊的三等分點， 則=（+）?（+）=（）?（） =（+）?（+） =++=（1+4）+0=． 故選B． 點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量的平方即為模的平方，考查向量共線的定理，考查運算能力，屬于中檔題． 11．函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和等于( ) A．2 B．4 C．6 D．8 考點：奇偶函數(shù)圖象的對稱性；三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的圖象． 專題：壓軸題；數(shù)形結(jié)合． 分析：的圖象由奇函數(shù)的圖象向右平移1個單位而得，所以它的圖象關(guān)于點（1，0）中心對稱，再由正弦函數(shù)的對稱中心公式，可得函數(shù)y2=2sinπx的圖象的一個對稱中心也是點（1，0），故交點個數(shù)為偶數(shù)，且每一對對稱點的橫坐標(biāo)之和為2．由此不難得到正確答案． 解答： 解：函數(shù)，y2=2sinπx的圖象有公共的對稱中心（1，0），作出兩個函數(shù)的圖象如圖 當(dāng)1＜x≤4時，y1＜0 而函數(shù)y2在（1，4）上出現(xiàn)1.5個周期的圖象， 在和上是減函數(shù)； 在和上是增函數(shù)． ∴函數(shù)y1在（1，4）上函數(shù)值為負數(shù)，且與y2的圖象有四個交點E、F、G、H 相應(yīng)地，y1在（﹣2，1）上函數(shù)值為正數(shù)，且與y2的圖象有四個交點A、B、C、D 且：xA+xH=xB+xG═xC+xF=xD+xE=2，故所求的橫坐標(biāo)之和為8 故選D 點評：發(fā)現(xiàn)兩個圖象公共的對稱中心是解決本題的入口，討論函數(shù)y2=2sinπx的單調(diào)性找出區(qū)間（1，4）上的交點個數(shù)是本題的難點所在． 12．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，則不等式exf（x）＞ex+3（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為( ) A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞） 考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的運算． 專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可求解 解答： 解：設(shè)g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R）， 則g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]， ∵f（x）+f′（x）＞1， ∴f（x）+f′（x）﹣1＞0， ∴g′（x）＞0， ∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞增， ∵exf（x）＞ex+3， ∴g（x）＞3， 又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3， ∴g（x）＞g（0）， ∴x＞0 故選：A． 點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵． 二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題紙上.） 13．已知，，則sinα+cosα=． 考點：三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值． 專題：計算題． 分析：通過已知求出tanα，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，結(jié)合角的范圍，求出sinα，cosα的值即可． 解答： 解：∵ ∴ 解得tanα=， ∵， ∵sin2α+cos2α=1…① tanα=，…② 解①②得sinα=，cosα=﹣ ∴sinα+cosα==﹣． 故答案為：﹣． 點評：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，注意角的范圍，考查計算能力 14．已知{an}是等比數(shù)列，，則a1a2+a2a3+…+anan+1=． 考點：數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項公式． 專題：計算題． 分析：首先根據(jù)a2和a5求出公比q，根據(jù)數(shù)列{anan+1}每項的特點發(fā)現(xiàn)仍是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列求和公式可得出答案． 解答： 解：由 ，解得 ． 數(shù)列{anan+1}仍是等比數(shù)列：其首項是a1a2=8，公比為， 所以， 故答案為． 點評：本題主要考查等比數(shù)列通項的性質(zhì)和求和公式的應(yīng)用．應(yīng)善于從題設(shè)條件中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，充分挖掘有效信息． 15．若直線l：（a＞0，b＞0）經(jīng)過點（1，2）則直線l在x軸和y軸的截距之和的最小值是3+2． 考點：直線的截距式方程． 專題：直線與圓． 分析：把點（1，1）代入直線方程，得到=1，然后利用a+b=（a+b）（），展開后利用基本不等式求最值． 解答： 解：∵直線l：（a＞0，b＞0）經(jīng)過點（1，2） ∴=1， ∴a+b=（a+b）（）=3+≥3+2，當(dāng)且僅當(dāng)b=a時上式等號成立． ∴直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為3+2． 故答案為：3+2． 點評：本題考查了直線的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中檔題． 16．已知四面體P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面體P﹣ABC的體積為，則該球的體積為 考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積． 專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離． 分析：設(shè)該球的半徑為R，則AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直徑，所以△ABC在大圓所在平面內(nèi)且有AC⊥BC，由此能求出球的體積． 解答： 解：設(shè)該球的半徑為R， 則AB=2R，2AC=AB=， ∴AC=R， 由于AB是球的直徑， 所以△ABC在大圓所在平面內(nèi)且有AC⊥BC， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得： BC2=AB2﹣AC2=R2， 所以Rt△ABC面積S=BCAC=， 又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面體P﹣ABC的體積為， ∴VP﹣ABC==， 即R3=9，R3=3， 所以：球的體積V球=πR3=π3=4π． 故選D． 點評：本題考查四面體的外接球的體積的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細解答，注意合理地化空間問題為平面問題． 三、解答題：（解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，解答過程書寫在答題紙的對應(yīng)位置.） 17．已知函數(shù)f（x）=sin2x+sinxcosx． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅱ）當(dāng)x∈[0，]時，求函數(shù)f（x）的值域． 考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象． 專題：三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析：（I）先化簡求得解析式f（x）=sin（2x﹣）+，從而可求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅱ）先求2x﹣的范圍，可得sin（2x﹣）的范圍，從而可求函數(shù)f（x）的值域． 解答： 解：（I）f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x … =sin（2x﹣）+．… 函數(shù)f（x）的最小正周期為T=π．… 因為﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，．… （Ⅱ）當(dāng)x∈[0，]時，2x﹣∈[﹣，] sin（2x﹣）∈[﹣，1]，… 所以函數(shù)f（x）的值域為f（x）∈[0，1+]．… 點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識的考查． 18．等比數(shù)列{an}的前n 項和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列 （1）求{an}的公比q； （2）若a1﹣a3=3，bn=nan．求數(shù)列{bn}的前n 項和Tn． 考點：數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項公式． 專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析：（I）分類討論利用等差等比是列的定義公式得出當(dāng)q=1時，S1=a1，S3=3a1，S2=2a1，不是等差數(shù)列，當(dāng)q≠1時，化簡得出：2q2﹣q﹣1=0，求解即可． （II）運用得出數(shù)列，等比數(shù)列的性質(zhì)得出bn=nan．a(chǎn)n=n﹣1，再利用錯位相減求和即可． 解答： 解：（Ⅰ）∵等比數(shù)列{an}的前n 項和為Sn， ∴當(dāng)q=1時，S1=a1，S3=3a1，S2=2a1，不是等差數(shù)列， 當(dāng)q≠1時，Sn=， ∵S1，S3，S2成等差數(shù)列 ∴2S3=S1+S2， 化簡得出：2q2﹣q﹣1=0， 解得：， （Ⅱ）∵a1﹣a3=3，∴a1﹣a1=3，a1=4∵bn=nan．a(chǎn)n=n﹣1∴bn=nan=4n（）n﹣1∴Tn=4 ﹣Tn=4錯位相減得出Tn=4n Tn=4， Tn=（1﹣（﹣）n）n（﹣）n Tn=（﹣）nn（﹣）n 點評：本題考查了等比等差數(shù)列的性質(zhì)，錯位相減法求解數(shù)列的和，考查了學(xué)生的計算化簡能力，屬于中檔題． 19已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，，且c=3． （1）求角C； （2）若向量與共線，求a、b的值． 考點：余弦定理；三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值；正弦定理． 專題：計算題． 分析：（1）利用二倍角公式及輔助角公式對已知化簡可得sin（2C﹣30）=1，結(jié)合C的范圍可求C （2）由（1）C，可得A+B，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示可得sinB﹣2sinA=0，利用兩角差的正弦公式化簡可求 解答： 解：（1）∵， ∴ ∴sin（2C﹣30）=1 ∵0＜C＜180 ∴C=60 （2）由（1）可得A+B=120 ∵與共線， ∴sinB﹣2sinA=0 ∴sin（120﹣A）=2sinA 整理可得，即tanA= ∴A=30，B=90 ∵c=3． ∴a=，b=2 點評：本題主要考查了二倍角公式、輔助角公式及兩角和的正弦公式、銳角三角函數(shù)的綜合應(yīng)用 20．如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90，CD∥AB，AD=CD=AB=2，點E為AC中點．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D﹣ABC，如圖2所示． （1）在CD上找一點F，使AD∥平面EFB； （2）求點C到平面ABD的距離． 考點：點、線、面間的距離計算；直線與平面平行的判定． 專題：空間位置關(guān)系與距離． 分析：（1）取CD的中點F，連結(jié)EF，BF，在△ACD中，可證AD∥EF，又EF?平面EFB AD?平面EFB，可證AD∥平面EFB． （2）設(shè)點C到平面ABD的距離為h，由于可證AD⊥BD，可得，又三棱錐B﹣ACD的高BC=2，S△ACD=2，由=即可解得點C到平面ABD的距離． 解答： （1）取CD的中點F，連結(jié)EF，BF， 在△ACD中，∵E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點， ∴EF為△ACD的中位線 ∴AD∥EF， EF?平面EFB，AD?平面EFB ∴AD∥平面EFB． （2）設(shè)點C到平面ABD的距離為h， ∵平面ADC⊥平面ABC，且BC⊥AC， ∴BC⊥平面ADC， ∴BC⊥AD，而AD⊥DC? ∴AD⊥平面BCD，即AD⊥BD? ∴? ∴三棱錐B﹣ACD的高BC=2，S△ACD=2， ∴= ∴可解得：h=2． 點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，考查了點、線、面間的距離計算，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題． 21．已知函數(shù)f（x）=alnx（a＞0），e為自然對數(shù)的底數(shù)． （Ⅰ）若過點A（2，f（2））的切線斜率為2，求實數(shù)a的值； （Ⅱ）當(dāng)x＞0時，求證：f（x）≥a（1﹣）； （Ⅲ）在區(qū)間（1，e）上＞1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程． 專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)和切線斜率之間的關(guān)系即可求實數(shù)a的值； （Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式即可； （Ⅲ）利用參數(shù)分離法結(jié)合導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用即可得到結(jié)論． 解答： 解答：（I）函數(shù)的f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=， ∵過點A（2，f（2））的切線斜率為2， ∴f′（2）==2，解得a=4．… （Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣）=a（lnx﹣1+）； 則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=a（）．… 令g′（x）＞0，即a（）＞0，解得x＞1， ∴g（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增． ∴g（x）最小值為g（1）=0， 故f（x）≥a（1﹣）成立．… （Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，則h′（x）=﹣1， 令h′（x）＞0，解得x＜a．… 當(dāng)a＞e時，h（x）在（1，e）是增函數(shù)，所以h（x）＞h（1）=0．… 當(dāng)1＜a≤e時，h（x）在（1，a）上遞增，（a，e）上遞減， ∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．… 當(dāng)a≤1時，h（x）在（1，e）上遞減，則需h（e）≥0， ∵h（e）=a+1﹣e＜0不合題意．… 綜上，a≥e﹣1… 點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)單調(diào)性最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力． 選修4-1：幾何證明選講 22．如圖，已知AB是圓O的直徑，C、D是圓O上的兩個點，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG． （Ⅰ）求證：C是劣弧BD的中點； （Ⅱ）求證：BF=FG． 考點：與圓有關(guān)的比例線段． 專題：計算題． 分析：（I）要證明C是劣弧BD的中點，即證明弧BC與弧CD相等，即證明∠CAB=∠DAC，根據(jù)已知中CF=FG，AB是圓O的直徑，CE⊥AB于E，我們易根據(jù)同角的余角相等，得到結(jié)論． （II）由已知及（I）的結(jié)論，我們易證明△BFC及△GFC均為等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，進而得到結(jié)論． 解答： 解：（I）∵CF=FG ∴∠CGF=∠FCG ∴AB圓O的直徑 ∴ ∵CE⊥AB ∴ ∵ ∴∠CBA=∠ACE ∵∠CGF=∠DGA ∴ ∴∠CAB=∠DAC ∴C為劣弧BD的中點 （II）∵ ∴∠GBC=∠FCB ∴CF=FB 同理可證：CF=GF ∴BF=FG 點評：本題考查的知識點圓周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根據(jù)AB是圓O的直徑，CE⊥AB于E，找出要證明相等的角所在的直角三角形，是解答本題的關(guān)鍵． 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 23．已知直線l：（t為參數(shù)），曲線C1：（θ為參數(shù)）． （Ⅰ）設(shè)l與C1相交于A，B兩點，求|AB|； （Ⅱ）若把曲線C1上各點的橫坐標(biāo)壓縮為原來的倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來的倍，得到曲線C2，設(shè)點P是曲線C2上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值． 考點：圓的參數(shù)方程；函數(shù)的圖象與圖象變化；直線與圓相交的性質(zhì)；直線的參數(shù)方程． 專題：計算題． 分析：（I）將直線l中的x與y代入到直線C1中，即可得到交點坐標(biāo)，然后利用兩點間的距離公式即可求出|AB|． （II）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，曲線C2任意點P的坐標(biāo)，利用點到直線的距離公式P到直線的距離d，分子合并后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，與分母約分化簡后，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得正弦函數(shù)的最小值，進而得到距離d的最小值即可． 解答： 解：（I）l的普通方程為y=（x﹣1），C1的普通方程為x2+y2=1， 聯(lián)立方程組，解得交點坐標(biāo)為A（1，0），B（，﹣） 所以|AB|==1； （II）曲線C2：（θ為參數(shù)）． 設(shè)所求的點為P（cosθ，sinθ）， 則P到直線l的距離d== 當(dāng)sin（）=﹣1時，d取得最小值． 點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有直線與圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，點到直線的距離公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)曲線C2的參數(shù)方程設(shè)出所求P的坐標(biāo)，根據(jù)點到直線的距離公式表示出d，進而利用三角函數(shù)來解決問題是解本題的思路． 選修4-5：不等式選講 24．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|． （1）解不等式f（x）＞0； （2）若f（x）+3|x﹣4|＞m對一切實數(shù)x均成立，求m的取值范圍． 考點：絕對值不等式的解法；函數(shù)最值的應(yīng)用． 專題：計算題；壓軸題；分類討論． 分析：（1）分類討論，當(dāng)x≥4時，當(dāng)時，當(dāng)時，分別求出不等式的解集，再把解集取交集． （2）利用絕對值的性質(zhì)，求出f（x）+3|x﹣4|的最小值為9，故m＜9． 解答： 解：（1）當(dāng)x≥4時f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0得 x＞﹣5，所以，x≥4時，不等式成立． 當(dāng)時，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以，1＜x＜4時，不等式成立． 當(dāng)時，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以，x＜﹣5成立 綜上，原不等式的解集為：{x|x＞1或x＜﹣5}． （2）f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，當(dāng)， 所以，f（x）+3|x﹣4|的最小值為9，故 m＜9． 點評：本題考查絕對值不等式的解法，求函數(shù)的最小值的方法，絕對值不等式的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．