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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 歸納推理教案 蘇教版選修2-2 一、教學(xué)目標(biāo) 知識與技能：（1）體會歸納推理這種基本的分析問題法，并把它們用于對問題的發(fā)現(xiàn)中去。 （2）明確歸納推理的一般步驟，并把這些方法用于實際問題的解決中去。 過程與方法： （1）通過歌德巴赫猜想引入課題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性； （2）通過師生合作做實驗的過程，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性； （3）通過生活中的實例，讓學(xué)生體會歸納推理的思想方法。 情感態(tài)度與價值觀： 正確認(rèn)識歸納推理在數(shù)學(xué)中的重要作用，養(yǎng)成從小開始認(rèn)真觀察事物、分析問題、發(fā)現(xiàn)事物之間的質(zhì)的聯(lián)系的良好個性品質(zhì)，善于發(fā)現(xiàn)問題，探求新知識。 二、教學(xué)重點：理解歸納推理的思維過程與一般形式。 三、教學(xué)難點：運用歸納推理得到一般性的結(jié)論。 四、教學(xué)方法與手段：多媒體演示，互動實驗。 五、教學(xué)過程： 情景一：歌德巴赫猜想 問題1：同學(xué)們，你們有沒有聽說過一個世紀(jì)難題，歌德巴赫猜想，簡稱“1+1”？ ____________________________________________ 問題2：你們知道這個歌德巴赫猜想的具體內(nèi)容嗎？ ____________________________________________ 問題3：你們想不想知道歌德巴赫是怎樣提出這個猜想的？ 1742年，歌德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)： 4=2+2， 6=3+3， 8=3+5， 10=3+7=5+5， 12=5+7， 14=3+11=7+7， 16=3+13=5+11， 18=5+13=7+11， 20=3+17=7+13， 22=3+19=5+17=11+11，…… 由此，他猜想：任何大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)之和（簡稱“1+1”），可是他既證明不了這個猜想，也否定不了這個猜想。于是，歌德巴赫寫信給當(dāng)時的大數(shù)學(xué)家歐拉。歐拉在給他的回信中說，他相信這個猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡單的問題，連歐拉這樣首屈一指的數(shù)學(xué)家都不能證明，這個猜想便引起了許多數(shù)學(xué)家的注意。從提出這個猜想至今，許多數(shù)學(xué)家都不斷努力想攻克它，但都沒有成功。 從此，這道著名的數(shù)學(xué)難題引起了世界上成千上萬數(shù)學(xué)家的注意。200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。到了20世紀(jì)20年代，才有人開始向它靠近。目前最佳的結(jié)果是中國數(shù)學(xué)家陳景潤于1966年證明的“每一個充分大的偶數(shù)都能夠表示為一個素數(shù)及一個不超過兩個素數(shù)的乘積之和”（簡稱“1+2”），這一結(jié)論十分接近歌德巴赫猜想的解，被國際上稱為“陳氏定理”。 情景二：多面體的歐拉公式 雖然，歌德巴赫的猜想還不能證明，但他的這種猜想方法在定理發(fā)現(xiàn)中很有用。大數(shù)學(xué)家歐拉，也是通過觀察一些簡單的多面體，然后發(fā)現(xiàn)多面體的歐拉公式的。 下面請同學(xué)們數(shù)一數(shù)下列圖中的凸多面體的面數(shù)F、頂點數(shù)V和棱數(shù)E，然后一起把表格填完整。 多面體 面數(shù)(F) 頂點數(shù)(V) 棱數(shù)(E) 三棱錐 四棱錐 三棱柱 五棱錐 立方體 正八面體 五棱柱 截角正方體 尖頂塔 問題4：歐拉從中發(fā)現(xiàn)了公式，你們發(fā)現(xiàn)了嗎？ ____________________________________ 情景三：生活中的猜想 人們發(fā)現(xiàn)，只要有一年冬季下了大雪，那么第二年莊稼就會獲得豐收，而沒有發(fā)現(xiàn)相反情況，于是，人們作出了一個猜想：“瑞雪兆豐年”。 這樣的猜想生活中還有很多，例如每次下大雨之前，都有螞蟻搬家的現(xiàn)象，于是，我們就據(jù)此作出一個猜想：“凡螞蟻搬家，天必下雨” 問題5：在上面幾個例子中，大家有沒有發(fā)現(xiàn)它們有什么共同的特點？ 它們都是從個別事實中推演出一般的結(jié)論，像這樣的推理通常稱為歸納推理，簡稱歸納法。 歸納推理的思維過程大致如下： 猜測一般性的結(jié)論 概括、推廣 實驗、觀察 歸納推理的一般模式為： S1具有P， S2具有P， …… Sn具有P（S1，S2，……，Sn是A類事實的對象） 所以，A類事物都具有P。 互動實驗： 道具：兩袋玻璃棋子（其中一袋都是黑的；一袋中除一個黑的外其余都是白的） 過程：請兩個學(xué)生上臺摸袋中的棋子，一次摸一個，摸了三次后，請他們作出一個歸納推理。 目的：說明歸納推理得到的結(jié)論不都是正確的。 問題6：為什么上面的實驗可能會得到不正確的結(jié)論？ 因為沒有全部摸出來，只檢查了幾個，就得出結(jié)論了。 像這樣只從幾個個別事例就推出結(jié)論的歸納法稱為不完全歸納法； 如果把全部情況都列舉出來的歸納法稱為完全歸納法。 完全歸納法考察的是某類事物的全部對象，所以它的結(jié)論一定是正確的。但它的運用是有局限性的。如果某類事物的個別對象是無限的(如天體、原子)或者事實上是無法一一考察窮盡的，它就不能適用了。這時就只能運用不完全歸納推理了。例如檢查一個大型生產(chǎn)廠的產(chǎn)品合格率。 課堂研學(xué)：“漢諾塔”問題 如圖有三根針和套在一根針上的若干金屬片，按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上。 ①、每次只能移動1個金屬片；②、較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面。試推測：把n個金屬片從1號針移到3號針,最少需要移動多少次? 2 3 1 課堂練習(xí)： （1）已知數(shù)列的通項公式，記，試通過計算的值，推測出的值。 （2）已知：，。觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題，并證明之。 課堂總結(jié)： 問題7：通過以上學(xué)習(xí)，歸納推理具有什么特點？ （1）歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包容的范圍。 （2）由歸納得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論是否真實，還需經(jīng)過邏輯證明和實踐檢驗。因此，它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具。 （3）歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理得到的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起點，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。