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2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 數(shù)列教案 理 教材分析 這節(jié)課主要研究數(shù)列的有關(guān)概念，并運(yùn)用概念去解決有關(guān)問(wèn)題，其中，對(duì)數(shù)列概念的理解及應(yīng)用，既是教學(xué)的重點(diǎn)，也是教學(xué)的難點(diǎn)． 教學(xué)目標(biāo) 1. 理解數(shù)列及數(shù)列的通項(xiàng)公式等有關(guān)概念，會(huì)根據(jù)一個(gè)數(shù)列的有限項(xiàng)寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式． 2. 了解遞推數(shù)列，并會(huì)由遞推公式寫(xiě)出此數(shù)列的若干項(xiàng)． 3. 進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納和猜想的能力． 任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容以往很少涉及，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，既新又抽象，所以，須要依靠實(shí)例進(jìn)行教學(xué)．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系應(yīng)在函數(shù)定義的基礎(chǔ)上加以理解．由若干項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是難點(diǎn)，但這又是鍛煉學(xué)生的歸納、猜想能力的極好機(jī)會(huì)，應(yīng)大膽讓學(xué)生親自歸納和猜想． 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問(wèn)題情景 傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，他們?cè)谏碁┥袭?huà)點(diǎn)或用小石子來(lái)表示數(shù)．比如，他們研究過(guò)1，3，6，10，…由于這些數(shù)都能夠表示成三角形（如圖44-1），他們就將其稱(chēng)為三角形數(shù)．類(lèi)似地，1，4，9，16，…能夠表示成正方形（如圖44-2），他們就將其稱(chēng)為正方形數(shù)． 二、建立模型 1. 引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析數(shù)列的順序要求，設(shè)法用自己的語(yǔ)言描述出數(shù)列的定義及有窮數(shù)列、無(wú)窮數(shù)列、遞增數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列等有關(guān)概念像1，4，9，16，…等按照一定規(guī)律排列的一列數(shù)，就叫作數(shù)列． ［練　習(xí)］ 下面的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列？ （1）全體自然數(shù)構(gòu)成數(shù)列 0，1，2，3，… （2）1996～xx年某市普通高中生人數(shù)（單位：萬(wàn)人）構(gòu)成數(shù)列 82，93，105，119，129，130，132． （3）無(wú)窮多個(gè)3構(gòu)成數(shù)列 3，3，3，3，… （4）目前通用的人民幣面額按從大到小的順序構(gòu)成數(shù)列（單位：元） 100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01． （5）－1的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，……構(gòu)成數(shù)列 －1，1，－1，1，… （6）的精確到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值與過(guò)剩近似值分別構(gòu)成數(shù)列 1，1.4，1.41，1.414，… 2，1.5，1.42，1.415，… 2. 引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)例、項(xiàng)和第n項(xiàng)等概念發(fā)現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系 如：數(shù)列1，2，0，－1，3，8，…，第1項(xiàng)是1，第4項(xiàng)是－1，……由此可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列，當(dāng)確定了項(xiàng)的位置后，這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)也隨之唯一確定．一般地，數(shù)列可以看作定義域?yàn)椋危ɑ蚱渥蛹┑暮瘮?shù)當(dāng)自變量依次為1，2，3，…時(shí)的一系列函數(shù)值． ［問(wèn)　題］ 數(shù)列既然可以看作一列函數(shù)值，那么“這個(gè)函數(shù)”可以如何表示？一定有解析式嗎？你能舉出一些有解析式的例子嗎？根據(jù)學(xué)生的討論，探究，得出：數(shù)列可以用列表、圖像和函數(shù)解析式來(lái)表示，從而，解析式即為數(shù)列的通項(xiàng)公式． 三、解釋?xiě)?yīng)用 ［例　題］ 1. 寫(xiě)出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)． （1）1，－，，－． （2）2，0，2，0． 解：（1）. （2）可以寫(xiě)成也可以寫(xiě)成an＝1＋（－1）n-1，（其中n＝1，2，…）． 注：對(duì)于（2），可以引導(dǎo)學(xué)生得到不同的結(jié)論，從而發(fā)現(xiàn)，根據(jù)數(shù)列的前若干項(xiàng)寫(xiě)出的通項(xiàng)公式不一定唯一． 2. 下圖中的三角形稱(chēng)為希爾賓斯基三角形．在下圖4個(gè)三角形中，黑色三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，并在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出它的圖像． 解：如圖44-3，這4個(gè)三角形中的黑色三角形的個(gè)數(shù)依次為1，3，9，27，則所求數(shù)列的前4項(xiàng)都是3的指數(shù)冪，并且指數(shù)為序號(hào)減1．所以，這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝3n-1． 在直角坐標(biāo)系中的圖像見(jiàn)下圖： 3. 設(shè)數(shù)列滿足 試寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)． 解：∵a1＝1， 注：像這樣給出數(shù)列的方法叫逆推法． ［練　習(xí)］ 1. 數(shù)列的前5項(xiàng)分別是以下各數(shù)，試分別寫(xiě)出各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式． 2. 已知數(shù)列｛an｝滿足a1＝1，an＝－1（n＞1），試寫(xiě)出它的前5項(xiàng)． 3. 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝n2－10n＋10，那么這個(gè)數(shù)列從第n項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值是否逐漸增大？從第n項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值是否均為正數(shù)？ 四、拓展延伸 教師引導(dǎo)學(xué)生分析思考下面的兩個(gè)問(wèn)題（可以在課堂上或課后完成）： 1. 已知數(shù)列｛an｝滿足，問(wèn)：此數(shù)列有無(wú)最大項(xiàng)和最小項(xiàng)？ 2. 通常用Sn表示數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)的和，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an．已知｛an｝的前n項(xiàng)和Sn＝n2－3n＋2，試求｛an｝的通項(xiàng)公式．一般地，如何用Sn表示an呢？ 點(diǎn)　評(píng) 這篇案例通過(guò)實(shí)例闡述了數(shù)列的有關(guān)概念，注意揭示了知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，比較好地調(diào)動(dòng)了學(xué)生參與探索的積極性和主動(dòng)性．問(wèn)題情景設(shè)計(jì)新穎，合理；問(wèn)題提出得準(zhǔn)確，恰當(dāng)；總體設(shè)計(jì)完整，清晰．另外，該案例還關(guān)注了學(xué)生科學(xué)地提出和解決問(wèn)題的能力的培養(yǎng)． 美中不足的是，自“問(wèn)題情景”到“建立模型”兩個(gè)環(huán)節(jié)的“交接處”顯得有些跳躍，步驟有些過(guò)簡(jiǎn)．