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2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 等差數(shù)列的前n項和教案 理 教材分析 等差數(shù)列的前ｎ項和是數(shù)列的重要內(nèi)容，也是數(shù)列研究的基本問題．在現(xiàn)實生活中，等差數(shù)列的求和是經(jīng)常遇到的一類問題．等差數(shù)列的求和公式，為我們求等差數(shù)列的前ｎ項和提供了一種重要方法． 教材首先通過具體的事例，探索歸納出等差數(shù)列前ｎ項和的求法，接著推廣到一般情況，推導(dǎo)出等差數(shù)列的前ｎ項和公式．為深化對公式的理解，通過對具體例子的研究，弄清等差數(shù)列的前ｎ項和與等差數(shù)列的項、項數(shù)、公差之間的關(guān)系，并能熟練地運(yùn)用等差數(shù)列的前ｎ項和公式解決問題．這節(jié)內(nèi)容重點是探索掌握等差數(shù)列的前ｎ項和公式，并能應(yīng)用公式解決一些實際問題，難點是前ｎ項和公式推導(dǎo)思路的形成． 教學(xué)目標(biāo) 1. 通過等差數(shù)列前ｎ項和公式的推導(dǎo)，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)公式產(chǎn)生、形成的過程，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力． 2. 理解和掌握等差數(shù)列的前ｎ項和公式，體會等差數(shù)列的前ｎ項和與二次函數(shù)之間的聯(lián)系，并能用公式解決一些實際問題，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解能力和邏輯推理能力． 3. 在研究公式的形成過程中，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新能力和科學(xué)的思維方法． 任務(wù)分析 這節(jié)內(nèi)容主要涉及等差數(shù)列的前ｎ項公式及其應(yīng)用． 對公式的推導(dǎo)，為便于學(xué)生理解，采取從特殊到一般的研究方法比較適宜，如從歷史上有名的求和例子1＋2＋3＋……＋100的高斯算法出發(fā)，一方面引發(fā)學(xué)生對等差數(shù)列求和問題的興趣，另一方面引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列中任意的第ｋ項與倒數(shù)第ｋ項的和等于首項與末項的和這個規(guī)律，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)求等差數(shù)列前ｎ項和的一般方法，這樣自然地過渡到一般等差數(shù)列的求和問題．對等差數(shù)列的求和公式，要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識公式本身的結(jié)構(gòu)特征，弄清前ｎ項和與等差數(shù)列的項、項數(shù)、公差之間的關(guān)系．為加深對公式的理解和運(yùn)用，要強(qiáng)化對實例的教學(xué)，并通過對具體實例的分析，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會解決問題的方法．特別是對實際問題，要引導(dǎo)學(xué)生從實際情境中發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的模型，恰當(dāng)選擇公式．對于等差數(shù)列前ｎ項和公式和二次函數(shù)之間的聯(lián)系，可引導(dǎo)學(xué)生拓展延伸． 教學(xué)設(shè)計 一、問題情景 1. 在200多年前，有個10歲的名叫高斯的孩子，在老師提出問題：“1＋2＋3＋…＋100＝？”時，很快地就算出了結(jié)果．他是怎么算出來的呢？他發(fā)現(xiàn)1＋100＝2＋99＝3＋97＝…＝50＋51＝101，于是1＋2＋…＋100＝10150＝5050． 2. 受高斯算法啟發(fā)，你能否求出1＋2＋3＋…＋ｎ的和． 3. 高斯的方法妙在哪里呢？這種方法能否推廣到求一般等差數(shù)列的前ｎ項和？ 二、建立模型 1. 數(shù)列的前ｎ項和定義 對于數(shù)列｛ａn｝，我們稱ａ1＋ａ2＋…＋ａn為數(shù)列｛ａn｝的前ｎ項和，用Sn表示，即Sn＝ａ1＋ａ2＋…＋ａn． 2. 等差數(shù)列的求和公式 （1）如何用高斯算法來推導(dǎo)等差數(shù)列的前ｎ項和公式？ 對于公差為ｄ的等差數(shù)列｛ａn｝： Sn＝ａ1＋（ａ1＋ｄ）＋（ａ1＋2ｄ）＋…＋［ａ1＋（ｎ—1）ｄ］，　　　　　　　　　　　　　　　　 ① 依據(jù)高斯算法，將Sn表示為Sn＝ａn＋（ａn—ｄ）＋（ａn—2ｄ）＋…＋［ａn—（ｎ—1）ｄ］．　　　　 ② 由此得到等差數(shù)列的前ｎ項和公式 小結(jié)：這種方法稱為反序相加法，是數(shù)列求和的一種常用方法． （2）結(jié)合通項公式ａn＝ａ1＋（ｎ—1）ｄ，又能得怎樣的公式？ （３）兩個公式有什么相同點和不同點，各反映了等差數(shù)列的什么性質(zhì)？ 學(xué)生討論后，教師總結(jié)：相同點是利用二者求和都須知道首項ａ1和項數(shù)ｎ；不同點是前者還須要知道ａn，后者還須要知道ｄ．因此，在應(yīng)用時要依據(jù)已知條件合適地選取公式．公式本身也反映了等差數(shù)列的性質(zhì)：前者反映了等差數(shù)列的任意的第ｋ項與倒數(shù)第ｋ項的和都等于首、末兩項之和，后者反映了等差數(shù)的前ｎ項和是關(guān)于ｎ的沒有常數(shù)項的“二次函數(shù)”． 三、解釋應(yīng)用 ［例　題］ 1. 根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列｛ａn｝的前ｎ項和Sn． （1）ａ1＝ —4，ａ8＝ —18，ｎ＝8． （2）ａ1＝14．5，ｄ＝0.7，ａn＝32． 注：恰當(dāng)選用公式進(jìn)行計算． 2. 已知一個等差數(shù)列｛ａn｝前10項的和是310，前20項的和是1220．由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前ｎ項和的公式嗎？ 分析：將已知條件代入等差數(shù)列前ｎ項和的公式后，可得到兩個關(guān)于ａ1與ｄ的關(guān)系式，它們都是關(guān)于ａ1與ｄ的二元一次方程，由此可以求得ａ1與ｄ，從而得到所求前ｎ項和的公式． 解：由題意知 注：（1）教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到等差數(shù)列前ｎ項和公式，就是一個關(guān)于ａn，ａ1，ｎ或者ａ1，ｎ，ｄ的方程，使學(xué)生能把方程思想和前ｎ項和公式相結(jié)合，再結(jié)合通項公式，對ａ1，ｄ，ｎ，ａn及Sn這五個量知其三便可求其二． （2）本題的解法還有很多，教學(xué)時可鼓勵學(xué)生探索其他的解法．例如， 3. 2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實施“校校通”工程的通知》．某市據(jù)此提出了實施“校校通”工程的總目標(biāo)：從xx年起用10年的時間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)．據(jù)測算，xx年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費500萬元．為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元．那么從xx年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？ 教師引學(xué)生分析：每年“校校通”工程的經(jīng)費數(shù)構(gòu)成公差為５０的等差數(shù)列．問題實質(zhì)是求該數(shù)列的前10項的和． 解：根據(jù)題意，從xx～xx年，該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費都比上一年增加50萬元．所以，可以建立一個等差數(shù)列｛ａn｝，表示從xx年起各年投入的資金，其中，ａ1＝500，ｄ＝50． 那么，到xx年（ｎ＝10），投入的資金總額為 答：從xx～xx年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元． 注：教師引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范應(yīng)用題的解題步驟． 4. 已知數(shù)列｛ａn｝的前ｎ項和Sn＝ｎ2＋ｎ，求這個數(shù)列的通項公式．這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？ 解：根據(jù) 由此可知，數(shù)列｛ａn｝是一個首項為，公差為2的等差數(shù)列． 思考：一般地，數(shù)列｛ａn｝前ｎ項和Sn＝Aｎ2＋Bｎ（A≠０），這時｛ａn｝是等差數(shù)列嗎？為什么？ ［練　習(xí)］ 1. 一名技術(shù)人員計劃用下面的辦法測試一種賽車：從時速10ｋｍ／ｈ開始，每隔2ｓ速度提高20ｋｍ／ｈ．如果測試時間是30ｓ，測試距離是多長？ 2. 已知數(shù)列｛ａn｝的前ｎ項的和為Sn＝ｎ2＋ｎ＋4，求這個數(shù)列的通項公式． 3. 求集合M＝｛ｍ｜ｍ＝2ｎ—1，ｎ∈N*，且ｍ＜60｝的元素個數(shù)，并求這些元素的和． 四、拓展延伸 1. 數(shù)列｛ａn｝前ｎ項和Sn為Sn＝pn2＋qn＋ｒ（ｐ，ｑ，ｒ為常數(shù)且ｐ≠０），則｛ａn｝成等差數(shù)列的條件是什么？ 2. 已知等差數(shù)列5，4，3，…的前ｎ項和為Sn，求使Sn最大的序號ｎ的值． 分析1：等差數(shù)列的前ｎ項和公式可以寫成Sn＝ｎ2＋ （ａ1－）ｎ，所以Sn可以看成函數(shù)ｙ＝x2＋（ａ1－ ）ｘ（ｘ∈N*）．當(dāng)ｘ＝ｎ時的函數(shù)值．另一方面，容易知道Sn關(guān)于ｎ的圖像是一條拋物線上的一些點．因此，我們可以利用二次函數(shù)來求ｎ的值． 解：由題意知，等差數(shù)列5，4，3，…的公差為－，所以 于是，當(dāng)ｎ取與最接近的整數(shù)即7或8時，Sn取最大值． 分析2：因為公差ｄ＝ －＜０，所以此數(shù)列為遞減數(shù)列，如果知道從哪一項開始它后邊的項全為負(fù)的，而它之前的項是正的或者是零，那么就知道前多少項的和最大了．即使然后從中求出ｎ． 點　評 這篇案例從具體的實例出發(fā)，引出等差數(shù)列的求和問題，在設(shè)計上，設(shè)計者注意激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望，通過等差數(shù)列求和公式的探索過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問題的能力． 對例題、練習(xí)的安排，這篇案例注意由淺入深，完整，全面．拓展延伸的設(shè)計有新意，有深度，符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，有利于學(xué)生理解、掌握這節(jié)內(nèi)容． 就總體而言，這篇案例體現(xiàn)了新課程的基本理念，尤其關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新能力．另外，這篇案例對于繼承傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計注重“雙基”、關(guān)注學(xué)生的落實，同時注意著眼于學(xué)生的全面發(fā)展，有比較好的體現(xiàn)。