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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 直線與圓錐曲線 板塊三 直線與拋物線完整講義（學(xué)生版） 1．橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡（或集合）叫做橢圓． 這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距． 2．橢圓的標準方程： ①，焦點是，，且． ②，焦點是，，且． 3．橢圓的幾何性質(zhì)（用標準方程研究）： ⑴范圍：，； ⑵對稱性：以軸、軸為對稱軸，以坐標原點為對稱中心，橢圓的對稱中心又叫做橢圓的中心； ⑶橢圓的頂點：橢圓與它的對稱軸的四個交點，如圖中的； ⑷長軸與短軸：焦點所在的對稱軸上，兩個頂點間的線段稱為橢圓的長軸，如圖中線段的；另一對頂點間的線段叫做橢圓的短軸，如圖中的線段． ⑸橢圓的離心率：，焦距與長軸長之比，，越趨近于，橢圓越扁； 反之，越趨近于，橢圓越趨近于圓． 4．直線：與圓錐曲線：的位置關(guān)系： 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離．對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不相切．這三種位置關(guān)系的判定條件可歸納為： 設(shè)直線：，圓錐曲線：，由 消去（或消去）得：． 若，，相交；相離；相切． 若，得到一個一次方程：①為雙曲線，則與雙曲線的漸近線平行；②為拋物線，則與拋物線的對稱軸平行． 因此直線與拋物線、雙曲線有一個公共點是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件． 5．連結(jié)圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦． 求弦長的一種求法是將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標，然后運用兩點間的距離公式來求； 另外一種求法是如果直線的斜率為，被圓錐曲線截得弦兩端點坐標分別為，則弦長公式為． 兩根差公式： 如果滿足一元二次方程：， 則（）． 6．直線與圓錐曲線問題的常用解題思路有： ①從方程的觀點出發(fā)，利用根與系數(shù)的關(guān)系來進行討論，這是用代數(shù)方法來解決幾何問題的基礎(chǔ)．要重視通過設(shè)而不求與弦長公式簡化計算，并同時注意在適當時利用圖形的平面幾何性質(zhì)． ②以向量為工具，利用向量的坐標運算解決與中點、弦長、角度相關(guān)的問題． 典例分析 【例1】 已知拋物線的方程為，過點和點的直線與拋物線沒有公共點，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【例2】 點在直線上，若存在過的直線交拋物線于，兩點，且，則稱點為“點”，那么下列結(jié)論中正確的是（ ） A．直線上的所有點都是“點” B．直線上僅有有限個點是“點” C．直線上的所有點都不是“點” D．直線上有無窮多個點（但不是所有的點）是“點” 【例3】 如圖拋物線：和圓：，其中，直線經(jīng)過的焦點，依次交，于四點，則的值為 （ ） A． B． C． D． 【例4】 斜率為的直線與圓錐曲線交于兩點，若弦長，則 _ 【例5】 拋物線與直線有兩個不同的交點，則實數(shù)的范圍是_____________． 【例6】 若直線與拋物線交于、兩點，若線段的中點的橫坐標是，則______． 【例7】 已知拋物線的一條弦，，，所在的直線與軸交于點，則 ． 【例8】 過點作直線與拋物線只有一個公共點，這樣的直線有_______條 【例9】 對于拋物線：，我們稱滿足的點在拋物線的內(nèi)部，若點在拋物線的內(nèi)部，則直線：與拋物線的位置關(guān)系是_______ 【例10】 設(shè)拋物線的準線與軸交于點，若過點的直線與拋物線有公共點，則直線的斜率的取值范圍是_______． 【例11】 若曲線與直線沒有公共點，則、分別應(yīng)滿足的條件是 ． 【例12】 過拋物線的焦點作傾斜角為的直線交拋物線于兩點，若線段的長為，則_______． 【例13】 已知拋物線（為常數(shù)，）上不同兩點、的橫坐標恰好是關(guān)于的方程（為常數(shù)）的兩個根，則直線的方程為_________________． 【例14】 拋物線截直線所得弦長的中點坐標為_______，弦長為______． 【例15】 已知拋物線，過定點作一弦，則_______． 【例16】 已知拋物線過點， ⑴求拋物線的焦點坐標與準線方程； ⑵直線：與拋物線交于兩點，求線段的中點坐標及的值． 【例17】 ⑴設(shè)拋物線被直線截得的弦長為，求值． ⑵以⑴中的弦為底邊，以軸上的點為頂點作三角形，當三角形的面積為時，求點坐標． 【例18】 已知點到定點（）與它到定直線的距離相等， ⑴求動點的軌跡方程； ⑵設(shè)過點的直線與的軌跡交于、兩點，設(shè)，當直線與的斜率都存在時，求證直線、的斜率之和為． 【例19】 在平面直角坐標系中，過拋物線的焦點作直線與拋物線相交于兩點．若點是點關(guān)于坐標原點的對稱點，求面積的最小值． 【例20】 過拋物線的對稱軸上的定點作直線與拋物線相交于、兩點，若點為定直線：上的任意一點，試證明：三條直線、、的斜率成等差數(shù)列． 【例21】 已知拋物線．過動點且斜率為的直線與該拋物線交于不同的兩點、．若，求的取值范圍． 【例22】 已知曲線為頂點在原點，以軸為對稱軸，開口向右的拋物線，又點到拋物線的準線的距離為， ⑴求拋物線的方程； ⑵證明：過點的任意一條直線與拋物線恒有公共點； ⑶若⑵中的直線分別與拋物線交于上下兩點，，，，，，，，又點，，，的縱坐標依次成公差不為的等差數(shù)列，試分析與的大小關(guān)系． 【例23】 已知拋物線和圓，過點作直線交拋物線于、，交圓于（自下而上依次為），且，求實數(shù)的取值范圍． 【例24】 已知一條曲線在軸右邊，上每一點到點的距離減去它到軸距離的差是1． ⑴求曲線的方程； ⑵是否存在正數(shù)，對于過點且與曲線有兩個交點，的任一直線，都有?若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由． 【例25】 已知，點在軸上，點在軸的正半軸上，點在直線上，且滿足， ⑴當點在軸上移動時，求點的軌跡； ⑵過點作直線與軌跡交于、兩點，若在軸上存在一點，使得是等邊三角形，求的值． 【例26】 已知分別是橢圓的左、右焦點，曲線是以坐標原點為頂點，以為焦點的拋物線，自點引直線交曲線于、兩個不同的交點，點關(guān)于軸的對稱點記為．設(shè)． ⑴求曲線的方程； ⑵證明：； ⑶若，求的取值范圍． 【例27】 已知拋物線，點關(guān)于軸的對稱點為，直線過點交拋物線于兩點． ⑴證明：直線的斜率互為相反數(shù)； ⑵求面積的最小值； ⑶當點的坐標為，且．根據(jù)⑴⑵推測并回答下列問題（不必說明理由）： ①直線的斜率是否互為相反數(shù)？ ②面積的最小值是多少？ 【例28】 過拋物線的對稱軸上一點的直線與拋物線相交于、兩點，自、向直線作垂線，垂足分別為、． ⑴當時，求證：⊥； ⑵記、、的面積分別為、、，是否存在，使得對任意的，都有成立．若存在，求出的值；若不存在，說明理由． 【例29】 已知曲線是到點和到直線距離相等的點的軌跡．是過點的直線，是上（不在上）的動點；、在上，，軸（如圖）． ⑴求曲線的方程； ⑵求出直線的方程，使得為常數(shù)． 【例30】 已知拋物線：，點在軸的正半軸上，過的直線與相交、兩點，為坐標原點． ⑴若，的斜率為1，求以為直徑的圓的方程； ⑵若存在直線使得，，成等比數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍． 【例31】 已知拋物線的焦點為，過點的直線與相交于、兩點，點關(guān)于軸的對稱點為． ⑴證明：點在直線上； ⑵設(shè)，求的內(nèi)切圓的方程 ． 【例32】 已知拋物線及定點，是拋物線上的點，設(shè)直線與拋物線的另一交點分別為． 求證：當點在拋物線上變動時（只要存在且與是不同兩點），直線恒過一定點，并求出定點的坐標 【例33】 在平面直角坐標系中，直線與拋物線相交于不同的兩點． ⑴如果直線過拋物線的焦點，求的值； ⑵如果證明直線必過一定點，并求出該定點． 【例34】 在平面直角坐標系中，設(shè)點，直線，點在直線上移動，是線段與軸的交點， ，． ⑴求動點的軌跡的方程； ⑵記的軌跡的方程為，過點作兩條互相垂直的曲線的弦、，設(shè)、的中點分別為，． 求證：直線必過定點． 【例35】 已知：為坐標原點，點、、、滿足，，，，． ⑴當變化時，求點的軌跡方程； ⑵若是軌跡上不同與的另一點，且存在非零實數(shù)，使得， 求證：．