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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理單元綜合測試 北師大版選修2-3 一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．如圖，從上往下讀(不能跳讀)構(gòu)成句子“構(gòu)建和諧社會(huì)，創(chuàng)美好未來”的不同讀法種數(shù)是(　　) 建　建 和　和　和 諧　諧　諧　諧 社　社　社　社　社 會(huì)　會(huì)　會(huì)　會(huì)　會(huì)　會(huì) 創(chuàng)　創(chuàng)　創(chuàng)　創(chuàng)　創(chuàng) 美　美　美　美 好　好　好 未　未 來 A．250　 B．240　 C．252　 D．300 [答案]　C [解析]　要組成題設(shè)中的句子，則每行讀一字，不能跳讀．每一種讀法須10步完成(從上一個(gè)字到下一個(gè)字為一步)，其中5步是從左上角到右下角方向讀的，故共有不同讀法C＝252種． 2．某單位擬安排6位員工在今年6月14日至16日(端午節(jié)假期)值班，每天安排2人，每人值班1天，若6位員工中的甲不值14日，乙不值16日，則不同的安排方法共有(　　) A．30種 B．36種 C．42種 D．48種 [答案]　C [解析]　本題考查排列組合的基本知識(shí)，涉及分類，分步計(jì)算原理、特殊元素、特殊位置． 甲在16日，有CC＝24種；甲在15日，乙在15日有C＝6種． 甲在15日，乙在14日時(shí)有CC＝12種，所以總共24＋6＋12＝42， 故選C. 3．(1＋x)7的展開式中x2的系數(shù)是(　　) A．42 B．35 C．28 D．21 [答案]　D [解析]　展開式中第r＋1項(xiàng)為Tr＋1＝Cxr，T3＝Cx2，∴x2的系數(shù)為C＝21，此題誤認(rèn)為Tr＋1為第r項(xiàng)，導(dǎo)致失分． 4．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法種數(shù)有(　　) A．60種 B．48種 C．36種 D．24種 [答案]　D [解析]　把A，B視為一人，且B固定在A的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，A＝24種． 5．設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若13a＝7b，則m＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 [答案]　B [解析]　a＝c＝， b＝c＝， 又∵13a＝7b，∴13(m＋1)＝7(2m＋1)， ∴m＝6. 6.如圖，一圓形花圃內(nèi)有5塊區(qū)域，現(xiàn)有4種不同顏色的花．從4種花中選出若干種植入花圃中，要求相鄰兩區(qū)域不同色，種法有(　　) A．324種 B．216種 C．244種 D．240種 [答案]　D [解析]　若1、4同色，共有C332＝72(種)．若1、4不同色(里面分2與4同色不同色)，共有A2(13＋22)＝168(種)．所以一共有168＋72＝240(種)． 7．一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家， 若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為(　　) A．33! B．3(3！)3 C．(3！)4 D．9! [答案]　C [解析]　本題考查捆綁法排列問題． 由于一家人坐在一起，可以將一家三口人看作一個(gè)整體，一家人坐法3！， 三個(gè)家庭即(3！)3，三個(gè)家庭又可全排列，因此(3！)4 注意排列中在一起可用捆綁法，即相鄰問題． 8．(x－y)4的展示式中x3y3的系數(shù)為(　　) A．4 B．5 C．6 D．8 [答案]　C [解析]　本題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，以及二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)． (x－y)4的展開式中的第(r＋1)項(xiàng) Tr＋1＝C(－1)r(x)4－r(y)r ＝C(－1)rx4－y2＋ 令4－＝3得r＝2 ∴展開式中x3y3的系數(shù)為C(－1)2＝6. 9．已知碳元素有3種同位素12C、13C、14C，氧元素也有3種同位素16O、17O、18O，則不同的原子構(gòu)成的CO2分子有(　　) A．9種 B．27種 C．54種 D．81種 [答案]　B [解析]　先選碳原子，再選第一個(gè)氧原子，最后選第二個(gè)氧原子．根據(jù)乘法原理所以N＝CCC＝27種． 10.(xx福建理，10)用a代表紅球，b代表藍(lán)球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球中取出若干個(gè)球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展開式1＋a＋b＋ab表示出來，如：“1”表示一個(gè)球都不取、“a”表示取出一個(gè)紅球，而“ab”則表示把紅球和藍(lán)球都取出來．依此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個(gè)無區(qū)別的紅球、5個(gè)有區(qū)別的藍(lán)球、5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球，且所有的藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是(　　) A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5 B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5 C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5) D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5) [答案]　A [解析]　從5個(gè)無區(qū)別的紅球中取出若干個(gè)球的所有情況為1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5，從5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球的所有情況為(1＋c)(1＋c)(1＋c)(1＋c)(1＋c)，而所有藍(lán)球都取出或都不取出有1＋b5種情況，故選A. 二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分) 11．若(x＋)8的展開式中x4的系數(shù)為7，則實(shí)數(shù)a＝________. [答案]　 [解析]　由Tr＋1＝Cxr()8－r＝Cxa8－r. 令＝4，∴r＝5，則x4的系數(shù)為Ca3＝7. 解之得a＝. 12．若(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________(用數(shù)字作答)． [答案]　31 [解析]　已知(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0， 令x＝1，得(1－2)5＝a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝－1， 令x＝0，得(0－2)5＝a0＝－32， 所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝31. 13．一直線和圓相離，這條直線上有6個(gè)點(diǎn)，圓周上有4個(gè)點(diǎn)，通過任意兩點(diǎn)作直線，最少可作直線的條數(shù)是________． [答案]　19 [解析]　為了作的直線條數(shù)最少，應(yīng)出現(xiàn)3點(diǎn)或更多點(diǎn)共線的情況，由于直線與圓相離，應(yīng)讓圓上任意兩點(diǎn)都與直線上的一點(diǎn)共線．圓周上有4點(diǎn)能連成C＝6條直線，而直線上恰有6個(gè)點(diǎn)，故這10個(gè)點(diǎn)中最多有6個(gè)三點(diǎn)共線和1個(gè)六點(diǎn)共線的情況，因此最少可作直線C－6C－C＋6＋1＝19(條)． 14．某藥品研究所研制了5種消炎藥a1、a2、a3、a4、a5,4種退燒藥b1、b2、b3、b4，現(xiàn)從中取出兩種消炎藥和一種退燒藥同時(shí)使用進(jìn)行療效實(shí)驗(yàn)，但又知a1、a2兩種藥必須同時(shí)使用，且a3、b4兩種藥不能同時(shí)使用，則不同的實(shí)驗(yàn)方案有________種． [答案]　14 [解析]　當(dāng)a1，a2兩種藥同時(shí)使用時(shí)，只要選一種退燒藥即可，有4種實(shí)驗(yàn)方案；當(dāng)取消炎藥a3時(shí)，另一消炎藥的選取有2種可能，退燒藥的選取有3種可能，有23＝6種實(shí)驗(yàn)方案；當(dāng)取消炎藥a4、a5時(shí)，只要選一種退燒藥即可，有4種實(shí)驗(yàn)方案；相加即可． 15．電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有________種不同的播放方式(結(jié)果用數(shù)值表示)． [答案]　48 [解析]　本題可以分兩步完成：首尾必須播放公益廣告的有2種；中間4個(gè)為不同的商業(yè)廣告有A＝24種，從而有224＝48種不同的播放方式． 三、解答題(本大題共6小題，共75分，前4題每題12分，20題13分，21題14分) 16．(1)化簡n(n＋1)…(n＋m)； (2)求證：A＋5A＝A； (3)求n，使A＝10A. [解析]　(1)由排列數(shù)公式的階乘形式可得n(n＋1)…(n＋m)＝＝A. (2)證明：A＋5A＝76543＋57654＝(3＋5)7654＝87654＝A，故等式得證． (3)由A＝10A得2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)，即4n(2n－1)(n－1)＝10n(n－1)(n－2)，4(2n－1)＝10(n－2)(n≥3，n是正整數(shù))，解得n＝8. 17．把4個(gè)男同志和4個(gè)女同志均分成4組，到4輛公共汽車?yán)飬⒓邮燮眲趧?dòng)，如果同樣兩人在不同汽車上服務(wù)算作不同情況． (1)有幾種不同的分配方法？ (2)每個(gè)小組必須是一個(gè)男同志和一個(gè)女同志有幾種不同的分配方法？ (3)男同志與女同志分別分組，有幾種不同分配方法？ [解析]　(1)男女合在一起共有8人，每輛車上2人，可以分四個(gè)步驟完成，先安排2人上第一輛車，共有C種，再上第二車共有C種，再上第三車共有C種，最后上第四車共有C種，這樣不同分配方法，按分步計(jì)數(shù)原理有 CCCC＝2520(種)． (2)要求男女各1人，因此先把男同志安排上車，共有A種不同方法，同理，女同志也有A種方法，由分步計(jì)數(shù)原理，男女各1人上車的不同分配方法為AA＝576(種)． (3)男女分別分組，4個(gè)男的平分成兩組共有＝3(種)，4個(gè)女的分成兩組也有＝3(種)不同分法，這樣分組方法就有33＝9(種)，對于其中每一種分法上4部車，又有A種上法，因而不同分配方法為9A＝216(種)． 18．把7個(gè)大小完全相同的小球，放置在三個(gè)盒子中，允許有的盒子一個(gè)也不放． (1)如果三個(gè)盒子完全相同，有多少種放置方法？ (2)如果三個(gè)盒子各不相同，有多少種放置方法？ [解析]　(1)∵小球的大小完全相同，三個(gè)盒子也完全相同，∴把7個(gè)小球分成三份，比如分成3個(gè)、2個(gè)、2個(gè)這樣三份放入三個(gè)盒子中，不論哪一份小球放入哪一個(gè)盒子均是同一種放法，因此，只需將7個(gè)小球分成如下三份即可，即(7,0,0)、(6,1,0)、(5,2,0)、(5,1,1)、(4,3,0)、(4,2,1)、(3,3,1)、(3,2,2)． 共計(jì)有8種不同的放置方法． (2)設(shè)三個(gè)盒子中小球的個(gè)數(shù)分別為x1、x2、x3，顯然有：x1＋x2＋x3＝7，于是，問題就轉(zhuǎn)化為求這個(gè)不定方程的非負(fù)整數(shù)解，若令yi＝xi＋1(i＝1,2,3)由y1＋y2＋y3＝10，問題又成為求不定方程y1＋y2＋y3＝10的正整數(shù)解的組數(shù)的問題，在10個(gè)1中間9個(gè)空檔中，任取兩個(gè)空檔作記號(hào)，即可將10分成三組，∴不定方程的解有C＝36組．∴有36種放置方法． 19.在產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)時(shí)，常從產(chǎn)品中抽出一部分進(jìn)行檢查，現(xiàn)有100件產(chǎn)品，其中有98件正品，2件次品，從中任意抽出3件檢查， (1)共有多少種不同的抽法？ (2)恰好有一件是次品的抽法有多少種？ (3)至少有一件是次品的抽法有多少種？ [解析]　(1)所求的不同抽法數(shù)，即從100個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的組合數(shù)，共有C＝＝161700(種)． (2)抽出的3件中恰好有一件是次品的這件事，可以分兩步完成． 第一步：從2件次品中任取1件，有C種方法； 第二步：從98件正品中任取2件，有C種方法． 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的抽取方法共有CC＝24753＝9506(種)． (3)方法一：抽出的3件中至少有一件是次品的這件事，分為兩類： 第一類：抽出的3件中有1件是次品的抽法，有CC種； 第二類：抽出的3件中有2件是次品的抽法，有CC種． 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的抽法共有CC＋CC＝9506＋98＝9604(種)． 方法二：從100件產(chǎn)品中任取3件的抽法有C種，其中抽出的3件中至少有一件是次品的抽法共有C－C＝161700－152096＝9 604(種)． [反思總結(jié)]　本題考查了計(jì)數(shù)原理和組合知識(shí)的應(yīng)用． 20.求(x2＋3x＋2)5的展開式中x項(xiàng)的系數(shù)． [解析]　方法一：因?yàn)?x2＋3x＋2)5＝(x＋2)5(x＋1)5＝(Cx5＋Cx42＋…＋C25)(Cx5＋Cx4＋…＋C)展開后x項(xiàng)為Cx24C＋C25Cx＝240x. 所以(x2＋3x＋2)5展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為240. 方法二：因?yàn)?x2＋3x＋2)5＝[x2＋(3x＋2)]5， 設(shè)Tr＋1＝C(x2)5－r(3x＋2)r， 在(3x＋2)r中，設(shè)Tk＋1＝C(3x)r－k2k， Tr＋1＝C(x2)5－rC(3x)r－k2k＝CC3r－k2kx10－r－k， 依題意可知10－r－k＝1，即r＋k＝9. 又0≤k≤r≤5，r，k∈N＋，所以r＝5，k＝4. 則Tr＋1＝CC324x＝240x. 所以(x2＋3x＋2)5展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為240. 方法三：把(x2＋3x＋2)5看成5個(gè)x2＋3x＋2相乘，每個(gè)因式各取一項(xiàng)相乘得到展開式中的一項(xiàng)，x項(xiàng)可由1個(gè)因式取3x,4個(gè)因式取2相乘得到，即C3xC24＝240x. 所以(x2＋3x＋2)5展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為240. [反思總結(jié)]　本題考查利用轉(zhuǎn)化的思想求三項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)．三項(xiàng)式求特定項(xiàng)的思路有： (1)分解因式法：通過因式分解將三項(xiàng)式變成兩個(gè)二項(xiàng)式，然后再用二項(xiàng)式定理分別展開． (2)逐層展開法：將三項(xiàng)式分成兩組，用二項(xiàng)式定理展開，再把其中含兩項(xiàng)的一組展開． (3)利用組合知識(shí)：把三項(xiàng)式看成幾個(gè)因式的積，利用組合知識(shí)分析項(xiàng)的構(gòu)成，注意最后應(yīng)把各個(gè)同類項(xiàng)相合并． 21.已知n(n∈N*)的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和等于5的展開式中的常數(shù)項(xiàng)，求n的展開式中a－1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)． [解析]　對于5：Tr＋1＝C(4)5－rr＝C(－1)r45－r5－b.若Tr＋1為常數(shù)項(xiàng)，則10－5r＝0，所以r＝2，此時(shí)得常數(shù)項(xiàng)為T3＝C(－1)2435－1＝27.令a＝1，得n展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為2n.由題意知2n＝27，所以n＝7.對于7：Tr＋1＝C7－r(－)r＝C(－1)r37－ra.若Tr＋1為a－1項(xiàng)，則＝－1，所以r＝3.所以n的展開式中a－1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C＝35.