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2019-2020年高中數(shù)學 第一章《解三角形應用舉例》教案3 新人教A版必修5 ●教學目標 知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)計算角度的實際問題 過程與方法：本節(jié)課是在學習了相關(guān)內(nèi)容后的第三節(jié)課，學生已經(jīng)對解法有了基本的了解，這節(jié)課應通過綜合訓練強化學生的相應能力。除了安排課本上的例1，還針對性地選擇了既具典型性有具啟發(fā)性的2道例題，強調(diào)知識的傳授更重能力的滲透。課堂中要充分體現(xiàn)學生的主體地位，重過程，重討論，教師通過導疑、導思讓學生有效、積極、主動地參與到探究問題的過程中來，逐步讓學生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三。 情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，并在教學過程中激發(fā)學生的探索精神。 ●教學重點 能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點找到已知條件和所求角的關(guān)系 ●教學難點 靈活運用正弦定理和余弦定理解關(guān)于角度的問題 ●教學過程 Ⅰ.課題導入 [創(chuàng)設(shè)情境] 提問：前面我們學習了如何測量距離和高度，這些實際上都可轉(zhuǎn)化已知三角形的一些邊和角求其余邊的問題。然而在實際的航海生活中,人們又會遇到新的問題，在浩瀚無垠的海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測量問題。 Ⅱ.講授新課 [范例講解] 例1、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5 n mile后到達海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32的方向航行54.0 n mile后達到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達C,此船應該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1,距離精確到0.01n mile) 學生看圖思考并講述解題思路 教師根據(jù)學生的回答歸納分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對的角ABC，即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角CAB。 解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根據(jù)余弦定理， AC= = ≈113.15 根據(jù)正弦定理, = sinCAB = = ≈0.3255, 所以 CAB =19.0, 75- CAB =56.0 答:此船應該沿北偏東56.1的方向航行,需要航行113.15n mile 例2、在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進30m，至點C處測得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進10m至D點，測得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高。 師：請大家根據(jù)題意畫出方位圖。 生：上臺板演方位圖（上圖） 教師先引導和鼓勵學生積極思考解題方法，讓學生動手練習，請三位同學用三種不同方法板演，然后教師補充講評。 解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4， = 。 因為 sin4=2sin2cos2 cos2=,得 2=30 =15， 在RtADE中，AE=ADsin60=15 答：所求角為15，建筑物高度為15m 解法二：（設(shè)方程來求解）設(shè)DE= x，AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 兩式相減，得x=5,h=15 在 RtACE中,tan2== 2=30,=15 答：所求角為15，建筑物高度為15m 解法三：（用倍角公式求解）設(shè)建筑物高為AE=8，由題意，得 BAC=， CAD=2， AC = BC =30m , AD = CD =10m 在RtACE中，sin2= --------- ① 在RtADE中，sin4=, --------- ② ②① 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15 答：所求角為15，建筑物高度為15m 例3、某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？ 師：你能根據(jù)題意畫出方位圖？教師啟發(fā)學生做圖建立數(shù)學模型 分析：這道題的關(guān)鍵是計算出三角形的各邊，即需要引入時間這個參變量。 解：如圖，設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過x小時后在B處追上走私船，則CB=10x, AB=14x,AC=9, ACB=+= (14x) = 9+ (10x) -2910xcos 化簡得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去) 所以BC = 10x =15,AB =14x =21, 又因為sinBAC === BAC =38,或BAC =141（鈍角不合題意，舍去）， 38+=83 答：巡邏艇應該沿北偏東83方向去追，經(jīng)過1.4小時才追趕上該走私船. 評注：在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個解，但作為有關(guān)現(xiàn)實生活的應用題，必須檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解 Ⅲ.課堂練習 課本第18頁練習 Ⅳ.課時小結(jié) 解三角形的應用題時，通常會遇到兩種情況：（1）已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解。 Ⅴ.課后作業(yè) 1、課本第23頁練習第9、10、11題 2、我艦在敵島A南偏西相距12海里的B處,發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西的方向以10海里/小時的速度航行.問我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時追上敵艦？（角度用反三角函數(shù)表示） ●板書設(shè)計 ●授后記