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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第十三課 三角函數(shù)的性質(zhì)教案 蘇教版必修4 教學(xué)目標(biāo)： 理解正、余弦函數(shù)的定義域、值域、最值、周期性、奇偶性的意義，會求簡單函數(shù)的定義域、值域、最小正周期和單調(diào)區(qū)間；滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)辯證唯物主義觀點(diǎn). 教學(xué)重點(diǎn)： 正、余弦函數(shù)的性質(zhì) 教學(xué)難點(diǎn)： 正、余弦函數(shù)性質(zhì)的理解與應(yīng)用 教學(xué)過程： Ⅰ.課題導(dǎo)入 上節(jié)課，我們研究了正、余弦函數(shù)的圖象，今天，我們借助它們的圖象來研究它們有哪些性質(zhì). (1)定義域： 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集R［或(－∞，＋∞)］，分別記作： y＝sinx，x∈R y＝cosx，x∈R (2)值域 因?yàn)檎揖€、余弦線的長度小于或等于單位圓的半徑的長度，所以｜sinx｜≤1，｜c(diǎn)osx｜≤1，即 －1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1 也就是說，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是［－1，1］. 其中正弦函數(shù)y=sinx，x∈R ①當(dāng)且僅當(dāng)x＝＋2kπ，k∈Z時(shí)，取得最大值1. ②當(dāng)且僅當(dāng)x＝－＋2kπ，k∈Z時(shí)，取得最小值－1. 而余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R ①當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ，k∈Z時(shí)，取得最大值1. ②當(dāng)且僅當(dāng)x＝(2k＋1)π，k∈Z時(shí)，取得最小值－1. (3)周期性 由 (k∈Z) 知：正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值是按照一定規(guī)律不斷重復(fù)地取得的. 一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期. 由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2kπ(k∈Z且k≠0)都是這兩個(gè)函數(shù)的周期. 對于一個(gè)周期函數(shù)f(x)，如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期. 根據(jù)上述定義，可知： 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù),2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. (4)奇偶性 正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù). (5)單調(diào)性 從y＝sinx，x∈［－，］的圖象上可看出： 當(dāng)x∈［－，］時(shí)，曲線逐漸上升，sinx的值由－1增大到1. 當(dāng)x∈［，］時(shí)，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到－1. 結(jié)合上述周期性可知： 正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到 －1. 余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增加到1；在每一個(gè)閉區(qū)間［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1. ［例1］求使下列函數(shù)取得最大值的自變量x的集合，并說出最大值是什么. (1)y＝cosx＋1，x∈R； (2)y＝sin2x，x∈R. 解：(1)使函數(shù)y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函數(shù)y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝. 函數(shù)y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2. (2)令Z＝2x，那么x∈R必須并且只需Z∈R，且使函數(shù)y＝sinZ，Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝＋2kπ，k∈Z｝ 由2x＝Z＝＋2kπ，得x＝＋kπ 即：使函數(shù)y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝. 函數(shù)y＝sin2x，x∈R的最大值是1. ［例2］求下列函數(shù)的定義域： (1)y＝1＋ (2)y＝ 解：(1)由1＋sinx≠0，得sinx≠－1 即x≠＋2kπ(k∈Z) ∴原函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸｜x≠＋2kπ，k∈Z｝ (2)由cosx≥0 得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z) ∴原函數(shù)的定義域?yàn)椋郏?kπ，＋2kπ］(k∈Z) ［例3］求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間： ①y＝cos(2x＋)；②y＝3sin(－) 解：①設(shè)u＝2x＋，則y＝cosu 當(dāng)2kπ－π≤u≤2kπ時(shí)y＝cosu隨u的增大而增大 又∵u＝2x＋隨x∈R增大而增大 ∴y＝cos(2x＋)當(dāng)2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z) 即kπ－≤x≤kπ－時(shí)，y隨x增大而增大 ∴y＝cos(2x＋)的單調(diào)遞增區(qū)間為： ［kπ－π，kπ－］(k∈Z) ②設(shè)u＝－，則y＝3sinu 當(dāng)2kπ＋≤u≤2kπ＋時(shí)，y＝3sinu隨x增大在減小， 又∵u＝－隨x∈R增大在減小 ∴y＝3sin(－)當(dāng)2kπ＋≤－≤2kπ＋ 即－4kπ－≤x≤－4kπ－時(shí)，y隨x增大而增大 ∴y＝3sin(－)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ［4kπ－，4kπ－］(k∈Z) Ⅲ.課堂練習(xí) 課本P33 1～7 Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要初步掌握正、余弦函數(shù)的性質(zhì)以及性質(zhì)的簡單應(yīng)用，解決一些相關(guān)問題. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P46 習(xí)題 2、3、4 課后練習(xí)： 1．給出下列命題： ①y＝sinx在第一象限是增函數(shù)； ②α是銳角，則y＝sin(α＋)的值域是［－1，1］； ③y＝sin｜x｜的周期是2π； ④y＝sin2x－cos2x的最小值是－1； 其中正確的命題的序號是_____. 分析:①y＝sinx是周期函數(shù)，自變量x的取值可周期性出現(xiàn)，如反例： 令x1＝，x2＝＋2π，此時(shí)x1＜x2 而sin＞sin(＋2π) ∴①錯(cuò)誤； ②當(dāng)α為銳角時(shí)，＜α＋＜＋ 由圖象可知＜sin(α＋)≤1 ∴②錯(cuò)誤； ③∵y＝sin｜x｜(x∈R)是偶函數(shù). 其圖象是關(guān)于y軸對稱，可看出它不是周期函數(shù). ∴③錯(cuò)誤； ④y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，最小值為－1 ∴④正確. 答案：④ 評述：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部選擇，是針對區(qū)間而言的；我們不能說某函數(shù)在某象限內(nèi)是增函數(shù)還是減函數(shù)，而只能說某函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù). 2．求下列函數(shù)的定義域和值域： (1)y＝lg(sinx－) (2)y＝2 分析：根據(jù)函數(shù)有意義列不等式，求x的范圍即為定義域.求值域時(shí)要注意正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的值域. 解：(1)要使lg(sinx－)有意義，必須且只須sinx＞， 解之得：2kπ＋＜x＜2kπ＋，k∈Z 又∵0＜sinx－≤1－ ∴l(xiāng)g(sinx－)≤lg(1－) ∴定義域?yàn)?2kπ＋，2kπ＋)，(k∈Z) 值域?yàn)?－∞，lg(1－)］. (2)要使2有意義，必須且只須2cos3x－1≥0，即cos3x≥， 解之得2kπ－≤3x≤2kπ＋ 即 －≤x≤＋，k∈Z. 又0≤2cos3x－1≤1 故0≤2≤2 ∴定義域?yàn)椋郏?，＋］，k∈Z 值域?yàn)椋?，2］ 評述：求由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)組成復(fù)合函數(shù)的定義域、值域問題，要充分考慮基本的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性和值域. 4.比較下列各組數(shù)的大?。? (1)sin195與cos170; (2)cos，sin，－cos (3)sin(sin)，sin(). 分析：化為同名函數(shù)，進(jìn)而利用單調(diào)性來比較函數(shù)值的大小. 解：(1)sin195＝sin(180＋15)＝－sin15 cos170＝cos(180－10)＝－cos10＝－sin80 ∵0＜15＜80＜90 又∵y＝sinx在［0，90］上是遞增函數(shù)， ∴sin15＜sin80 ∴－sin15＞－sin80 ∴sin195＞cos170. (2)∵sin＝cos(－) －cos＝cos(π－) 又∵－＝1.47＜1.5＝ π－＝1.39＜1.4＜－＜ 而y＝cosx在［0，π］上是減函數(shù)， 由π－＜－＜＜π 得cos＜cos(－)＜cos(π－) 即cos＜sin＜－cos. (3)∵cos＝sin ∴0＜cos＜sin＜1 而y＝sinx在［0，1］內(nèi)遞增 ∴sin(cos)＜sin(sin).