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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《任意角的三角函數(shù)》教案7 新人教A版必修4 一、教學(xué)目標(biāo)： 1、知識(shí)與技能 （1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)）；（2）理解任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；（3）了解如何利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來；（4）掌握并能初步運(yùn)用公式一；（5）樹立映射觀點(diǎn)，正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù). 2、過程與方法 初中學(xué)過:銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù).引導(dǎo)學(xué)生把這個(gè)定義推廣到任意角,通過單位圓和角的終邊,探討任意角的三角函數(shù)值的求法,最終得到任意角三角函數(shù)的定義.根據(jù)角終邊所在位置不同,分別探討各三角函數(shù)的定義域以及這三種函數(shù)的值在各象限的符號(hào).最后主要是借助有向線段進(jìn)一步認(rèn)識(shí)三角函數(shù).講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí). 3、情態(tài)與價(jià)值 任意角的三角函數(shù)可以有不同的定義方法，而且各種定義都有自己的特點(diǎn).過去習(xí)慣于用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)的“比值”來定義，這種定義方法能夠表現(xiàn)出從銳角三角函數(shù)到任意角的三角函數(shù)的推廣，有利于引導(dǎo)學(xué)生從自己已有認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，但它對(duì)準(zhǔn)確把握三角函數(shù)的本質(zhì)有一定的不利影響，“從角的集合到比值的集合”的對(duì)應(yīng)關(guān)系與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)概念中的“數(shù)集到數(shù)集”的對(duì)應(yīng)關(guān)系有沖突，而且“比值”需要通過運(yùn)算才能得到，這與函數(shù)值是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)也有不同，這些都會(huì)影響學(xué)生對(duì)三角函數(shù)概念的理解. 本節(jié)利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù).這個(gè)定義清楚地表明了正弦、余弦函數(shù)中從自變量到函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，也表明了這兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系. 二、教學(xué)重、難點(diǎn) 重點(diǎn): 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)）；終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）. 難點(diǎn): 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)）；三角函數(shù)線的正確理解. 三、學(xué)法與教學(xué)用具 任意角的三角函數(shù)可以有不同的定義方法，本節(jié)利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù).表明了正弦、余弦函數(shù)中從自變量到函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，也表明了這兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系. 另外，這樣的定義使得三角函數(shù)所反映的數(shù)與形的關(guān)系更加直接，數(shù)形結(jié)合更加緊密，這就為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)帶來方便，也使三角函數(shù)更加好用了. 教學(xué)用具:投影機(jī)、三角板、圓規(guī)、計(jì)算器 【復(fù)習(xí)回顧】 1、 三角函數(shù)的定義； 2、 三角函數(shù)在各象限角的符號(hào)； 3、 三角函數(shù)在軸上角的值； 4、 誘導(dǎo)公式（一）：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等； 5、 三角函數(shù)的定義域. 要求：記憶.并指出，三角函數(shù)沒有定義的地方一定是在軸上角，所以，凡是碰到軸上角時(shí)，要結(jié)合定義進(jìn)行分析；并要求在理解的基礎(chǔ)上記憶. 【探究新知】 1．引入：角是一個(gè)圖形概念，也是一個(gè)數(shù)量概念（弧度數(shù)）.作為角的函數(shù)——三角函數(shù)是一個(gè)數(shù)量概念（比值），但它是否也是一個(gè)圖形概念呢？換句話說，能否用幾何方式來表示三角函數(shù)呢？ O x y a角的終邊 P T M A 2．[邊描述邊畫]以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以單位長度1為半徑畫一個(gè)圓，這個(gè)圓就叫做單位圓（注意：這個(gè)單位長度不一定就是1厘米或1米）.當(dāng)角為第一象限角時(shí)，則其終邊與單位圓必有一個(gè)交點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，則請(qǐng)你觀察: 根據(jù)三角函數(shù)的定義：； 隨著在第一象限內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，、是否也跟著變化？ 3．思考：（1）為了去掉上述等式中的絕對(duì)值符號(hào)，能否給線段、規(guī)定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆较颍顾鼈兊娜≈蹬c點(diǎn)的坐標(biāo)一致？ （2）你能借助單位圓，找到一條如、一樣的線段來表示角的正切值嗎？ 我們知道，指標(biāo)坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān).當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸時(shí),以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)，規(guī)定： 當(dāng)線段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎颍矣姓?；?dāng)線段與軸反向時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有正值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo).這樣,無論那種情況都有 同理,當(dāng)角的終邊不在軸上時(shí),以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)，規(guī)定： 當(dāng)線段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎?，且有正值；?dāng)線段與軸反向 時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有正值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo).這樣,無論那種情況都有 4.像這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段（direct line segment）. 5.如何用有向線段來表示角的正切呢? 如上圖,過點(diǎn)作單位圓的切線,這條切線必然平行于軸,設(shè)它與的終邊交于點(diǎn),請(qǐng)根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識(shí),借助有向線段,我們有 我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線. 6.探究：（1）當(dāng)角的終邊在第二、第三、第四象限時(shí)，你能分別作出它們的正弦線、余弦線和正切線嗎？ （2）當(dāng)?shù)慕K邊與軸或軸重合時(shí)，又是怎樣的情形呢？ 7.例題講解 例1．已知，試比較的大小. 處理:師生共同分析解答,目的體會(huì)三角函數(shù)線的用處和實(shí)質(zhì). 8.練習(xí)第1,2,3,4題 9學(xué)習(xí)小結(jié) (1)了解有向線段的概念. (2)了解如何利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來. (3)體會(huì)三角函數(shù)線的簡單應(yīng)用. 【評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)】 1． 作業(yè)： 比較下列各三角函數(shù)值的大小(不能使用計(jì)算器) (1)、 （2）、 （3）、 2．練習(xí)三角函數(shù)線的作圖.