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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《向量的線性運算》教案5 蘇教版必修4 【三維目標】： 一、知識與技能 1.理解向量加法的含義，會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和。 2.通過將向量運算與熟悉的數(shù)的運算進行類比，使學(xué)生掌握向量加法運算的交換律和結(jié)合律，表述兩個運算律的幾何意義，并會用它們進行向量計算，滲透類比的數(shù)學(xué)方法；培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合解決問題的能力； 3.掌握有特殊位置關(guān)系的兩個向量的和，比如共線向量、共起點向量、共終點向量等. 4.初步體會數(shù)形結(jié)合在向量解題中的應(yīng)用. 二、過程與方法 教材利用同學(xué)們熟悉的物理知識引出向量的加法，一方面啟發(fā)我們利用位移的合成去探索兩個向量的和，另一方面幫助我們利用物理背景去理解向量的加法。最后通過講解例題，指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)知識結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和邏輯思維能力. 三、情感、態(tài)度與價值觀 通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對向量加法的三角形法則和平行四邊形法則有了一定的認識，進一步讓學(xué)生理解和領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想；同時以較熟悉的物理背景去理解向量的加法，感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性。 【教學(xué)重點與難點】： 重點：如何作兩個向量的和向量 難點：對向量加法定義的理解. 【學(xué)法與教學(xué)用具】： 1. 學(xué)法： (1)自主性學(xué)習(xí)+探究式學(xué)習(xí)法： (2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距. 2.學(xué)法指導(dǎo) 數(shù)能進行運算，向量是否也能進行運算呢？數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法；借助于物理中位移的合成、力的合成來理解向量的加法，讓學(xué)生順理成章接受向量的加法定義；結(jié)合圖形掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則；聯(lián)系數(shù)的運算律理解和掌握向量加法運算的交換律和結(jié)合律。 3. 教學(xué)用具：多媒體、實物投影儀、尺規(guī). 【授課類型】：新授課 【課時安排】：1課時 【教學(xué)思路】： 一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 【復(fù)習(xí)】：1.向量的概念 2.平行向量、相等向量的概念。 【情景設(shè)置】：利用向量的表示，從景點到景點的位移為，從景點到景點的位移為，那么經(jīng)過這兩次位移后游艇的合位移是 ●這里，向量,,三者之間有什么關(guān)系？ 二、研探新知 1.向量的加法 向量的加法：求兩個向量和的運算叫做向量的加法。表示：=． 規(guī)定：零向量與任一向量，都有． 【注意】：兩個向量的和仍舊是向量（簡稱和向量） 作法：在平面內(nèi)任意取一點，作=，=，則=+=+ A B O + O A B O A B + 2.向量的加法法則 （1）共線向量的加法： 同向向量 反向向量 （2）不共線向量的加法 幾何中向量加法是用幾何作圖來定義的，一般有兩種方法，即向量加法的三角形法則（“首尾相接，首尾連”）和平行四邊形法則（對于兩個向量共線不適應(yīng)）。 三角形法則：根據(jù)向量加法定義得到的求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則。表示：=． 平行四邊形法則：以同一點為起點的兩個已知向量，為鄰邊作平行四邊形，則以為起點的對角線就是與的和，這種求向量和的方法稱為向量加法的平行四邊形法則。 如圖，已知向量、在平面內(nèi)任取一點，作=，，則向量叫做與的和，記作+，即+ + + A B C A B C D 三角形法則 平行四邊形法則 【說明】：教材中采用了三角形法則來定義，這種定義，對兩向量共線時同樣適用，當向量不共線時，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是一致的 特殊情況： 探究：（1）兩相向量的和仍是一個向量； （2）當向量與不共線時，+的方向不同向，且|+|||+||; （3）當與同向時，則+、、同向，且|+|=||+||,當與反向時，若||||,則+的方向與相同，且|+|=||-||；若||||,則+的方向與相同，且|+|=||-||. （4）“向量平移”：使前一個向量的終點為后一個向量的起點，可以推廣到個向量連加 3.向量加法的運算律 （1）向量加法的交換律：+=+ （2）向量加法的結(jié)合律：(+) +=+(+) 證明：如圖：使, , 則 (+)+=+，+ (+)=,∴(+)+=+(+) 從而，多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行 例如：；． 三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維 例1 （教材例1）如圖，為正六邊形的中心，作出下列向量： （1）+ （2）+ （3）+ 例2．如圖，一艘船從點出發(fā)以的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時水的流速為，求船實際航行的速度的大小與方向。 解：設(shè)表示船垂直于對岸的速度，表示水流的速度，以, 為鄰邊作平行四邊形，則就是船實際航行的速度,在 中，，，所以。 因為 例3 已知矩形中，寬為，長為，，=，=，試作出向量，并求出其模的大小。 例4 一架飛機向北飛行千米后，改變航向向東飛行千米，則飛行的路程為 400千米 ；兩次位移的和的方向為北偏東，大小為千米． 例5 （教材例2）在長江南岸某渡口處，江水以的速度向東流，渡般的速度為，渡般要垂直地渡過長江，其航向應(yīng)如何確定？ 【舉一反三】 若渡般以的速度按垂直于河岸的航向航向航行，那么受水流影響，渡船的實際航向如何？ 四、鞏固深化，反饋矯正 1.一艘船從點出發(fā)以的速度向垂直于對岸的方向行駛，船的實際航行的速度的大小為，求水流的速度。 2.一艘船距對岸，以的速度向垂直于對岸的方向行駛，到達對岸時，船的實際航程為8km，求河水的流速。 3.一艘船從點出發(fā)以的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為，船的實際航行的速度的大小為，方向與水流間的夾角是，求和 4.一艘船以5的速度在行駛，同時河水的流速為2，則船的實際航行速度大小最大是，最小是. 五、歸納整理，整體認識 1．理解向量加法的概念及向量加法的幾何意義； 2．熟練掌握向量加法的平行四邊形法則、三角形法則和向量加法運算律. 六、承上啟下，留下懸念 1.已知兩個力，的夾角是直角，且知它們的合力與的夾角是，牛，求和的大小。 七、板書設(shè)計（略） 八、課后記： 向量的線性運算（二） 【三維目標】： 一、知識與技能 1.通過實例，掌握向量減法的運算，并理解其幾何意義； 2.掌握向量減法與加法的逆運算關(guān)系，能準確作出兩個向量的差向量，并且能掌握差向量的起點和終點的規(guī)律； 3.能熟練地掌握用三角形法則和平行四邊形法則作出兩向量的差向量，了解向量方程，并會用幾何法解向量方程； 4.對學(xué)生滲透化歸、類比和數(shù)形結(jié)合的思想，繼續(xù)培養(yǎng)學(xué)生識圖和作圖的能力，及運用圖形解題的能力。 二、過程與方法 向量減法運算可以轉(zhuǎn)化成向量的加法運算，通過知識發(fā)生發(fā)展過程教學(xué)使學(xué)生感受和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)發(fā)展的過程及其思想；最后通過講解例題，指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)知識結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和邏輯思維能力。 三、情感、態(tài)度與價值觀 1.通過闡述向量的減法運算可以轉(zhuǎn)化成向量的加法運算，使學(xué)生理解事物之間可以相互轉(zhuǎn)化的辯證思想。 2.通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對向量加法的三角形法則和平行四邊形法則有了一定的認識，進一步讓學(xué)生理解和領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想；同時以較熟悉的物理背景去理解向量的加法，這樣有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，實事求是的科學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神。 【教學(xué)重點與難點】： 重點：向量減法的概念和向量減法的作圖法. 難點：減法運算時方向的確定. 【學(xué)法與教學(xué)用具】： 1.學(xué)法： (1)自主性學(xué)習(xí)+探究式學(xué)習(xí)法： (2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距. 2.學(xué)法指導(dǎo)：減法運算是加法運算的逆運算，學(xué)生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運算掌握向量的減法運算；并利用三角形做出減向量。 3. 教學(xué)用具：多媒體、實物投影儀、尺規(guī). 【授課類型】：新授課 【課時安排】：1課時 【教學(xué)思路】： 一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 1.向量的加法定義、法則和運算律 2.數(shù)的運算：減法是加法的逆運算 二、研探新知 向量的減法是向量加法的逆運算。 1.向量減法的定義 若+=，則向量叫做與的差，記為-，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法.表示：-=+（-） 2.向量減法的法則 根據(jù)向量減法的定義和向量加法的三角形法則，我們可以得到向量-的作圖方法 【思考】 ：已知,，怎樣求作-？ B O A - （1）三角形法則：已知,，在平面內(nèi)任取一點，作，，則． 即-可以表示為從（減向量）的終點，指向（被減向量）的終點的向量．(強調(diào)：，同起點時，-是連結(jié)，的終點，并指向“被減向量”的向量．) O A B （2）平行四邊形法：在平面內(nèi)任取一點O，作，，則由向量加法的平行四邊形法則可得=+（-）=-. 【思考】 ：從向量的終點指向向量的終點的向量是什么？（ -） 【探究】 ：如右圖，∥時，怎樣作出-呢？ 三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維 例1 （教材例1）如圖2-2-7（1），已知向量，不共線，求作向量- 【思考】 ：A B C D O 你能畫圖說明-=+（-）嗎？ 例2 如圖，是平行四邊形的對角線的交點， 若，,，試證明：+-= 例3 用向量法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 例4 試證：對任意向量，都有． 證明：（1）當，中有零向量時，顯然成立。（2）當，均不為零向量時： ①與共線，即。當，同向時，；當，反向時，． ②，不共線時，在中，，則有 ．∴ 其中：當，同向時，， 當，同向時，． 【思考】：任意一個非零向量是否一定可以表示為兩個不共線的向量的和？ 四、鞏固深化，反饋矯正 教材練習(xí)：第1至6題 五、歸納整理，整體認識 1．掌握向量減法概念并知道向量的減法的定義是建立在向量加法的基礎(chǔ)上的； 2．會作兩向量的差向量； 3．能夠結(jié)合圖形進行向量計算以及用兩個向量表示其它向量。 六、承上啟下，留下懸念 1．已知正方形的邊長等于1，，，，求作向量：（1） （2）； 2．已知向量，的模分別是3，4，求的取值范圍。 3．預(yù)習(xí)向量的數(shù)乘 七、板書設(shè)計（略） 八、課后記： 向量的線性運算（三） 【三維目標】： 一、知識與技能 1.理解向量數(shù)乘的含義及向量數(shù)乘的運算律； 2.讓學(xué)生能由實數(shù)運算律類比向量運算律，并且驗證強化對知識的形成過程的認識，正確表示結(jié)果； 二、過程與方法 1. 教材利用同學(xué)們熟悉的物理知識引出實數(shù)與向量的積 2. 三個運算定律（結(jié)合律，第一分配律，第二分配律），在此基礎(chǔ)上得到數(shù)乘運算的幾何意義； 3.為了幫助學(xué)生消化和鞏固相應(yīng)的知識，教材設(shè)置了幾個例題；通過講解例題，指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)知識結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和邏輯思維能力. 三、情感、態(tài)度與價值觀 通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對實數(shù)與向量積有了較深的認識，讓學(xué)生理解和領(lǐng)悟知識將各學(xué)科有機的聯(lián)系起來了，這樣有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和勇于創(chuàng)新的精神. 【教學(xué)重點與難點】： 重點：實數(shù)與向量積的定義及幾何意義. 難點：實數(shù)與向量積的幾何意義的理解. 【學(xué)法與教學(xué)用具】： 1. 學(xué)法：(1)自主性學(xué)習(xí)+探究式學(xué)習(xí)法： (2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距. 2. 教學(xué)用具：多媒體、實物投影儀. 【授課類型】：新授課 【課時安排】：1課時 【教學(xué)思路】： 一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 質(zhì)點從點出發(fā)做勻速直線運動，若經(jīng)過1的位移對應(yīng)的向量用表示，那么在同方向上經(jīng)過3的位移所對應(yīng)的向量可用3來表示。 ●這里，3是何種運算的結(jié)果？ 二、研探新知 1．實數(shù)與向量的積的定義： 一般地，實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下： （1）； （2）當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反； 當 時，．（請學(xué)生自己解釋其幾何意義） 實數(shù)與向量相乘，叫做向量的數(shù)乘 2．實數(shù)與向量的積的運算律： （1）（結(jié)合律）； ① （2）（第一分配律）； ② （3）（第二分配律）． ③ 【思考】：根據(jù)幾何意義，你能否驗證下列實數(shù)與向量的積的是否滿足下列運算定律（證明的過程可根據(jù)學(xué)生的實際水平?jīng)Q定） 三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維 例1 （教材例1）已知向量和向量，求作向量和向量2-3。 例2 （教材例2）計算： （1）3(-)-2(+2)； （2）2(2+6-3)-3(-3+4-2) 【思考】：向量數(shù)乘有哪些相同點和不同點？ 【舉一反三】 計算：（1）； （2）； （3）． 解：（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=． 四、鞏固深化，反饋矯正 （教材）練習(xí)1至5題 五、歸納整理，整體認識 實數(shù)與向量積的定義，理解實數(shù)與向量積的幾何意義；實數(shù)與向量的積的運算律 六、承上啟下，留下懸念 1．當時，驗證：(+)=+ 證：當=0時，左邊=0?(+)= 右邊=0?+0?= 分配律成立當為正整數(shù)時，令=, 則有： (+)=(+)+(+)+…+(+)=++…+++++…+=+ 即為正整數(shù)時，分配律成立 當為負整數(shù)時，令=-（為正整數(shù)），有-(+)=[-(+)]=[(-)+(-)] =(-)+(-)=-+(-)=--,分配律仍成立 綜上所述，當為整數(shù)時，(+)=+恒成立 七、板書設(shè)計（略） 八、課后記： 向量的線性運算（四） 【三維目標】： 一、知識與技能 1.理解兩個向量共線的含義，并能運用它們證明簡單的幾何問題。 2.理解兩個向量共線（平行）的充要條件，能表示與某個非零向量共線的向量，能判斷兩個向量共線； 3.通過練習(xí)使學(xué)生對兩個向量共線的充要條件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，初步學(xué)會用向量的方法解決一些簡單的幾何問題和實際應(yīng)用問題 二、過程與方法 通過對兩個向量共線（平行）充要條件的探索，對平面向量的基本定理有更深刻的理解，為了幫助學(xué)生消化和鞏固相應(yīng)的知識，教材設(shè)置了幾個例題；通過講解例題，指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)知識結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和邏輯思維能力. 三、情感、態(tài)度與價值觀 通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對實數(shù)與向量積以及平面向量基本定理有了較深的認識，讓學(xué)生理解和領(lǐng)悟知識將各學(xué)科有機的聯(lián)系起來了，這樣有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和勇于創(chuàng)新的精神. 【教學(xué)重點與難點】： 重點：理解兩個向量共線（平行）的充要條件，能表示與某個非零向量共線的向量，能判斷兩個向量共線； 難點：對兩個向量共線（平行）的充要條件的理解. 【學(xué)法與教學(xué)用具】： 1. 學(xué)法： (1)自主性學(xué)習(xí)+探究式學(xué)習(xí)法： (2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距. 2. 教學(xué)用具：多媒體、實物投影儀. 【授課類型】：新授課 【課時安排】：1課時 【教學(xué)思路】： 一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 向量數(shù)乘的含義及向量數(shù)乘的運算律； 二、研探新知 【探索】：（師生共同分析向量共線的充要條件）對于向量（）、， ① 如果有一個實數(shù)，使得，那么與共線嗎？ ② 如果與共線，是否存在一個實數(shù)，使？ 答案：若有向量()、，實數(shù)，使=，則由實數(shù)與向量積的定義知：與為共線向量 若與共線()且||:||=μ，則當與同向時=；當與反向時=- 從而得：向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)，使=. 定理：向量 ()與共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，使=． 【思考】：為什么要求是非零的？ （若=，則,總共線，而時，則不存在實數(shù)，使=成立；而==時，不管取什么值，=總成立，不唯一） 三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維 B D A C E 例1（教材例3）如圖2-2-10，分別為的邊 和中點，求證：與共線，并將用線性表示。 例2 判斷下列各題中的向量是否共線： （1），； （2），，且，共線． 解：（1）當時，則，顯然與共線． 當時，=-=-，∴與共線． （3）當，中至少有一個為零向量時，顯然與共線． 當，均不為零向量時，設(shè) ∴， 若時，，，顯然與共線．若時，， ∴與共線． 例3 （教材例4）如圖2-2-11，中，為直線上一點， 求證： 四、鞏固深化，反饋矯正 教材練習(xí) 五、歸納整理，整體認識 生總結(jié):（1）向量與非零向量共線的條件是：有且只有一個非零實數(shù)，使=. （2）理解兩向量共線（平行）的充要條件，并會判斷兩個向量是否共線。 （3）平面向量基本定理的理解及注意的問題. 六、承上啟下，留下懸念 【思考】：上例所證的結(jié)論表明：起點為，終點為直線上一點的向量可以用表示，那么兩個不共線的向量可以表示平面內(nèi)任一向量嗎？ 七、板書設(shè)計（略） 八、課后記：