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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《數(shù)列的概念》教案14 北師大版必修5 教學(xué)目的： ⒈理解數(shù)列及其有關(guān)概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系. ⒉了解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項 ⒊對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項寫出它的個通項公式 教學(xué)重點：數(shù)列及其有關(guān)概念，通項公式及其應(yīng)用，前n 項和與an的關(guān)系 教學(xué)難點：根據(jù)一些數(shù)列的前幾項抽象、歸納數(shù)列的通項公式 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 內(nèi)容分析： 本節(jié)主要介紹數(shù)列的概念、分類，以及給出數(shù)列的兩種方法關(guān)于數(shù)列的概念，先給出了一個描述性定義，爾后又在此基礎(chǔ)上，給出了一個在映射、函數(shù)觀點下的定義，指出：“從映射、函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集(或它的有限子集)的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值”這樣就可以將數(shù)列與函數(shù)聯(lián)系起來，不僅可以加深對數(shù)列概念的理解，而且有助于運(yùn)用函數(shù)的觀點去研究數(shù)列關(guān)于給出數(shù)列的兩種方法，其中數(shù)列的通項公式，教材已明確指出它就是相應(yīng)函數(shù)的解析式點破了這一點，數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系揭示得就更加清楚此外，正如并非每一函數(shù)均有解析表達(dá)式一樣，也并非每一數(shù)列均有通項公式(有通項公式的數(shù)列只是少數(shù)) 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1．函數(shù)的定義． 如果A、B都是非空擻 集，那么A到B的映射就叫做A到B的函數(shù)，記作：，其中 2．在學(xué)習(xí)第二章函數(shù)的基礎(chǔ)上，今天我們來學(xué)習(xí)第三章數(shù)列的有關(guān)知識，首先我們來看一些例子： 4，5，6，7，8，9，10． ① 1，，，，，…. ② 1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…. ③ 1，1.4，1.41，1.414，…. ④ -1，1，-1，1，-1，1，…. ⑤ 2，2，2，2，2，…. ⑥ 觀察這些例子，看它們有何共同特點？（啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列定義） 上述例子的共同特點是：⑴均是一列數(shù)；⑵有一定次序. 從而引出數(shù)列及有關(guān)定義 二、講解新課： ⒈ 數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列. 注意：⑴數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列； ⑵定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn). ⒉ 數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項. 各項依次叫做這個數(shù)列的第1項（或首項），第2項，…，第n 項，…. 例如，上述例子均是數(shù)列，其中①中，“4”是這個數(shù)列的第1項（或首項），“9”是這個數(shù)列中的第6項. ⒊數(shù)列的一般形式：，或簡記為，其中是數(shù)列的第n項 結(jié)合上述例子，幫助學(xué)生理解數(shù)列及項的定義. ②中，這是一個數(shù)列，它的首項是“1”，“”是這個數(shù)列的第“3”項，等等 下面我們再來看這些數(shù)列的每一項與這一項的序號是否有一定的對應(yīng)關(guān)系？這一關(guān)系可否用一個公式表示？（引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)列與項的定義，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項公式）對于上面的數(shù)列②，第一項與這一項的序號有這樣的對應(yīng)關(guān)系： 項 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序號 1 2 3 4 5 這個數(shù)的第一項與這一項的序號可用一個公式：來表示其對應(yīng)關(guān)系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出該數(shù)列相應(yīng)的各項 結(jié)合上述其他例子，練習(xí)找其對應(yīng)關(guān)系 如：數(shù)列①：=n+3(1≤n≤7)；數(shù)列③：≥1）； 數(shù)列⑤：（n≥1） ⒋ 數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式. 注意：⑴并不是所有數(shù)列都能寫出其通項公式，如上述數(shù)列④； ⑵一個數(shù)列的通項公式有時是不唯一的，如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，…它的通項公式可以是，也可以是. ⑶數(shù)列通項公式的作用：①求數(shù)列中任意一項；②檢驗?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項. 從映射、函數(shù)的觀點來看，數(shù)列也可以看作是一個定義域為正整數(shù)集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，數(shù)列的通項公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式. 對于函數(shù)，我們可以根據(jù)其函數(shù)解析式畫出其對應(yīng)圖象，看來，數(shù)列也可根據(jù)其通項公式畫出其對應(yīng)圖象，下面同學(xué)們練習(xí)畫數(shù)列①，②的圖象，并總結(jié)其特點. 在畫圖時，為方便起見，直角坐標(biāo)系兩條坐標(biāo)軸上的單位長度可以不同. 數(shù)列①、②的圖象分別如圖1，圖2所示. 5．?dāng)?shù)列的圖像都是一群孤立的點. 6．?dāng)?shù)列有三種表示形式： 列舉法，通項公式法和圖象法. 7． 有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列.例如，數(shù)列①是有窮數(shù)列. 8．無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列. 例如，數(shù)列②、③、④、⑤、⑥都是無窮數(shù)列. 三、講解范例： 例1 根據(jù)下面數(shù)列的通項公式，寫出前5項： （1） 分析：由通項公式定義可知，只要將通項公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到數(shù)列的前5項 解：（1） (2) 例2寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)： （1）1，3，5，7； （2） （3）-，，-，. 解： （1）項1=21-1 3=22-1 5=23-1 7=24-1 ↓ ↓ ↓ ↓ 序號 1 2 3 4 即這個數(shù)列的前4項都是序號的2倍減去1， ∴它的一個通項公式是： ； （2）序號：1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 項分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 ↓ ↓ ↓ ↓ 項分子： 22-1 32-1 42-1 52-1 即這個數(shù)列的前4項的分母都是序號加上1，分子都是分母的平方減去1，∴它的一個通項公式是： ； （3）序號 ‖ ‖ ‖ ‖ 這個數(shù)列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正，所以它的一個通項公式是： 四、課堂練習(xí)： 課本P112練習(xí)：1—4. 學(xué)生板演1，2；教師提問評析3，4. 答案：⒈⑴1,4,9,16,25；⑵10,20,30,40,50； ⑶5,-5,5,-5,5；⑷3/2，1，7/10，9/17，11/26. ⒉⑴a7=1/343，a10=1/1000；⑵a7=63，a10=120； ⑶a7=1/7，a10=-1/10；⑷a7=-125，a10=-1021. ⒊⑴=2n；⑵=1/5n；⑶=(-1)n/2n；⑷=(1/n)-[1/(n+1)]. ⒋⑴8，64，=2n；⑵1，36，=n2；⑶-1/3，-1/7，=(-1)n/n； ⑷，，an=. 五、小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：數(shù)列及有關(guān)定義，會根據(jù)通項公式求其任意一項，并會根據(jù)數(shù)列的前n項求一些簡單數(shù)列的通項公式 六、課后作業(yè)：課本P114習(xí)題3.1：1，2. 答案：⒈ ⑴ =3n；⑵ =-2(n-1)；⑶ =(n+1)/n；⑷=(-1)n/2n； ⑸ =1/n2；⑹ =(-1)n+1 . ⒉ ⑴a10=110，a31=992，a48=2352；⑵求n(n+1)=420的正整數(shù)解得n=20. 補(bǔ)充作業(yè)：根據(jù)下面數(shù)列的前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式： (1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) , , , , , ……； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……； (5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,……. 解：(1) ＝； (2) ＝； (3) ＝； (4) 將數(shù)列變形為1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……, ∴＝n＋； (5) 將數(shù)列變形為12, －23, 34, －45, 56,……， ∴ ＝(－1)n(n＋1). 七、板書設(shè)計（略） 八、課后記： 課 題：數(shù)列的概念（二） 教學(xué)目的： 1．了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同； 2．會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項； 3．理解數(shù)列的前n項和與的關(guān)系； 4．會由數(shù)列的前n項和公式求出其通項公式. 教學(xué)重點：根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項 教學(xué)難點：理解遞推公式與通項公式的關(guān)系 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 內(nèi)容分析： 由于并非每一函數(shù)均有解析表達(dá)式一樣，也并非每一數(shù)列均有通項公式(有通項公式的數(shù)列只是少數(shù))，因而研究遞推公式給出數(shù)列的方法可使我們研究數(shù)列的范圍大大擴(kuò)展。遞推是數(shù)學(xué)里的一個非常重要的概念和方法。在數(shù)列的研究中，不僅很多重要的數(shù)列是用遞推公式給出的，而且它也是獲得一個數(shù)列的通項公式的途徑：先得出較為容易寫出的數(shù)列的遞推公式，然后再根據(jù)它推得通項公式。但是，這項內(nèi)容也是極易膨脹的，例如研究用遞推公式給出的數(shù)列的性質(zhì)，從數(shù)列的遞推公式推導(dǎo)通項公式等，這樣就會加重學(xué)生負(fù)擔(dān)?？紤]到學(xué)生是在高一學(xué)習(xí)，我們必須牢牢把握教學(xué)要求，只要能初步體會一下用遞推方法給出數(shù)列的思想，能根據(jù)遞推公式寫出一個數(shù)列的前幾項就行了。 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入：上節(jié)學(xué)習(xí)知識點如下 ⒈ 數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列. 注意：⑴數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列； ⑵定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn). ⒉ 數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項. 各項依次叫做這個數(shù)列的第1項（或首項），第2項，…，第n 項，…. ⒊數(shù)列的一般形式：，或簡記為，其中是數(shù)列的第n項 ⒋ 數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式. 5．?dāng)?shù)列的圖像都是一群孤立的點. 6．?dāng)?shù)列有三種表示形式：列舉法，通項公式法和圖象法. 7． 有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列.例如，數(shù)列①是有窮數(shù)列. 8． 無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列. 二、講解新課： 知識都來源于實踐，最后還要應(yīng)用于生活。用其來解決一些實際問題． 觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型． 模型一：自上而下： 第1層鋼管數(shù)為4；即：14＝1+3 第2層鋼管數(shù)為5；即：25＝2+3 第3層鋼管數(shù)為6；即：36＝3+3 第4層鋼管數(shù)為7；即：47＝4+3 第5層鋼管數(shù)為8；即：58＝5+3 第6層鋼管數(shù)為9；即：69＝6+3 第7層鋼管數(shù)為10；即：710＝7+3 若用表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且≤n≤7） 運(yùn)用每一層的鋼筋數(shù)與其層數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，運(yùn)用這一關(guān)系，會很快捷地求出每一層的鋼管數(shù)。這會給我們的統(tǒng)計與計算帶來很多方便。 讓同學(xué)們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？（啟發(fā)學(xué)生尋找規(guī)律） 模型二：上下層之間的關(guān)系 自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1。 即；； 依此類推：（2≤n≤7） 對于上述所求關(guān)系，若知其第1項，即可求出其他項，看來，這一關(guān)系也較為重要。 定義： 1．遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前n項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公 式就叫做這個數(shù)列的遞推公式。 說明：遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。 如下數(shù)字排列的一個數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89 遞推公式為： 2．?dāng)?shù)列的前n項和： 數(shù)列中，稱為數(shù)列的前n項和，記為. 表示前1項之和：= 表示前2項之和：= …… 表示前n-1項之和：= 表示前n項之和：=. ∴當(dāng)n≥1時才有意義；當(dāng)n-1≥1即n≥2時才有意義. 3．與之間的關(guān)系： 由的定義可知，當(dāng)n=1時，=；當(dāng)n≥2時，=-， 即=. 說明：數(shù)列的前n項和公式也是給出數(shù)列的一種方法. 三、例題講解 例1已知數(shù)列的第1項是1，以后的各項由公式給出，寫出這個數(shù)列的前5項。 分析：題中已給出的第1項即，遞推公式： 解：據(jù)題意可知： 例2已知數(shù)列中，≥3），試寫出數(shù)列的前4項 解：由已知得 例3已知， 寫出前5項，并猜想． 法一： ，觀察可得 法二：由 ∴ 即 ∴ ∴ 例4 已知數(shù)列的前n項和，求數(shù)列的通項公式： ⑴ =n+2n； ⑵ =n-2n-1. 解：⑴①當(dāng)n≥2時，=-=(n+2n)-[(n-1)+2(n-1)]=2n+1； ②當(dāng)n=1時，==1+21=3； ③經(jīng)檢驗，當(dāng)n=1時，2n+1=21+1=3， ∴=2n+1為所求. ⑵①當(dāng)n≥2時，=-=(n-2n-1)-[(n-1)+2(n-1)-1]=2n-3； ②當(dāng)n=1時，==1-21-1=-2； ③經(jīng)檢驗，當(dāng)n=1時，2n-3=21-3=-1≠-2， ∴=為所求. 四、練習(xí)： 1．根據(jù)各個數(shù)列的首項和遞推公式，寫出它的前五項，并歸納出通項公式 (1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)； (2) ＝1, ＝ (n∈N)； (3) ＝3, ＝3－2 (n∈N). 解：(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴ ＝(n－1); (2) ＝1,＝,＝, ＝, ＝, ∴ ＝; (3) ＝3＝1+2, ＝7＝1+2, ＝19＝1+2, ＝55＝1+2, ＝163＝1+2, ∴ ＝1＋23; 2． ．已知下列各數(shù)列的前n項和的公式，求的通項公式。 (1) ＝2n－3n; (2) ＝－2. 解：(1) ＝－1, =-＝2n－3n－[2(n－1)－3(n－1)]＝4n－5, 又符合＝41－5, ∴ ＝4n－5; (2) ＝1, =-＝－2－(－2)＝2, ∴＝ 五、小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容： 1．遞推公式及其用法； 2．通項公式反映的是項與項數(shù)之間的關(guān)系，而遞推公式反映的是相鄰兩項（或n項）之間的關(guān)系. 3．的定義及與之間的關(guān)系 六、課后作業(yè)： 1．根據(jù)各個數(shù)列的首項和遞推公式，寫出它的前五項 =1, =+（n≥2） 解：由=1, =+（n≥2）, 得=1, =+=2, =+, =+,=+ 2．已知=an+bn+c，求數(shù)列的通項公式。 答案：= 七、板書設(shè)計（略） 八、課后記：