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2019-2020年高中數(shù)學第一輪總復習 第十一章11.2 互斥事件有一個發(fā)生的概率教案 新人教A版 鞏固夯實基礎 一、自主梳理 1.互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫互斥事件. 2.對立事件：其中必有一個發(fā)生的互斥事件叫對立事件. 3.對于互斥事件要抓住如下的特征進行理解 第一,互斥事件研究的是兩個事件之間的關系; 第二,所研究的兩個事件是在一次試驗中涉及的; 第三,兩個事件互斥是從試驗的結果不能同時出現(xiàn)來確定的. 從集合角度來看,A、B兩個事件互斥,則表示A、B這兩個事件所含結果組成的集合的交集是空集. 對立事件是互斥事件的一種特殊情況,是指在一次試驗中有且僅有一個發(fā)生的兩個事件,集合A的對立事件記作A,從集合的角度來看,事件A所含結果的集合正是全集U中由事件A所含結果組成集合的補集,即A∪=U,A∩=.對立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是對立事件. 4.事件A、B的和記作A+B,表示事件A、B至少有一個發(fā)生.當A、B為互斥事件時,事件A+B是由“A發(fā)生而B不發(fā)生”以及“B發(fā)生而A不發(fā)生”構成的,因此當A和B互斥時,事件A+B的概率滿足加法公式: P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥), 且有P(A+)=P(A)+P()=1. 當計算事件A的概率P(A)比較困難時,有時計算它的對立事件的概率則要容易些,為此有P(A)=1-P(). 對于n個互斥事件A1,A2,…,An,其加法公式為P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 5.分類討論思想是解決互斥事件有一個發(fā)生的概率的一個重要的指導思想. 二、點擊雙基 1.兩個同學做同一道題,他們做對的概率分別為0.8和0.9,則該題至少被一個同學做對的概率為( ) A.0.98 B.0.72 C.0.83 D.0.7 解析：P=1-0.20.1=0.98. 答案：A 2.甲、乙兩人獨立解決同一問題,甲能解決這個問題的概率為P1,乙能解決這個問題的概率為P2,那么,甲、乙兩人通過參與這個問題的解答,這個問題能解決的概率是( ) A.P1+P2 B.P1P2 C.1-P1P2 D.P1+P2-P1P2 解析：先考慮對立面:甲、乙都不能解答的概率為(1-P1)(1-P2),由此得問題能解決的概率為P=1-(1-P1)(1-P2)=P1+P2-P1P2,故選D. 答案：D 3.甲、乙兩人獨立地解決同一問題,甲解決這個問題的概率是P1,乙解決這個問題的概率是P2,則其中至少有一個人解決這個問題的概率是( ) A.P1+P2 B.P1P2 C.1-P1P2 D.1-(1-P1)(1-P2) 解析：甲沒有解決的概率為(1-P1),乙沒有解決的概率為(1-P2),由題意分析至少有一人解決這個問題的概率為1-(1-P1)(1-P2).故選D. 答案：D 4.若10把鑰匙中只有2把能打開某鎖,則從中任取2把能將該鎖打開的概率為_____________________. 解析：由題意P=1-=. 答案： 5.有兩組問題,其中第一組中有數(shù)學題6個,物理題4個;第二組中有數(shù)學題4個,物理題6個.甲從第一組中抽取1題,乙從第二組中抽取1題.甲、乙都抽到物理題的概率是______________________,甲和乙至少有一人抽到數(shù)學題的概率是______________________. 解析：P1==;P2=1-=. 答案: 誘思實例點撥 【例1】 有4位同學,每人買1張體育彩票,求至少有2位同學彩票號碼的末位數(shù)相同的概率. 剖析:題中至少有2位同學彩票號碼的末位數(shù)字相同,包含多個互斥事件,可先計算它的對立事件的概率. 解:記“4位同學所買彩票的末位數(shù)字各不相同”為事件,每人所買彩票的末數(shù)字均有0,1,2,…,9共10種可能,故基本事件的總數(shù)為104個.要末位數(shù)字全不相同,則第1位同學的末位數(shù)字有10種情況,第2、3、4位同學分別只有9、8、7種, ∴P()==. 至少有兩位同學的彩票的末位數(shù)字相同的概率 P(A)=1-P()=. 講評:在計算一個復雜事件的概率時,常把其分解為幾個互斥事件的概率計算,或計算其對立事件的概率,從而間接得出結果. 【例2】 某地區(qū)有5個工廠,由于用電緊缺,規(guī)定每個工廠在一周內(nèi)必須選擇某一天停電(選哪一天是等可能的),假定工廠之間,選擇互不影響. (1)求5個工廠均選擇星期日停電的概率; (2)求至少有2個工廠選擇同一天停電的概率. 剖析:本題為等可能事件和對立事件的概率問題. 解:(1)設5個工廠均選星期日停電為事件A,則P(A)==. (2)至少有2個工廠選同一天停電記為事件B.B比較復雜.它的對立事件為5個工廠選擇停電的時間各不相同,記作,則P()==, 所以P(B)=1-P()=1-=. 講評:在處理對立事件的概率時常采用“正難則反”的原則. 鏈接提示 如果某事件A發(fā)生包含的情況較多,而它的對立事件(即A不發(fā)生)所包含的情形較少,利用公式P(A)=1-P()計算A的概率則比較方便.這不僅可體現(xiàn)逆向思維,同時對培養(yǎng)思維的靈活性是非常有益的. 【例3】 設人的某一特征(如眼睛大小)是由他的一對基因所決定的,以d表示顯性基因,r表示隱性基因,則具有dd基因的人為純顯性,具有rr基因的人是純隱性,具有rd基因的人為混合性.純顯性與混合性的人都顯露顯性基因決定的某一特征,孩子從父母身上各得到1個基因,假定父母都是混合性,問: (1)1個孩子有顯性決定特征的概率是多少? (2)2個孩子中至少有1個顯性決定特征的概率是多少? 剖析:(1)1個孩子有顯性決定的特征包含有3種情況:①母d父r;②母r父d;③母d父d.而其對立事件的發(fā)生僅有1種情況:母r父r.故可以通過求其對立事件發(fā)生的概率來求本身發(fā)生的概率. (2)2個孩子中至少有1個有顯性決定的特征包括2種情況:①2個孩子中有且只有1個有顯性決定的特征;②2個孩子中均有顯性決定的特征.而其對立事件為:2個孩子均是隱性決定的特征.所以也可以通過求對立事件發(fā)生的概率來求本身發(fā)生的概率. 解:(1)(方法一)1個孩子有顯性決定的特征的對立事件發(fā)生的概率為=. ∴1個孩子有顯性決定的特征的概率為1-=. (方法二)孩子一對基因為dd、rr、rd的概率分別為、、,孩子有顯性決定的特征則具有dd或rd, ∴1個孩子有顯性決定的特征的概率為+=. (2)(方法一)2個孩子中至少有1個有顯性決定的特征的對立事件是2個孩子均為隱性決定的特征,其發(fā)生的概率為=. 所以至少有1個孩子有顯性決定的特征的概率為1-=. (方法二)2個孩子中至少有一個顯性決定特征的概率為1-C02()2=. 講評:本題分別采用互斥事件和對立事件的概率進行求解.從中可看出各自的特點,要注意的是概率加法公式僅適用于互斥事件,即當A、B互斥時,P(A+B)=P(A)+P(B),否則公式不能使用.