2019-2020年高中數(shù)學第三單元導數(shù)及其應用3.1.1函數(shù)的平均變化率3.1.2瞬時速度與導數(shù)教學案新人教B版選修1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學第三單元導數(shù)及其應用3.1.1函數(shù)的平均變化率3.1.2瞬時速度與導數(shù)教學案新人教B版選修1 學習目標 1.了解導數(shù)概念的實際背景，理解平均變化率和瞬時速度.2.會求函數(shù)在某一點附近的平均變化率.3.會利用導數(shù)的定義求函數(shù)在某點處的導數(shù)． 知識點一 函數(shù)的平均變化率 假設如圖是一座山的剖面示意圖，并建立如圖所示的平面直角坐標系．A是出發(fā)點，H是山頂．爬山路線用函數(shù)y＝f(x)表示． 自變量x表示某旅游者的水平位置，函數(shù)值y＝f(x)表示此時旅游者所在的高度．設點A的坐標為(x1，y1)，點B的坐標為(x2，y2)． 思考1 若旅游者從點A爬到點B，自變量x和函數(shù)值y的改變量分別是多少？ 思考2 怎樣用數(shù)量刻畫彎曲山路的陡峭程度？ 思考3 觀察函數(shù)y＝f(x)的圖象，平均變化率＝表示什么？ 梳理 函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率 (1)定義式：＝. (2)實質：____________的增量與____________的增量之比． (3)作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢． (4)幾何意義：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函數(shù)y＝f(x)的圖象上兩點，則平均變化率＝表示割線P1P2的________． 知識點二 瞬時變化率 思考1 物體的路程s與時間t的關系是s(t)＝5t2，試求物體在[1,1＋Δt]這段時間內(nèi)的平均速度． 思考2 當Δt趨近于0時，思考1中的平均速度趨近于多少？怎樣理解這一速度？ 梳理 (1)物體運動的瞬時速度 設物體運動的路程與時間的關系是s＝f(t)，當________________時，當Δt趨近于0時，函數(shù)f(t)在t0到t0＋Δt之間的平均變化率為________________趨近于常數(shù)，這個常數(shù)稱為t0時刻的瞬時速度． (2)函數(shù)的瞬時變化率 設函數(shù)y＝f(x)在x0附近有定義，當自變量在x＝x0附近改變Δx時，函數(shù)值相應地改變Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果當Δx趨近于0時，平均變化率____________趨近于一個常數(shù)l，則數(shù)l稱為函數(shù)f(x)在點x0的瞬時變化率． 知識點三 函數(shù)在某一點處的導數(shù)與導函數(shù) 思考 f′(x0)與f′(x)表示的意義一樣嗎？ 梳理 (1)函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù) 函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的________________稱為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作____________，即f′(x0)＝________________. (2)導函數(shù)定義 如果f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點x導數(shù)都存在，則稱f(x)在區(qū)間(a，b)可導，這樣，對開區(qū)間(a，b)內(nèi)每個值x，都對應一個________________，于是在區(qū)間(a，b)內(nèi)f′(x)構成一個新的函數(shù)，我們把這個函數(shù)稱為函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)．記為f′(x)(或y′x、y′)． (3)函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)就是導函數(shù)f′(x)在點x＝x0處的函數(shù)值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0. 類型一 函數(shù)的平均變化率 例1 (1)已知函數(shù)f(x)＝2x2＋3x－5. ①求：當x1＝4，x2＝5時，函數(shù)增量Δy和平均變化率； ②求：當x1＝4，x2＝4.1時，函數(shù)增量Δy和平均變化率. (2)求函數(shù)y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均變化率，取Δx都為，哪一點附近的平均變化率最大？ 反思與感悟 求平均變化率的主要步驟 (1)先計算函數(shù)值的改變量Δy＝f(x2)－f(x1)； (2)再計算自變量的改變量Δx＝x2－x1； (3)得平均變化率＝. 跟蹤訓練1 (1)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x－5的圖象上的一點A(－1，－6)及鄰近一點B(－1＋Δx，－6＋Δy)，則＝________. (2)如圖所示是函數(shù)y＝f(x)的圖象，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上的平均變化率為________；函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為________． 類型二 求瞬時速度 例2 某物體的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關系可用函數(shù)s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1 s時的瞬時速度． 引申探究 1．若本例的條件不變，試求物體的初速度． 2．若本例的條件不變，試問物體在哪一時刻的瞬時速度為9 m/s. 反思與感悟 (1)不能將物體的瞬時速度轉化為函數(shù)的瞬時變化率是導致無從下手解答本題的常見問題． (2)求運動物體瞬時速度的三個步驟 ①求時間改變量Δt和位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)． ②求平均速度＝. ③求瞬時速度，當Δt無限趨近于0時，無限趨近于的常數(shù)v即為瞬時速度，即v＝s′(t0)． 跟蹤訓練2 一質點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間單位：s)，若質點M在t＝2 s時的瞬時速度為8 m/s，求常數(shù)a的值． 類型三 求函數(shù)在某一點處的導數(shù) 例3 求函數(shù)f(x)＝在x＝1處的導數(shù)． 反思與感悟 求一個函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)的步驟如下： (1)求函數(shù)值的變化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均變化率＝； (3)取極限，得導數(shù)f′(x0)＝ . 跟蹤訓練3 已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求x0. 1．一物體的運動方程是s＝3＋2t，則在[2,2.1]這段時間內(nèi)的平均速度是( ) A．0.4 B．2 C．0.3 D．0.2 2．函數(shù)f(x)在x0處可導，則 ( ) A．與x0、h都有關 B．僅與x0有關，而與h無關 C．僅與h有關，而與x0無關 D．與x0、h均無關 3．當球的半徑從1增加到2時，球的體積的平均膨脹率為________． 4．函數(shù)y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3處的導數(shù)為________． 5．已知函數(shù)f(x)＝在x＝1處的導數(shù)為－2，則實數(shù)a的值是________． 利用導數(shù)定義求導數(shù)三步曲 (1)求函數(shù)的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． (2)求平均變化率＝. (3)取極限，得導數(shù)f′(x0)＝ . 簡記為一差，二比，三極限． 特別提醒：①取極限前，要注意化簡，保證使當Δx→0時，分母不為0. ②函數(shù)在x0處的導數(shù)f′(x0)只與x0有關，與Δx無關． 答案精析 問題導學 知識點一 思考1 自變量x的改變量為x2－x1，記作Δx，函數(shù)值y的改變量為y2－y1，記作Δy. 思考2 對山路AB來說，用＝可近似地刻畫其陡峭程度． 思考3 觀察圖象可看出，表示曲線y＝f(x)上兩點(x1，f(x1))，(x2，f(x2))連線的斜率． 梳理 (2)函數(shù)值 自變量 (4)斜率 知識點二 思考1 Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2， ＝＝10＋5Δt. 思考2 當Δt趨近于0時，趨近于10，這時的平均速度即為t＝1時的瞬時速度． 梳理 (1)t0到t0＋Δt (2) 知識點三 思考 f′(x0)表示f(x)在x＝x0處的導數(shù)，是一個確定的值．f′(x)是f(x)的導函數(shù)，它是一個函數(shù)．f′(x0)是導函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值． 梳理 (1)瞬時變化率 f′(x0)或y′|x＝x0 (2)確定的導數(shù)f′(x) 題型探究 例1 解 (1)因為f(x)＝2x2＋3x－5， 所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1) ＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5) ＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx ＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx. ＝ ＝2Δx＋4x1＋3. ①當x1＝4，x2＝5時，Δx＝1， Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2＋19 ＝21，＝21. ②當x1＝4，x2＝4.1時，Δx＝0.1， Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx ＝0.02＋1.9＝1.92. ＝2Δx＋4x1＋3＝19.2. (2)在x＝1附近的平均變化率為 k1＝＝ ＝2＋Δx； 在x＝2附近的平均變化率為 k2＝＝ ＝4＋Δx； 在x＝3附近的平均變化率為 k3＝＝ ＝6＋Δx. 當Δx＝時，k1＝2＋＝， k2＝4＋＝，k3＝6＋＝. 由于k1
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