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2019-2020年高二上學學期期中考試 數(shù)學文試題 含解析 張春 本試題卷共21題。全卷滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。 注意事項： 1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上。用統(tǒng)一提供的2B鉛筆將答題卡上試卷類型A后的方框涂黑。 2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用統(tǒng)一提供的2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。答在試題卷、草稿紙上無效。 3．填空題和解答題的作答：用統(tǒng)一提供的簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。答在試題卷、草稿紙上無效。 4．考生在立體幾何答題時，在相關試題圖形上作出相應的輔助線 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1．直線x﹣2y+7=0的斜率是（　?。? 　 A． 2 B． ﹣2 C． D． 2．棱長都是1的三棱錐的表面積為（　?。? 　 A． B． C． D． 3．垂直于同一平面的兩條直線一定（　　） 　 A． 平行 B． 相交 C． 異面 D． 以上都有可能 4．下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是（　?。? 　 A． ①② B． ①③ C． ①④ D． ②④ 5．已知ab＜0，bc＜0，則直線ax+by=c通過（　?。? 　 A． 第一、二、三象限 B． 第一、二、四象限 C． 第一、三、四象限 D． 第二、三、四象限 　 6．若直線l1：y=k（x﹣4）與直線l2關于點（2，1）對稱，則直線l2恒過定點（　?。? 　 A． （0，4） B． （0，2） C． （﹣2，4） D． （4，﹣2） 　 7．下面四個說法中，正確的個數(shù)為（　　） （1）如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合 （2）兩條直線可以確定一個平面 （3）若M∈α，M∈β，α∩β=l，則M∈l （4）空間中，相交于同一點的三直線在同一平面內(nèi)． 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 8．已知點，若直線過點與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（ ） A B C D 9．正方體A1B1C1D1﹣ABCD中，E是A1A的中點、F是C1C的中點，與直線A1D1，EF，DC都相交的空間直線有多少條？（　?。? 　 A． 1條 B． 無數(shù)條 C． 3條 D． 2條 10、如右圖，已知正四棱錐所有棱長都為1，點是側(cè)棱上一動點，過點垂直于的截面將正四棱錐分成上、下兩部分，記截面下面部分的體積為則函數(shù)的圖像大致為（　?。? 二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．請將答案填在答題卡對應題號的位置上. 答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分. 11．若直線l過點（3，4），且（﹣2，1）是它的一個方向向量，則直線l的方程為　_________?。? 　 12．設長方體的長、寬、高分別為2a、a、a，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為　?。? 13.在斜二測畫法下，四邊形ABCD是下底角為45的等腰梯形，其下底長為5，一腰長為，則原四邊形的面積是　?。? 14．下列四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥面MNP的圖形的序號是　?。▽懗鏊蟹弦蟮膱D形序號）． 15.如圖，在長方形中，，，為的中點，為線段（端點除外）上一動點．現(xiàn)將沿折起，使平面平面．在平面內(nèi)過點作，為垂足．設，則的取值范圍是 ． 三.解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 16．（13分）求直線3x﹣2y+24=0的斜率及它在x、y軸上的截距． 17．（13分）一直線過點P（﹣5，﹣4）且與兩坐標軸圍成的三角形面積是5，求此直線的方程。 18．（13分）如下的三個圖中，上面的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖在下面畫出（單位：cm）. （1）在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖； （2）按照給出的尺寸，求該多面體的體積； （3）在所給直觀圖中連結 ，證明： ∥平面EFG. 　 19．（12分）如圖：一個圓錐的底面半徑為2，高為6，在其中有一個半徑為x的內(nèi)接圓柱． （1）試用x表示圓柱的體積； （2）當x為何值時，圓柱的側(cè)面積最大，最大值是多少． 　 20．（12分）如圖，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE． （Ⅰ）求證：AE⊥平面BCE； （Ⅱ）求證；AE∥平面BFD； （Ⅲ）求三棱錐C﹣BGF的體積． 　 21．（本小題滿分12分） 如圖，某地質(zhì)隊自水平地面A，B，C三處垂直向地下鉆探，自A點向下鉆到A1處發(fā)現(xiàn)礦藏，再繼續(xù)下鉆到A2處后下面已無礦，從而得到在A處正下方的礦層厚度為．同樣可得在B，C處正下方的礦層厚度分別為，，且. 過，的中點，且與直線平行的平面截多面體所得的截面為該多面體的一個中截面，其面積記為． （Ⅰ）證明：中截面是梯形； （Ⅱ）在△ABC中，記，BC邊上的高為，面積為. 在估測三角形區(qū)域內(nèi)正下方的礦藏儲量（即多面體的體積）時，可用近似公式來估算. 已知，試判斷與V的大小關系，并加以證明. xx重慶市萬州第二高級中學 高二（上）期中數(shù)學（文科）試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題：（每題5分，共計50分） 1．（5分）直線x﹣2y+7=0的斜率是（　?。? 　 A． 2 B． ﹣2 C． D． 考點： 直線的斜率．4420336 專題： 計算題． 分析： 利用直線方程化為截距式方程，求出直線的斜率即可． 解答： 解：因為直線x﹣2y+7=0的截距式方程為：y=x+，所以直線的斜率為：． 故選C． 點評： 本題考查直線方程的互化，直線斜率的求法，基本知識的考查． 　2．（5分）棱長都是1的三棱錐的表面積為（　?。? 　 A． B． C． D． 考點： 棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積．4420336 專題： 計算題． 分析： 棱長都是1的三棱錐，四個面是全等的正三角形，求出一個面積即可求得結果． 解答： 解：因為四個面是全等的正三角形， 則． 故選A 點評： 本題考查棱錐的面積，是基礎題． 3．（5分）垂直于同一平面的兩條直線一定（　?。? 　 A． 平行 B． 相交 C． 異面 D． 以上都有可能 考點： 直線與平面垂直的性質(zhì)．4420336 專題： 證明題． 分析： 可用反證法證明：垂直于同一平面的兩條直線平行．設直線a、b都與平面α垂直，并假設a、b不平行，再作出輔助線和輔助平面，結合線面垂直的定義和平行線的性質(zhì)，可以證出經(jīng)過空間一點有兩條直線與已知直線垂直，得到與公理矛盾，所以原假設不成立，從而得到原命題是真命題． 解答： 故選A 點評： 本題要求我們判斷垂直于同一平面的兩條直線的位置關系，著重考查了反證法的思路和線面垂直的定義等知識點，屬于基礎題． 　 4．（5分）（xx?山東）下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是（　?。? 　 A． ①② B． ①③ C． ①④ D． ②④ 考點： 簡單空間圖形的三視圖．4420336 專題： 閱讀型． 分析： 利用三視圖的作圖法則，對選項判斷，A的三視圖相同，圓錐，四棱錐的兩個三視圖相同，棱臺都不相同，推出選項即可． 解答： 解：正方體的三視圖都相同，而三棱臺的三視圖各不相同，圓錐和正四棱錐的，正視圖和側(cè)視圖相同， 所以，正確答案為D． 故選D 點評： 本題是基礎題，考查幾何體的三視圖的識別能力，作圖能力，三視圖的投影規(guī)則是主視、俯視 長對正；主視、左視高平齊，左視、俯視 寬相等． 5．（5分）已知ab＜0，bc＜0，則直線ax+by=c通過（　?。? 　 A． 第一、二、三象限 B． 第一、二、四象限 C． 第一、三、四象限 D． 第二、三、四象限 考點： 確定直線位置的幾何要素．4420336 專題： 計算題． 分析： 把直線的方程化為斜截式，判斷斜率及在y軸上的截距的符號，從而確定直線在坐標系中的位置． 解答： 解：直線ax+by=c 即 y= x+， ∵ab＜0，bc＜0， ∴斜率 k=﹣＞0， 在y軸上的截距 ＜0， 故直線第一、三、四象限， 故選C． 點評： 本題考查直線方程的斜截式，由斜率和在y軸上的截距確定直線在坐標系中的位置的方法． 6．（5分）（xx?湖北模擬）若直線l1：y=k（x﹣4）與直線l2關于點（2，1）對稱，則直線l2恒過定點（　　） 　 A． （0，4） B． （0，2） C． （﹣2，4） D． （4，﹣2） 考點： 恒過定點的直線；與直線關于點、直線對稱的直線方程．4420336 專題： 常規(guī)題型． 分析： 先找出直線l1恒過定點（4，0），其關于點（2，1）對稱點（0，2）在直線l2上，可得直線l2恒過定點． 解答： 解：由于直線l1：y=k（x﹣4）恒過定點（4，0），其關于點（2，1）對稱的點為（0，2）， 又由于直線l1：y=k（x﹣4）與直線l2關于點（2，1）對稱，∴直線l2恒過定點（0，2）． 故選B 點評： 本題考查直線過定點問題，由于直線l1和直線l2關于點（2，1）對稱，故有直線l1上的定點關于點（2，1）對稱點 一定在直線l2上． 　7下面四個說法中，正確的個數(shù)為（　　） （1）如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合 （2）兩條直線可以確定一個平面 （3）若M∈α，M∈β，α∩β=l，則M∈l （4）空間中，相交于同一點的三直線在同一平面內(nèi)． 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考點： 平面的基本性質(zhì)及推論．4420336 專題： 閱讀型． 分析： 如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合或者是相交，兩條異面直線不能確定一個平面，若M∈α，M∈β，α∩β=l，則M∈l，空間中，相交于同一點的三直線不一定在同一平面內(nèi)，得到結果． 解答： 解：如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合或者是相交，故（1）不正確； 兩條異面直線不能確定一個平面，故（2）不正確； 若M∈α，M∈β，α∩β=l，則M∈l，故（3）正確； 空間中，相交于同一點的三直線不一定在同一平面內(nèi)，故（4）不正確， 綜上所述只有一個說法是正確的， 故選A． 點評： 本題考查平面的基本性質(zhì)及推論，考查兩個平面相交只有一條交線，考查直線確定平面的條件，本題是一個基礎題． 8. ．已知點，若直線過點與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（C ） A B C D 9．正方體A1B1C1D1﹣ABCD中，E是A1A的中點、F是C1C的中點，與直線A1D1，EF，DC都相交的空間直線有多少條？（　　） 　 A． 1條 B． 無數(shù)條 C． 3條 D． 2條 考點： 空間中直線與直線之間的位置關系．4420336 專題： 空間位置關系與距離． 分析： 先畫出正方體，然后根據(jù)題意試畫與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線，從而發(fā)現(xiàn)結論． 解答： 解：在EF上任意取一點M， 直線A1D1與M確定一個平面， 這個平面與CD有且僅有1個交點N， 當M取不同的位置就確定不同的平面， 從而與CD有不同的交點N， 而直線MN與這3條異面直線都有交點．如圖， 故選B． 點評： 本題主要考查空間中直線與直線之間的位置關系、立體幾何中空間直線相交問題，考查學生的空間想象能力，屬于中檔題． 　 10、如右圖，已知正四棱錐所有棱長都為1，點是側(cè)棱上一動點，過點垂直于的截面將正四棱錐分成上、下兩部分，記截面下面部分的體積為則函數(shù)的圖像大致為 10.A【解析】本題綜合考查了棱錐的體積公式，線面垂直，同時考查了函數(shù)的思想,導數(shù)法解決幾何問題等重要的解題方法. （定性法）當時，隨著的增大，觀察圖形可知，單調(diào)遞減，且遞減的速度越來越快；當時，隨著的增大，觀察圖形可知，單調(diào)遞減，且遞減的速度越來越慢；再觀察各選項中的圖象，發(fā)現(xiàn)只有A圖象符合.故選A. 【點評】對于函數(shù)圖象的識別問題，若函數(shù)的圖象對應的解析式不好求時，作為選擇題，沒必要去求解具體的解析式，不但方法繁瑣，而且計算復雜，很容易出現(xiàn)某一步的計算錯誤而造成前功盡棄；再次，作為選擇題也沒有太多的時間去給學生解答；因此，使用定性法，不但求解快速，而且準確節(jié)約時間. 二、填空題：（每題5分，共計25分） 11．（xx?上海）若直線l過點（3，4），且（﹣2，1）是它的一個方向向量，則直線l的方程為　x+2y﹣11=0?。? 考點： 直線的點斜式方程；向量在幾何中的應用．4420336 專題： 計算題． 分析： 根據(jù)直線的法向量求出方向向量，求出直線的斜率，然后利用點斜式方程求出直線方程． 解答： 解：直線的法向量是（1，2），直線的方向向量為：（﹣2，1），所以直線的斜率為：﹣，所以直線的方程為：y﹣4=﹣（x﹣3）， 所以直線方程為：x+2y﹣11=0． 故答案為：x+2y﹣11=0． 點評： 本題是基礎題，考查直線的法向量，方向向量以及直線的斜率的求法，考查計算能力． 　12.設長方體的長、寬、高分別為2a、a、a，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為　6a2π?。? 考點： 球內(nèi)接多面體；球的體積和表面積．4420336 專題： 計算題． 分析： 考查幾何體的特征，說明長方體的對角線就是外接球的直徑，求出半徑，即可求出球的表面積． 解答： 解：長方體的長、寬、高分別為2a、a、a，其頂點都在一個球面上，長方體的對角線的長就是外接球的直徑，所以球的直徑為：， 所以球的半徑為：，所以球的表面積是：=6a2π 故答案為：6a2π 點評： 本題是基礎題，考查長方體的外接球的知識，考查球的表面積的計算，常考題型． 　13．在斜二測投影下，四邊形ABCD是下底角為45的等腰梯形，其下底長為5，一腰長為，則原四邊形的面積是　8?。? 考點： 斜二測法畫直觀圖．4420336 專題： 計算題；作圖題． 分析： 根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則還原出原圖性，應為直角梯形，利用梯形的面積公式求解即可．也可利用直觀圖和原圖面積的聯(lián)系求解． 解答： 解：作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，則AE=BF=ADcos45=1， ∴CD=EF=3．將原圖復原（如圖）， 則原四邊形應為直角梯形，∠A=90，AB=5，CD=3，AD=2， ∴S四邊形ABCD=?（5+3）?2=8． 故答案為：8． 點評： 本題考查斜二測畫法的理解和應用，考查作圖能力． 　 14．（xx?天津）下列四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥面MNP的圖形的序號是?、佗邸。▽懗鏊蟹弦蟮膱D形序號）． 考點： 直線與平面平行的性質(zhì)．4420336 專題： 綜合題；壓軸題． 分析： 能得出AB∥面MNP，關鍵是看平面MNP中有沒有與AB平行的直線，或者有沒有過AB的平面與平面MNP平行．逐一判斷即可． 解答： 解：①∵面AB∥面MNP， ∴AB∥面MNP． ②若下底面中心為O，易知NO∥AB，NO?面MNP， ∴AB與面MNP不平行． ③易知AB∥MP， ∴AB∥面MNP． ④易知存在一直線MC∥AB，且MC?平面MNP， ∴AB與面MNP不平行． 故答案為：①③ 點評： 本題考查直線與平面平行的判定，是基礎題． 15如圖，在長方形中，，，為的中點，為線段（端點除外）上一動點．現(xiàn)將沿折起，使平面平面．在平面內(nèi)過點作，為垂足．設，則的取值范圍是 ． 答案： 【解析】此題的破解可采用二個極端位置法，即對于F位于DC的中點時，，隨著F點到C點時，因平面，即有，對于，又，因此有，則有，因此的取值范圍是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 三.解答題：（共計75分） 16．（13分）求直線3x﹣2y+24=0的斜率及它在x、y軸上的截距． 考點： 直線的斜率；確定直線位置的幾何要素；直線的截距式方程．4420336 專題： 計算題；直線與圓． 分析： 將直線3x﹣2y+24=0，化成斜截式得y=x+12，可得它的斜率k=．再對直線3x﹣2y+24=0分別令y=0、x=0，得到直線與x軸、y軸的交點坐標，即可得到直線在x軸、y軸上的截距． 解答： 解：∵直線3x﹣2y+24=0化成斜截式，得y=x+12 ∴直線的斜率k=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） ∵對直線3x﹣2y+24=0令y=0，得x=﹣8 ∴直線交x軸于點（﹣8，0），可得直線在x軸上截距是﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） ∵對直線3x﹣2y+24=0令x=0，得y=12 ∴直線交y軸于點（0，12），可得直線在y軸上的截距為12．﹣﹣﹣﹣﹣（13分） 點評： 本題給出直線方程的一般式，求直線的斜率并求它在軸上的截距．著重考查了直線方程的化簡、斜率的概念和直線在軸上截距的求法等知識，屬于基礎題． 　17．（13分一直線過點P（﹣5，﹣4）且與兩坐標軸圍成的三角形面積是5，求此直線的方程． 考點： 直線的截距式方程．4420336 專題： 計算題． 分析： 設直線方程為，則 ，解得a、b的值，即得此直線的方程． 解答： 解：設直線方程為，則 ，解得 或． ∴直線方程為 2x﹣5y﹣10=0或8x﹣5y+20=0． 點評： 本題主要考查用截距式求直線方程的方法，屬于基礎題． 18．（13分）（1）略（2）體積（3）略 19．（13分）如圖：一個圓錐的底面半徑為2，高為6，在其中有一個半徑為x的內(nèi)接圓柱． （1）試用x表示圓柱的體積； （2）當x為何值時，圓柱的側(cè)面積最大，最大值是多少． 考點： 旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）；棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積．4420336 專題： 計算題；空間位置關系與距離． 分析： （1）根據(jù)圓錐的底面半徑為2、高為6，可得內(nèi)接圓柱的半徑為x時，它的高h=6﹣3x，由此結合圓柱體積公式即可列出用x表示圓柱的體積的式子； （2）由（1）可得圓柱的側(cè)面積S側(cè)=6π（2x﹣x2），結合二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，可得當圓柱的底面半徑為1時，圓柱的側(cè)面積最大，側(cè)面積有最大值為6π． 解答： 解：（1）∵圓錐的底面半徑為2，高為6， ∴內(nèi)接圓柱的底面半徑為x時，它的上底面截圓錐得小圓錐的高為3x 因此，內(nèi)接圓柱的高 h=6﹣3x； ∴圓柱的體積V=πx2（6﹣3x） （0＜x＜2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （2）由（1）得，圓柱的側(cè)面積為 S側(cè)=2πx（6﹣3x）=6π（2x﹣x2） （0＜x＜2） 令t=2x﹣x2，當x=1時tmax=1．可得當x=1時，（ S側(cè)）max=6π ∴當圓柱的底面半徑為1時，圓柱的側(cè)面積最大，側(cè)面積有最大值為6π．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分） 點評： 本題給出特殊圓錐，求它的內(nèi)接圓錐的側(cè)面積的最大值，著重考查了圓柱的體積、側(cè)面積公式和旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)接外切等知識點，屬于基礎題． 　 20．（12分）如圖，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE． （Ⅰ）求證：AE⊥平面BCE； （Ⅱ）求證；AE∥平面BFD； （Ⅲ）求三棱錐C﹣BGF的體積． 考點： 直線與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定．4420336 專題： 計算題；證明題． 分析： （1）先證明AE⊥BC，再證AE⊥BF，由線面垂直的判定定理證明結論． （2）利用F、G為邊長的中點證明FG∥AE，由線面平行的判定定理證明結論． （3）運用等體積法，先證FG⊥平面BCF，把原來的三棱錐的底換成面BCF，則高就是FG，代入體積公式求三棱錐的體積． 解答： 解：（Ⅰ）證明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC， ∴BC⊥平面ABE，則AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，則AE⊥BF ∴AE⊥平面BCE．（4分） （Ⅱ）證明：依題意可知：G是AC中點， ∵BF⊥平面ACE，則CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中點．（6分） 在△AEC中，F(xiàn)G∥AE，∴AE∥平面BFD．（8分） （Ⅲ）解：∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥平面BCE， ∴FG⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF，（10分） ∵G是AC中點，∴F是CE中點，且， ∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE．∴Rt△BCE中，． ∴，（12分）∴（14分） 點評： 本題考查線面平行與垂直的證明方法，利用等體積法求三棱錐的體積． 　 21．(xx湖北本小題滿分12分） 如圖，某地質(zhì)隊自水平地面A，B，C三處垂直向地下鉆探，自A點向下鉆到A1處發(fā)現(xiàn)礦藏，再繼續(xù)下鉆到A2處后下面已無礦，從而得到在A處正下方的礦層厚度為．同樣可得在B，C處正下方的礦層厚度分別為，，且. 過，的中點，且與直線平行的平面截多面體所得的截面為該多面體的一個中截面，其面積記為． （Ⅰ）證明：中截面是梯形； （Ⅱ）在△ABC中，記，BC邊上的高為，面積為. 在估測三角形區(qū)域內(nèi)正下方的礦藏儲量（即多面體的體積）時，可用近似公式來估算. 已知，試判斷與V的大小關系，并加以證明.