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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.15《圓與圓的位置關(guān)系》教案 蘇教版必修2 【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】 圓與圓的位置關(guān)系 外切 相交 內(nèi)切 外離 內(nèi)含 知識網(wǎng)絡(luò) 學(xué)習(xí)要求 1．掌握圓與圓的位置關(guān)系的代數(shù)與幾何判別方法； 2．了解用代數(shù)法研究圓的關(guān)系的優(yōu)點； 3．了解算法思想． 【課堂互動】 自學(xué)評價 1．圓與圓之間有外離，外切，相交， 內(nèi)切，內(nèi)含五種位置關(guān)系． 2.設(shè)兩圓的半徑分別為，圓心距為， 當(dāng)時，兩圓外離， 當(dāng)時，兩圓外切， 當(dāng)時，兩圓相交， 當(dāng)時，兩圓內(nèi)切， 當(dāng)時，兩圓內(nèi)含． 3.思考：用代數(shù)方法，通過聯(lián)立方程組，用判別式法可以判斷兩個圓的位置關(guān)系嗎？為什么？ 【精典范例】 例1：判斷下列兩圓的位置關(guān)系： 【解】（1）根據(jù)題意得，兩圓的半徑分別為，兩圓的圓心距 因為 ，所以兩圓外切． （2）將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得． 故兩圓的半徑分別為， 兩圓的圓心距 ． 因為，所以兩圓相交． 點評：判斷兩圓的位置關(guān)系，不僅僅要判斷 與的大小，有時還需要判斷與的關(guān)系． 例2：求過點且與圓 切于原點的圓的方程． 分析：如圖，所求圓經(jīng)過原點和，且圓心應(yīng)在已知圓的圓心與原點的連線上．根據(jù)這三個條件可確定圓的方程． 【解】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得 ， 則圓心為，半徑為．所以經(jīng)過此圓心和原點的直線方程為． 設(shè)所求圓的方程為． 由題意知，在此圓上，且圓心在直線上，則有 于是所求圓的方程是． 點評：此題還可以通過弦的中垂線必過圓心這一性質(zhì)來解題，由題意，圓心必在直線上，又圓心在直線，從而圓心坐標(biāo)為，，所以所求圓的方程為． 追蹤訓(xùn)練一 1.判斷下列兩個圓的位置關(guān)系： ； ． 答案：（1）內(nèi)切，（2）相交． 2. 若圓與圓 相交，求實數(shù)的取值范圍． 答案：． 【選修延伸】 一、兩圓公共弦長及公共弦所在直線方程 例3: 已知圓，圓，求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長． 分析：因兩圓的交點坐標(biāo)同時滿足兩個圓方程，聯(lián)立方程組，消去項、項，即得兩圓的兩個交點所在的直線方程，利用勾股定理可求出兩圓公共弦長． 【解】設(shè)兩圓交點為、，則兩點坐標(biāo)滿足方程組 ，得． 因為，兩點坐標(biāo)都滿足此方程， 所以，即為兩圓公共弦所在的直線方程． 易知圓的圓心，半徑． 又到直線的距離為 ．所以， ．即兩圓的公共弦長為． 點評:本題較為復(fù)雜，要討論的情況比較多，解題過程中要 注重分析． 例5：求過兩圓 的交點，且圓心在直線上的圓的方程． 分析：所求圓圓心是兩已知圓連心線和已知直線的交點，再利用弦心距、弦長、半徑之間的關(guān)系求圓半徑 【解】（法一）可求得兩圓連心線所在直線的方程為． 由得圓心． 利用弦心距、弦長、半徑之間的關(guān)系可求得公共弦長， 所以，圓半徑 ． 所以，所求圓方程為， 即 （法二）設(shè)所求圓的方程為即． 故此圓的圓心為，它在直線上， 所以，所以． 所以所求圓方程為 點評:“解法二”中設(shè)出的經(jīng)過兩已知圓交點的圓方程叫做經(jīng)過兩已知圓的圓系方程． 思維點拔： 解題時要充分利用兩圓位置關(guān)系的幾何性質(zhì)． 追蹤訓(xùn)練二 1．一個圓經(jīng)過圓和圓的兩個交點，且圓心在直線上，求該圓的方程． 答案：． 2．已知一個圓經(jīng)過直線與圓的兩個交點，并且有最小面積，求此圓的方程． 答案：． 第15課 圓與圓的位置關(guān)系 分層訓(xùn)練 1． 圓與圓 的位置關(guān)系是 （ ） 相離 相交 外切 內(nèi)切 2． 兩圓：，： 的公切線有（ ） 2條 3條 4條 0條 3．已知半徑為1的動圓與圓相切，則動圓圓心的軌跡方程(動圓圓心坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式)為（ ） 或 或 4．若圓始終平分圓的圓周，則應(yīng)滿足的關(guān)系式為 （ ） 5．若圓和圓關(guān)于直線對稱，則的方程為 ． 6．圓與圓相交于兩點，則直線的方程為 ，公共弦的長為 ． 7．已知動圓恒過一個定點,這個定點的坐標(biāo)是______ ． 8．求經(jīng)過點，且與圓相切于點的圓的方程． 9．求與兩條平行直線和 相切，且圓心在直線上的圓的方程． 拓展研究 10．已知圓與圓相交于兩點． （1）求直線的方程； （2）求經(jīng)過兩點且面積最小的圓的方程； （3）求圓心在直線上，且經(jīng)過兩點的圓的方程． 11．若兩圓及在交點處的切線互相垂直，求實數(shù)的值．