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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2.1 向量加法運(yùn)算及其幾何意義教案 新人教A版必修4 教學(xué)分析 向量的加法是學(xué)生在認(rèn)識(shí)向量概念之后首先要掌握的運(yùn)算,是向量的第二節(jié)內(nèi)容.其主要內(nèi)容是運(yùn)用向量的定義和向量相等的定義得出向量加法的三角形法則、平行四邊形法則,并對(duì)向量加法的交換律、結(jié)合律進(jìn)行證明,同時(shí)運(yùn)用他們進(jìn)行相關(guān)計(jì)算,這可讓同學(xué)們進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)向量幾何意義的理解,同時(shí)也為接下來學(xué)習(xí)向量的減法奠定基礎(chǔ),起到承上啟下的重要作用.學(xué)生已經(jīng)通過上節(jié)的學(xué)習(xí),掌握了向量的概念、幾何表示,理解了什么是相等向量和共線向量.在學(xué)習(xí)物理的過程中,已經(jīng)知道位移、速度和力這些物理量都是向量,可以合成,而且知道這些矢量的合成都遵循平行四邊形法則,這為本課題的引入提供了較好的條件. 培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)是當(dāng)今數(shù)學(xué)教育的主題,本節(jié)課的內(nèi)容與實(shí)際問題聯(lián)系緊密,更應(yīng)強(qiáng)化數(shù)學(xué)來源于實(shí)際又應(yīng)用于實(shí)際的意識(shí).在向量加法的概念中,由于涉及到兩個(gè)向量有不平行和平行這兩種情況,因此有利于滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想,而在猜測(cè)向量加法的運(yùn)算律時(shí),通過引導(dǎo)學(xué)生利用實(shí)數(shù)加法的運(yùn)算律進(jìn)行類比.則能培養(yǎng)學(xué)生類比、遷移等能力.在實(shí)際教學(xué)中,類比數(shù)的運(yùn)算,向量也能夠進(jìn)行運(yùn)算.運(yùn)算引入后,向量的工具作用才能得到充分發(fā)揮.實(shí)際上,引入一個(gè)新的量后,考察它的運(yùn)算及運(yùn)算律,是數(shù)學(xué)研究中的基本問題.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)考察一個(gè)量的運(yùn)算問題,最主要的是認(rèn)清運(yùn)算的定義及其運(yùn)算律,這樣才能正確、方便地實(shí)施運(yùn)算. 向量的加法運(yùn)算是通過類比數(shù)的加法,以位移的合成、力的合力等兩個(gè)物理模型為背景引入的.這樣做使加法運(yùn)算的學(xué)習(xí)建立在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上,同時(shí)還可以提醒學(xué)生注意,由于向量有方向,因此在進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí),不但要考慮大小問題,而且要考慮方向問題,從而使學(xué)生體會(huì)向量運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算的聯(lián)系與區(qū)別.這樣做,有利于學(xué)生更好地把握向量加法的特點(diǎn). 三維目標(biāo) 1.通過經(jīng)歷向量加法的探究,掌握向量加法概念,結(jié)合物理學(xué)實(shí)際理解向量加法的意義.能熟練地掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則,并能作出已知兩向量的和向量. 2.在應(yīng)用活動(dòng)中,理解向量加法滿足交換律和結(jié)合律及表述兩個(gè)運(yùn)算律的幾何意義.掌握有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)向量的和,比如共線向量、共起點(diǎn)向量、共終點(diǎn)向量等. 3.通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí),讓學(xué)生認(rèn)識(shí)事物之間的相互轉(zhuǎn)化,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的作用.培養(yǎng)學(xué)生類比、遷移、分類、歸納等能力. 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):向量加法的運(yùn)算及其幾何意義. 教學(xué)難點(diǎn):對(duì)向量加法法則定義的理解. 課時(shí)安排 1課時(shí) 教學(xué)過程 導(dǎo)入新課 思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)上一節(jié),我們一起學(xué)習(xí)了向量的有關(guān)概念,明確了向量的表示方法,了解了零向量、單位向量、平行向量、相等向量等概念,并接觸了這些概念的辨析判斷.另外,向量和我們熟悉的數(shù)一樣也可以進(jìn)行加減運(yùn)算,這一節(jié),我們先學(xué)習(xí)向量的加法. 思路2.(問題導(dǎo)入)xx年大陸和臺(tái)灣沒有直航,因此春節(jié)探親,要先從臺(tái)北到香港,再從香港到上海,這兩次位移之和是什么?怎樣列出數(shù)學(xué)式子？一位同學(xué)按以下的命令進(jìn)行活動(dòng):向北走20米,再向西走15米,再向東走5米,最后向南走10米,怎樣計(jì)算他所在的位置?由此導(dǎo)入新課. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問題 ①數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算,向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算呢？類比數(shù)的加法,猜想向量的加法,應(yīng)怎樣定義向量的加法？ ②猜想向量加法的法則是什么?與數(shù)的運(yùn)算法則有什么不同? 圖1 活動(dòng):向量是既有大小、又有方向的量,教師引導(dǎo)學(xué)生回顧物理中位移的概念,位移可以合成,如圖1.某對(duì)象從A點(diǎn)經(jīng)B點(diǎn)到C點(diǎn),兩次位移、的結(jié)果,與A點(diǎn)直接到C點(diǎn)的位移結(jié)果相同.力也可以合成,老師引導(dǎo),讓學(xué)生共同探究如下的問題: 圖2(1)表示橡皮條在兩個(gè)力的作用下,沿著GC的方向伸長(zhǎng)了EO；圖2(2)表示撤去F1和F2,用一個(gè)力F作用在橡皮條上,使橡皮條沿著相同的方向伸長(zhǎng)相同的長(zhǎng)度. 圖2 改變力F1與F2的大小和方向,重復(fù)以上的實(shí)驗(yàn),你能發(fā)現(xiàn)F與F1、F2之間的關(guān)系嗎? 力F對(duì)橡皮條產(chǎn)生的效果與力F1與F2共同作用產(chǎn)生的效果相同,物理學(xué)中把力F叫做F1與F2的合力. 合力F與力F1、F2有怎樣的關(guān)系呢?由圖2(3)發(fā)現(xiàn),力F在以F1、F2為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線上,并且大小等于平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng). 數(shù)的加法啟發(fā)我們,從運(yùn)算的角度看,F可以認(rèn)為是F1與F2的和,即位移、力的合成看作向量的加法. 討論結(jié)果:①向量加法的定義:如圖3,已知非零向量a、b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作=a,=b,則向量叫做a與b的和,記作a+b,即a+b=+=. 圖3 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法. ②向量加法的法則: 1向量加法的三角形法則 在定義中所給出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法則.運(yùn)用這一法則時(shí)要特別注意“首尾相接”,即第二個(gè)向量要以第一個(gè)向量的終點(diǎn)為起點(diǎn),則由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)的向量即為和向量.0 位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型. 2向量加法的平行四邊形法則 圖4 如圖4,以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形,則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線就是a與b的和.我們把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則. 力的合成可以看作向量加法的物理模型. 提出問題 ①對(duì)于零向量與任一向量的加法,結(jié)果又是怎樣的呢？ ②兩共線向量求和時(shí),用三角形法則較為合適.當(dāng)在數(shù)軸上表示兩個(gè)向量時(shí),它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？ ③思考|a+b|,|a|,|b|存在著怎樣的關(guān)系？ ④數(shù)的運(yùn)算和運(yùn)算律緊密聯(lián)系,運(yùn)算律可以有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算.類似地,向量的加法是否也有運(yùn)算律呢? 活動(dòng):觀察實(shí)際例子,教師啟發(fā)學(xué)生思考,并適時(shí)點(diǎn)撥,誘導(dǎo),探究向量的加法在特殊情況下的運(yùn)算,共線向量加法與數(shù)的加法之間的關(guān)系.數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律,即對(duì)任意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任意向量a,b的加法是否也滿足交換律和結(jié)合律?引導(dǎo)學(xué)生畫圖進(jìn)行探索. 討論結(jié)果:①對(duì)于零向量與任一向量,我們規(guī)定a+0=0+a=a. ②兩個(gè)數(shù)相加其結(jié)果是一個(gè)數(shù),對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn);在數(shù)軸上的兩個(gè)向量相加,它們的和仍是一個(gè)向量,對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的一條有向線段. ③當(dāng)a,b不共線時(shí),|a+b|<|a|+|b|(即三角形兩邊之和大于第三邊); 當(dāng)a,b共線且方向相同時(shí),|a+b|=|a|+|b|; 當(dāng)a,b共線且方向相反時(shí),|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中當(dāng)向量a的長(zhǎng)度大于向量b的長(zhǎng)度時(shí),|a+b|=|a|-|b|;當(dāng)向量a的長(zhǎng)度小于向量b的長(zhǎng)度時(shí),|a+b|=|b|-|a|. 一般地,我們有|a+b|≤|a|+|b|. ④如圖5,作=a,=b,以AB、AD為鄰邊作ABCD,則=b,=a. 因?yàn)?+=a+b,=+=b+a,所以a+b=b+a. 如圖6,因?yàn)?+=(+)+=(a+b)+c, ==+=+(+)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c). 綜上所述,向量的加法滿足交換律和結(jié)合律. 圖5 圖6 應(yīng)用示例 思路1 例1 如圖7,已知向量a、b,求作向量a+b. 活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生,讓學(xué)生探究分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量.在向量加法的作圖中,學(xué)生體會(huì)作法中在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O的依據(jù)——它體現(xiàn)了向量起點(diǎn)的任意性.在向量作圖時(shí),一般都需要進(jìn)行向量的平移,用平行四邊形法則作圖時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)向量的起點(diǎn)放在一起,而用三角形法則作圖則要求首尾相連. 圖7 圖8 圖9 解:作法一:在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O(如圖8),作=a,=b,則=a+b. 作法二:在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O(如圖9),作=a,=b.以O(shè)A、OB為鄰邊作OACB,連接OC,則=a+b. 變式訓(xùn)練 化簡(jiǎn):(1)+;(2)++;(3)++++. 活動(dòng):根據(jù)向量加法的交換律使各向量首尾順次相接,再運(yùn)用向量加法的結(jié)合律調(diào)整運(yùn)算順序,然后相加. 解:(1)+=+=. (2)++=++=(+)+=+=0. (3)++++FA=++++ =+++=++=+=0. 點(diǎn)評(píng):要善于運(yùn)用向量的加法的運(yùn)算法則及運(yùn)算律來求和向量. 例2 長(zhǎng)江兩岸之間沒有大橋的地方,常常通過輪渡進(jìn)行運(yùn)輸.如圖10所示,一艘船從長(zhǎng)江南岸A點(diǎn)出發(fā),以5 km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛,同時(shí)江水的速度為向東2 km/h. (1)試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度(保留兩個(gè)有效數(shù)字); (2)求船實(shí)際航行的速度的大小與方向(用與江水速度間的夾角表示,精確到度). 圖10 圖11 活動(dòng):本例結(jié)合一個(gè)實(shí)際問題說明向量加法在實(shí)際生活中的應(yīng)用.這樣的問題在物理中已有涉及,這里是要學(xué)生能把它抽象為向量的加法運(yùn)算,體會(huì)其中應(yīng)解決的問題是向量模的大小及向量的方向(與某一方向所成角的大小).引導(dǎo)點(diǎn)撥學(xué)生正確理解題意,將實(shí)際問題反映在向量作圖上,從而與初中學(xué)過的解直角三角形建立聯(lián)系. 解:如圖11所示,表示船速,表示水速,以AD、AB為鄰邊作ABCD,則表示船實(shí)際航行的速度. (2)在Rt△ABC中,||=2,||=5, 所以||=≈5.4. 因?yàn)閠an∠CAB=,由計(jì)算器得∠CAB=70. 答:船實(shí)際航行速度的大小約為5.4 km/h,方向與水的流速間的夾角為70. 點(diǎn)評(píng):用向量法解決物理問題的步驟為:先用向量表示物理量,再進(jìn)行向量運(yùn)算,最后回扣物理問題,解決問題. 變式訓(xùn)練 用向量方法證明對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形. 圖12 活動(dòng):本題是一道平面幾何題,如果用純幾何的方法去思考,問題不難解決,如果用向量法來解,不僅思路清晰,而且運(yùn)算簡(jiǎn)單.將互相平分利用向量表達(dá),以此為條件推證使四邊形為平行四邊形的向量等式成立.教師引導(dǎo)學(xué)生探究怎樣用向量法解決幾何問題,并在解完后總結(jié)思路方法. 證明:如圖12,設(shè)四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,=+,=+. AC與BD互相平分,=,=,=, 因此∥且||=||, 即四邊形ABCD是平行四邊形. 點(diǎn)評(píng):證明一個(gè)四邊形是平行四邊形時(shí),只需證明=或=即可.而要證明一個(gè)四邊形是梯形,需證明與共線,且||≠|(zhì)|. 思路2 例3 如圖13,O為正六邊形ABCDEF的中心,作出下列向量: (1)+;(2)+;(3)+. 活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生由向量的平行四邊形法則(三角形法則)作出相應(yīng)的向量.教師一定要讓學(xué)生親自動(dòng)手操作,對(duì)思路不清的學(xué)生教師適時(shí)地給予點(diǎn)撥指導(dǎo). 圖13 解:(1)因四邊形OABC是以O(shè)A、OC為鄰邊的平行四邊形,OB是其對(duì)角線, 故+=. (2)因=, 故+與方向相同,長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度的2倍, 故+=. (3)因=, 故+=+=0. 點(diǎn)評(píng):向量的運(yùn)算結(jié)合平面幾何知識(shí),在長(zhǎng)度和方向兩個(gè)方面做文章.應(yīng)深刻理解向量的加、減法的幾何意義. 例2 在長(zhǎng)江的某渡口處,江水以12.5 km/h的速度向東流,渡船的速度是25 km/h,渡船要垂直地渡過長(zhǎng)江,其航向應(yīng)如何確定？ 活動(dòng): 如圖14,渡船的實(shí)際速度、船速與水速應(yīng) 滿足+=. 圖14 解:設(shè)表示水流速度,表示渡船的速度,表示渡船實(shí)際垂直過江的速度,以AB為一邊,AC為對(duì)角線作平行四邊形,就是船的速度. 在Rt△ACD中,∠ACD=90,||=||=12.5,||=25,∠CAD=30. 答:渡船的航向?yàn)楸逼?0. 點(diǎn)評(píng):根據(jù)題意畫出草圖,是解決問題的關(guān)鍵. 變式訓(xùn)練 已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),若+++=0,則四邊形ABCD是怎樣的四邊形?點(diǎn)O是四邊形的什么點(diǎn)? 活動(dòng):要判斷四邊形的形狀就必須找出四邊形邊的某些關(guān)系,如平行、相等等;而要判斷點(diǎn)O是該四邊形的什么點(diǎn),就必須找到該點(diǎn)與四邊形的邊或?qū)蔷€的關(guān)系. 圖15 解:如圖15所示,設(shè)點(diǎn)O是任一四邊形ABCD內(nèi)的一點(diǎn),且+++=0,過A作AEOD,連結(jié)ED,則四邊形AEDO為平行四邊形, 設(shè)OE與AD的交點(diǎn)為M,過B作BFOC,則四邊形BOCF為平行四邊形, 設(shè)OF與BC的交點(diǎn)為N,于是M、N分別是AD、BC的中點(diǎn). ∵+++=0,+=+=,+=+=, ∴+=0, 即與的長(zhǎng)度相等,方向相反. ∴M、O、N三點(diǎn)共線, 即點(diǎn)O在AD與BC的中點(diǎn)連線上. 同理,點(diǎn)O也在AB與DC的中點(diǎn)連線上. ∴點(diǎn)O是四邊形ABCD對(duì)邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn),且該四邊形可以是任意四邊形. 知能訓(xùn)練 課本本節(jié)練習(xí). 解答:1.直接在教科書上據(jù)原圖作(此處從略). 2.直接在教科書上據(jù)原圖作(此處從略). 3.(1)；(2). 點(diǎn)評(píng):在向量的加法中要注意向量箭頭的方向. 4.(1)c；(2)f；(3)f；(4)g. 點(diǎn)評(píng):通過填空,使學(xué)生得出首尾相接的幾個(gè)向量的求和規(guī)律. 課堂小結(jié) 1.先由學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí):向量的加法定義,向量加法的三角形法則和平行四邊形法則,向量加法滿足交換律和結(jié)合律,幾何作圖,向量加法的實(shí)際應(yīng)用. 2.教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法:特殊與一般,歸納與類比,數(shù)形結(jié)合,分類討論,特別是通過知識(shí)遷移類比獲得新知識(shí)的過程與方法.這種遷移類比的方法將把我們引向數(shù)學(xué)的王國(guó),科學(xué)的殿堂. 作業(yè) 如圖16所示,已知矩形ABCD中,||=4,設(shè)=a,=b,=c,試求向量a+b+c的模. 圖16 解:過D作AC的平行線,交BC的延長(zhǎng)線于E, ∴DE∥AC,AD∥BE. ∴四邊形ADEC為平行四邊形. ∴=,=. 于是a+b+c=++=+==+=2, ∴|a+b+c|=2||=8. 點(diǎn)評(píng):求若干個(gè)向量的和的模(或最值)的問題通常按下列步驟進(jìn)行: (1)尋找或構(gòu)造平行四邊形,找出所求向量的關(guān)系式; (2)用已知長(zhǎng)度的向量表示待求向量的模,有時(shí)還要利用模的重要性質(zhì). 設(shè)計(jì)感想 1.本節(jié)內(nèi)容是向量的加法,運(yùn)算法則有三角形法則和平行四邊形法則,而兩個(gè)法則的運(yùn)用有各自的條件:三角形法則適合于首尾順次相接的兩向量相加,對(duì)于共線向量的加法仍然適合；而平行四邊形法則適合于兩個(gè)同起點(diǎn)的向量相加,對(duì)于共線向量卻不能用此法解決.三角形法則可以推廣到多個(gè)首尾順次相接的向量的加法. 2.本節(jié)要求使用多媒體輔助教學(xué),便于直觀、生動(dòng)地揭示向量加法的概念,突破難點(diǎn),提高效率,因?yàn)楸竟?jié)解決問題的方法主要是借助圖形,采用數(shù)形結(jié)合的思想方法.多讓學(xué)生動(dòng)手畫圖,識(shí)圖,讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)中經(jīng)歷和體會(huì)概念的形成過程.讓學(xué)生自己類比、猜想、發(fā)現(xiàn)及應(yīng)用新知識(shí)解決問題.