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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 直線與圓錐曲線 板塊一 直線與橢圓(2)完整講義（學(xué)生版） 1．橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡（或集合）叫做橢圓． 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距． 2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ①，焦點(diǎn)是，，且． ②，焦點(diǎn)是，，且． 3．橢圓的幾何性質(zhì)（用標(biāo)準(zhǔn)方程研究）： ⑴范圍：，； ⑵對(duì)稱性：以軸、軸為對(duì)稱軸，以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心又叫做橢圓的中心； ⑶橢圓的頂點(diǎn)：橢圓與它的對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn)，如圖中的； ⑷長(zhǎng)軸與短軸：焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸上，兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段稱為橢圓的長(zhǎng)軸，如圖中線段的；另一對(duì)頂點(diǎn)間的線段叫做橢圓的短軸，如圖中的線段． ⑸橢圓的離心率：，焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比，，越趨近于，橢圓越扁； 反之，越趨近于，橢圓越趨近于圓． 4．直線：與圓錐曲線：的位置關(guān)系： 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離．對(duì)于拋物線來(lái)說(shuō)，平行于對(duì)稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對(duì)于雙曲線來(lái)說(shuō)，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切．這三種位置關(guān)系的判定條件可歸納為： 設(shè)直線：，圓錐曲線：，由 消去（或消去）得：． 若，，相交；相離；相切． 若，得到一個(gè)一次方程：①為雙曲線，則與雙曲線的漸近線平行；②為拋物線，則與拋物線的對(duì)稱軸平行． 因此直線與拋物線、雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件． 5．連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦． 求弦長(zhǎng)的一種求法是將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求； 另外一種求法是如果直線的斜率為，被圓錐曲線截得弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則弦長(zhǎng)公式為． 兩根差公式： 如果滿足一元二次方程：， 則（）． 6．直線與圓錐曲線問(wèn)題的常用解題思路有： ①?gòu)姆匠痰挠^點(diǎn)出發(fā)，利用根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)進(jìn)行討論，這是用代數(shù)方法來(lái)解決幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)．要重視通過(guò)設(shè)而不求與弦長(zhǎng)公式簡(jiǎn)化計(jì)算，并同時(shí)注意在適當(dāng)時(shí)利用圖形的平面幾何性質(zhì)． ②以向量為工具，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決與中點(diǎn)、弦長(zhǎng)、角度相關(guān)的問(wèn)題． 典例分析 【例1】 設(shè)橢圓過(guò)點(diǎn)，且左焦點(diǎn)為 ⑴求橢圓的方程； ⑵當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上． 【例2】 已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切． ⑴求橢圓的方程； ⑵設(shè)，，是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn)，證明直線與軸相交于定點(diǎn)； ⑶在⑵的條件下，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求的取值范圍． 【例3】 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為． ⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； ⑵若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． 【例4】 在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和是，點(diǎn)的軌跡是與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，不過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)和． ⑴求軌跡的方程； ⑵當(dāng)時(shí)，求與的關(guān)系，并證明直線過(guò)定點(diǎn)． 【例5】 在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和是，點(diǎn)的軌跡是，直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)和． ⑴求軌跡的方程； ⑵是否存在常數(shù)，？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【例6】 設(shè)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率，且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)． ⑴求橢圓的方程； ⑵是否存在直線，使得．若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由． ⑶若是橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的弦，，求證：為定值． 【例7】 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為、，且四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形． ⑴求橢圓的方程； ⑵若、分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，連結(jié)，交橢圓于點(diǎn)． 證明：為定值． ⑶在⑵的條件下，試問(wèn)軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)直線、的交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由． 【例8】 已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，斜率為且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，與共線． ⑴求橢圓的離心率； ⑵設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值． 【例9】 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且離心率．過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)． ⑴求橢圓的方程； ⑵在軸上是否存在點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．