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2019-2020年高三數(shù)學總復習 指數(shù)函數(shù)教案 理 教材分析 指數(shù)函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，在數(shù)學中占有重要地位，在實際中有著十分廣泛的應用，如細胞分裂、考古中所用的14C的衰減、放射性物質(zhì)的剩留量等都與指數(shù)函數(shù)有關．有理指數(shù)冪及其運算是學習指數(shù)函數(shù)的基礎． 教材首先通過實例引入什么是指數(shù)函數(shù)．然后給出三個具體例子y＝2x，y＝10x，y＝（）x，用描點法畫其圖像，并借助圖像，觀察得出指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、圖像過定點（1，0）及單調(diào)性．最后配備恰當?shù)牧曨}及練習．在知識的形成過程中，體現(xiàn)圖像觀察、歸納猜想的思想．這節(jié)內(nèi)容的重點是指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，難點是應用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決相關問題． 教學目標 1. 了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景． 2. 理解并掌握指數(shù)函數(shù)的定義、圖像及性質(zhì)． 3. 通過對指數(shù)函數(shù)的概念、性質(zhì)的歸納、抽象和概括，體驗數(shù)學知識的產(chǎn)生和形成的過程，培養(yǎng)學生的抽象概括能力． 4. 在解決簡單實際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的數(shù)學模型，培養(yǎng)學生的應用意識． 任務分析 學生在學習本節(jié)內(nèi)容時，已學過了一些基本函數(shù)，如二次函數(shù)，并且學過有理指數(shù)冪及其運算，這均為學生學習這節(jié)內(nèi)容奠定了基礎．由應用問題建立指數(shù)函數(shù)模型是個難點，為此一定要使學生理解問題的意義，進而由少到多、由淺入深逐步建立起兩個變量間的關系．要重視列表、畫圖像的過程，這樣才有利于觀察、歸納出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．要充分顯示出知識的形成過程． 教學設計 一、問題情境 某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個……如果1個這樣的細胞分裂x次后，得到細胞的個數(shù)為ｙ，試求y關于x的函數(shù)關系式． 先由學生獨立解答，然后教師明晰細胞分裂的規(guī)律是：每次每個細胞分裂為2個． 當x＝0時，y＝1＝20； 當x＝1時，y＝202＝21； 當x＝2時，y＝212＝22； 當x＝3時，y＝222＝23； …… 歸納：分裂x次，得到細胞的個數(shù)y＝2x，其中x∈N． 二、建立模型 1. 學生討論 上面得到的函數(shù)y＝2x有何特點？ （底數(shù)為常數(shù)，自變量在指數(shù)的位置上） 2. 教師明晰 一般地，函數(shù)y＝ax，（a＞0且a≠1，x∈R）叫作指數(shù)函數(shù)． 思考：為什么要限制a＞0且a≠1？ （理由：當a＝0，x≤0時，ax無意義；當a＜0時，如y＝（－2）無意義；當a＝1時，y＝1x＝1是常數(shù)函數(shù)．沒有研究的必要．） 3. 練　習 在同一坐標系內(nèi)，畫出下面三個指數(shù)函數(shù)的圖像． （1）y＝2x．　（2）y＝10x．?。?）y＝（）x． 解：列表： 描點，畫圖： 4. 觀察上面的函數(shù)的圖像，結合列表，歸納總結出指數(shù)函數(shù)y＝ax的性質(zhì) （1）定義域是（－∞，＋∞），值域是（0，＋∞）． （2）函數(shù)圖像在x軸的上方且都過定點（0，1）． （3）當a＞1時，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，且當x＞0時，y＞1；當x＜0時，0＜y＜1． 當0＜a＜1時，函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，且當x＞0時，0＜y＜1；當x＜0時，y＞1． 5. 提出問題，組織學生討論 （1）函數(shù)y＝2x與y＝x2的圖像有何關系？試對你的結論加以證明． （2）試舉一個在生活、生產(chǎn)、科技等實際中與指數(shù)函數(shù)有關的例子． 三、解釋應用 ［例　題］ 1. 利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，比較下列各題中兩個值的大?。? （1）1.72.5與1.73．?。?）0.8-0.1與0.8-0.2． 解：（1）考查指數(shù)函數(shù)y＝1.7x． ∵1.7＞1，∴y＝1.7x在（－∞，＋∞）是增函數(shù)． 又2.5＜3，∴1.72.5＜1.73． （2）類似（1），得0.8-0.1＜0.8-0.2． 思考：怎樣比較1.70.3與0.93.1的大??？ 2. 某種放射性物質(zhì)不斷衰變?yōu)槠渌镔|(zhì)，每經(jīng)過1年剩留的這種物質(zhì)是原來的84%．畫出這種物質(zhì)的剩留量隨時間變化的圖像，并根據(jù)圖像求出經(jīng)過多少年，剩留量是原來的一半．（結果保留1個有效數(shù)字） 解：設這種物質(zhì)最初的質(zhì)量是1，經(jīng)過x年，剩留量是y，則 經(jīng)過1年，剩留量y＝184%＝0.841； 經(jīng)過2年，剩留量y＝0.840.84＝0.842； …… 經(jīng)過x年，剩留量y＝0.84x． 列表： 表11-3 x 0 1 2 3 4 5 y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 畫出指數(shù)函數(shù)y＝0.84x的圖像： 由圖上看出y＝0.5時，x≈4． 答：約經(jīng)過4年，剩留量是原來的一半． 說明：為便于觀察，兩軸上的單位長度可不相等． 3. 說明下列函數(shù)的圖像與指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖像的關系，并畫出它們的草圖． （1）y＝2x＋1．　　　　（2）y＝2x－2． 解：（1）比較函數(shù)y＝2x＋1與y＝2x的關系，知y＝2-1+1與y＝x0相等． ∴函數(shù)y＝2x＋1中的x＝－1時的y值，與函數(shù)y＝2x中的x＝0時的y值相等． 又y＝20+1與y＝x1相等； y＝23+1與y＝x4相等； …… ∴將指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖像向左平行移動1個單位長度，即可得到函數(shù)y＝2x＋1的圖像． （2）將指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖像向右平行移動2個單位長度，即可得到函數(shù)y＝2x-2的圖像． ［練　習］ 1. 比較大小： ?。?）1.01-2與1.01-3.5．　　　　　（2）0.75-0.1與0.750.1． 2. 畫出下列函數(shù)的圖像． （1）y＝3x．　　?。?）y＝（）x． 3. 求下列函數(shù)的定義域． （１）y＝．　　?。?）y＝． 4. 已知函數(shù)f（x）＝ax在［0，1］上的最大值與最小值之和為3，求a的值． 5. 用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，試寫出存留污垢y與漂洗次數(shù)x的函數(shù)關系式．如果要使存留的污垢不超過原有的1%，那么至少要漂洗幾次？ 四、拓展延伸 1. 在例題2中，函數(shù)y＝0.84x與函數(shù)y＝0.5的圖像的交點橫坐標是方程0.84x＝0.5的解嗎？ 思考：你能判斷出方程2x＋x2－2＝0有幾個實數(shù)根嗎？ 2. 以下是某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值表： 表11-4 身高／cm 60 70 80 90 100 110 體重／kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 身高／cm 120 130 140 150 160 170 體重／kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 ?。?）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，能否從我們已經(jīng)學過的函數(shù)y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝，y＝abx中選擇一種函數(shù)使它比較近似地反映出該地區(qū)未成年男性體重y關于身高x的函數(shù)關系？若能，求出這個函數(shù)解析式． （2）如果體重超過相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么該地區(qū)某中學一男生身高為175cm，體重為78kg，問：他的體重是否正常？ 解：（1）以身高為橫坐標，體重為縱坐標，在直角坐標系中畫出散點圖如下．根據(jù)圖，可考慮用函數(shù)y＝abx，反映上述數(shù)據(jù)之間的對應關系． 把x＝70，y＝7.90和x＝160，y＝47.25兩組數(shù)據(jù)代入y＝abx，得 利用計算器計算，得a＝2，b＝1.02． 所以，該地區(qū)未成年男性體重關于身高的近似函數(shù)式可選為y＝21.02x． 將已知數(shù)據(jù)代入所得的函數(shù)解析式或作出所得函數(shù)的圖像，可知所求函數(shù)能較好地反映該地區(qū)未成年男性體重與身高的關系． （2）把x＝175代入y＝21.02x，得 y＝21.02175． 利用計算器計算，得y＝63.98． 由于7863.98≈1.22＞1.2， 因此，這名男生體型偏胖． 點　評 這節(jié)課的中心問題有三個，即指數(shù)函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì)，圍繞這三個問題，這篇案例進行了精心設計：首先通過實例引入了指數(shù)函數(shù)的概念，再通過畫具體的指數(shù)函數(shù)的圖像歸納出一般指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．這樣安排有利于學生理解指數(shù)函數(shù)的概念，掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．選配的例題難易適中，具有典型性和代表性．練習由易到難，既可以鞏固基礎知識，又可以提高學生的解題技能．“拓展延伸”對本節(jié)中心內(nèi)容進行了拓展，有用圖像法求方程的解，判斷方程根的個數(shù)；有函數(shù)圖像的平移；還有應用題．這些都是數(shù)學中經(jīng)常遇到的問題，它們的解決將有利于學生今后的學習．