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2019-2020年高中數(shù)學 1.2.1 任意角的三角函數(shù)教案 新人教A版必修4 教學分析 學生已經(jīng)學過銳角三角函數(shù),它是用直角三角形邊長的比來刻畫的.銳角三角函數(shù)的引入與“解三角形”有直接關(guān)系.任意角的三角函數(shù)是刻畫周期變化現(xiàn)象的數(shù)學模型,它與“解三角形”已經(jīng)沒有什么關(guān)系了.因此,與學習其他基本初等函數(shù)一樣,學習任意角的三角函數(shù),關(guān)鍵是要使學生理解三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì),并能用三角函數(shù)描述一些簡單的周期變化規(guī)律,解決簡單的實際問題. 本節(jié)以銳角三角函數(shù)為引子,利用單位圓上點的坐標定義三角函數(shù).由于三角函數(shù)與單位圓之間的這種緊密的內(nèi)部聯(lián)系,使得我們在討論三角函數(shù)的問題時,對于研究哪些問題以及用什么方法研究這些問題等,都可以從圓的性質(zhì)(特別是對稱性)中得到啟發(fā).三角函數(shù)的研究中,數(shù)形結(jié)合思想起著非常重要的作用. 利用信息技術(shù),可以很容易地建立角的終邊和單位圓的交點坐標、單位圓中的三角函數(shù)線之間的聯(lián)系,并在角的變化過程中,將這種聯(lián)系直觀地體現(xiàn)出來.所以,信息技術(shù)可以幫助學生更好地理解三角函數(shù)的本質(zhì).激發(fā)學生對數(shù)學研究的熱情,培養(yǎng)學生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神;通過學生之間、師生之間的交流合作,實現(xiàn)共同探究、教學相長的教學情境. 三維目標 1.通過借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義,理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù),并從任意角的三角函數(shù)定義認識正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域,理解并掌握正弦、余弦、正切函數(shù)在各象限內(nèi)的符號. 2.通過對任意角的三角函數(shù)定義的理解,掌握終邊相同角的同一三角函數(shù)值相等. 3.正確利用與單位圓有關(guān)的有向線段,將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值表示出來,即用正弦線、余弦線、正切線表示出來. 4.能初步應用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡單問題. 重點難點 教學重點:任意角的正弦、余弦、正切的定義,終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等. 教學難點:用角的終邊上的點的坐標來刻畫三角函數(shù);三角函數(shù)符號;利用與單位圓有關(guān)的有向線段,將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值用幾何形式表示. 課時安排 2課時 教學過程 第1課時 導入新課 思路1.我們把角的范圍推廣了,銳角三角函數(shù)的定義還能適用嗎?譬如三角形內(nèi)角和為180,那么sin200的值還是三角形中200的對邊與斜邊的比值嗎?類比角的概念的推廣,怎樣修正三角函數(shù)定義?由此展開新課.另外用“單位圓定義法”單刀直入給出定義,然后再在適當時機聯(lián)系銳角三角函數(shù),這也是一種不錯的選擇. 思路2.教師先讓學生看教科書上的“思考”,通過這個“思考”提出用直角坐標系中角的終邊上點的坐標表示銳角三角函數(shù)的問題,以引導學生回憶銳角三角函數(shù)概念,體會引進象限角概念后,用角的終邊上點的坐標比表示銳角三角函數(shù)的意義,從而為定義任意角的三角函數(shù)奠定基礎(chǔ).教科書在定義任意角的三角函數(shù)之前,作了如下鋪墊:直角三角形為載體的銳角三角函數(shù)→象限角為載體的銳角三角函數(shù)→單位圓上點的坐標表示的銳角三角函數(shù). 推進新課 新知探究 提出問題 問題①:在初中時我們學了銳角三角函數(shù),你能回憶一下銳角三角函數(shù)的定義嗎? 問題②:你能用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角三角函數(shù)嗎? 活動:教師提出問題,學生口頭回答,突出它是以銳角為自變量,邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù),教師并對回答正確的學生進行表揚,對回答不出來的同學給予提示和鼓勵.然后教師在黑板上畫出直角三角形. 教師提示:前面我們對角的概念已經(jīng)進行了擴充,并且學習了弧度制,知道了角的集合與實數(shù)集是一一對應的,在此基礎(chǔ)上,我們來研究任意角的三角函數(shù).教師在直角三角形所在的平面上建立適當?shù)淖鴺讼?畫出角α的終邊;學生給出相應點的坐標,并用坐標表示銳角三角函數(shù). 圖1 如圖1,設銳角α的頂點與原點O重合,始邊與x軸的正半軸重合,那么它的終邊在第一象限.在α的終邊上任取一點P(a,b),它與原點的距離>0.過P作x軸的垂線,垂足為M,則線段OM的長度為a,線段MP的長度為b. 根據(jù)初中學過的三角函數(shù)定義,我們有 sinα==,cosα==,tanα==. 討論結(jié)果: ①銳角三角函數(shù)是以銳角為自變量,邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù). ②sinα==,cosα==,tanα==. 提出問題 問題①:如果改變終邊上的點的位置,這三個比值會改變嗎?為什么? 問題②:你利用已學知識能否通過取適當點而將上述三角函數(shù)的表達式簡化? 活動:教師先讓學生們相互討論,并讓他們動手畫畫圖形,看看從圖形中是否能找出某種關(guān)系來.然后提問學生,由學生回答教師的問題,教師再引導學生選幾個點,計算一下對應的比值,獲得具體認識,并由相似三角形的性質(zhì)來證明.最后可以發(fā)現(xiàn),由相似三角形的知識,對于確定的角α,這三個比值不會隨點P在α的終邊上的位置的改變而改變. 過圖形教師引導學生進行對比,學生通過對比發(fā)現(xiàn)取到原點的距離為1的點可以使表達式簡化. 此時sinα==b,cosα==a,tanα==. 在引進弧度制時我們看到,在半徑為單位長度的圓中,角α的弧度數(shù)的絕對值等于圓心角α所對的弧長(符號由角α的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定).在直角坐標系中,我們稱以原點O為圓心,以單位長度為半徑的圓為單位圓.這樣,上述P點就是α的終邊與單位圓的交點.銳角三角函數(shù)可以用單位圓上點的坐標表示. 同樣地,我們可以利用單位圓定義任意角的三角函數(shù). 圖2 如圖2所示,設α是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x,y),那么: (1)y叫做α的正弦,記作sinα,即sinα=y; (2)x叫做α的余弦,記作cosα,即cosα=x; (3)叫做α的正切,記作tanα,即tanα=(x≠0). 所以,正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù),我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù). 教師出示定義后,可讓學生解釋一下定義中的對應關(guān)系.教師應指出任意角的正弦、余弦、正切的定義是本節(jié)教學的重點.用單位圓上點的坐標表示任意角的三角函數(shù),與學生在銳角三角函數(shù)學習中建立的已有經(jīng)驗有一定的距離,與學生在數(shù)學必修一的學習中建立起來的經(jīng)驗也有一定的距離.學生熟悉的函數(shù)y=f(x)是實數(shù)到實數(shù)的一一對應,而這里給出的三角函數(shù)首先是實數(shù)(弧度數(shù))到點的坐標的對應,然后才是實數(shù)(弧度數(shù))到實數(shù)(橫坐標或縱坐標)的對應,這就給學生的理解造成一定的困難.教師在教學中可以在學生對銳角三角函數(shù)已有的幾何直觀認識的基礎(chǔ)上,先建立直角三角形的銳角與第一象限角的聯(lián)系,在直角坐標系中考查銳角三角函數(shù),得出用角的終邊上點的坐標(比值)表示銳角三角函數(shù)的結(jié)論,然后再“特殊化”引出用單位圓上點的坐標表示銳角三角函數(shù)的結(jié)論.在此基礎(chǔ)上,再定義任意角的三角函數(shù). 在導學過程中教師應點撥學生注意,盡管我們從銳角三角函數(shù)出發(fā)來引導學生學習任意角的三角函數(shù),但任意角的三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)之間并沒有一般與特殊的關(guān)系.教師在教學中應當使學生體會到,用單位圓上點的坐標表示銳角三角函數(shù),不僅簡單、方便,而且反映本質(zhì). 教師可以引導學生通過分析三角函數(shù)定義中的自變量是什么,對應關(guān)系有什么特點,函數(shù)值是什么.特別注意α既表示一個角,又是一個實數(shù)(弧度數(shù)).“它的終邊與單位圓交于點P(x,y)”包含兩個對應關(guān)系.從而可以把三角函數(shù)看成是自變量為實數(shù)的函數(shù).值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù).(2)sinα不是sin與α的乘積,而是一個比值;三角函數(shù)的記號是一個整體,離開自變量的“sin”“tan”等是沒有意義的. 討論結(jié)果:①這三個比值與終邊上的點的位置無關(guān),根據(jù)初中學過的三角函數(shù)定義,有 sinα==,cosα==, tanα==. 由相似三角形的知識,對于確定的角α,這三個比值不會隨點P在α的終邊上的位置的改變而改變. ②能. 提出問題 問題①:學習了任意角,并利用單位圓表示了任意角的三角函數(shù),引入一個新的函數(shù),我們可以對哪些問題進行討論? 問題②:根據(jù)三角函數(shù)的定義,正弦、余弦、正切的定義域、值域是怎樣的? 活動:教師引導學生結(jié)合在數(shù)學必修一中的有關(guān)函數(shù)的問題,讓學生回顧所學知識,并總結(jié)回答老師的問題,教師對學生總結(jié)的東西進行提問,并對回答正確的學生進行表揚,回答不正確或者不全面的學生給予提示和補充.教師讓學生完成教科書上的“探究”,教師提問或讓學生上黑板板書. 按照這樣的思路,我們一起來探究如下問題:請根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義,先將正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域填入下表,再將這三種函數(shù)的值在各象限的符號填入圖3中的括號內(nèi). 三角函數(shù) 定義域 sinα cosα tanα 圖3 教師要注意引導學生從定義出發(fā),利用坐標平面內(nèi)點的坐標的特征得定義域、函數(shù)值的符號等結(jié)論.對于正弦函數(shù)sinα=y,因為y恒有意義,即α取任意實數(shù),y恒有意義,也就是說sinα恒有意義,所以正弦函數(shù)的定義域是R;類似地可寫出余弦函數(shù)的定義域;對于正切函數(shù)tanα=,因為x=0時,無意義,即tanα無意義,又當且僅當角α的終邊落在縱軸上時,才有x=0,所以當α的終邊不在縱軸上時,恒有意義,即tanα恒有意義,所以正切函數(shù)的定義域是α≠ +kπ(k∈Z).(由學生填寫下表) 三角函數(shù) 定義域 sinα R cosα R tanα {α|α≠+kπ,k∈Z} 三角函數(shù)的定義告訴我們,各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號,取決于x,y的符號,當點P在第一、二象限時,縱坐標y>0,點P在第三、四象限時,縱坐標y<0,所以正弦函數(shù)值對于第一、二象限角是正的,對于第三、四象限角是負的(可制作課件展示);同樣地,余弦函數(shù)在第一、四象限是正的,在第二、三象限是負的;正切函數(shù)在第一、三象限是正的,在第二、四象限是負的.從而完成上面探究問題.即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”. 討論結(jié)果:①定義域、值域、單調(diào)性等. ②y=sinα與y=cosα的定義域都是全體實數(shù)R,值域都是[-1,1].y=tanα的定義域是{α｜α≠ +kπ(k∈Z)},值域是R. 應用示例 思路1 例1 已知角α的終邊經(jīng)過點P0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值. 活動:教師留給學生一定的時間,學生獨立思考并回答.明確可以用角α終邊上任意一點的坐標來定義任意角的三角函數(shù),但用單位圓上點的坐標來定義,既不失一般性,又簡單,更容易看清對應關(guān)系.教師要點撥引導學生習慣畫圖,充分利用數(shù)形結(jié)合,但要提醒學生注意α角的任意性.如圖4,設α是一個任意角,P(x,y)是α終邊上任意一點,點P與原點的距離r=>0,那么: 圖4 ①叫做α的正弦,即sinα=; ②叫做α的余弦,即cosα=; ③叫做α的正切,即tanα=(x≠0). 這樣定義三角函數(shù),突出了點P的任意性,說明任意角α的三角函數(shù)值只與α有關(guān),而與點P在角的終邊上的位置無關(guān),教師要讓學生充分思考討論后深刻理解這一點. 解:由已知,可得OP0==5. 圖5 如圖5,設角α的終邊與單位圓交于點P(x,y).分別過點P、P0作x軸的垂線MP、M0P0,則|M0P 0|=4,|MP|=-y,|OM0|=3，|OM|=-x,△OMP∽△OM0P0, 于是sinα=y====; cosα=x====; tanα===. 點評:本例是已知角α終邊上一點的坐標,求角α的三角函數(shù)值問題.可以先根據(jù)三角形相似將這一問題化歸到單位圓上,再由定義得解. 變式訓練 求的正弦、余弦和正切值. 圖6 解:在平面直角坐標系中,作∠AOB=,如圖6. 易知∠AOB的終邊與單位圓的交點坐標為(,), 所以sin=,cos=,tan=. 例2 求證:當且僅當下列不等式組成立時,角θ為第三象限角. 活動:教師引導學生討論驗證在不同的象限內(nèi)各個三角函數(shù)值的符號有什么樣的關(guān)系,提示學生從三角函數(shù)的定義出發(fā)來探究其內(nèi)在的關(guān)系.可以知道:三角函數(shù)的定義告訴我們,各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號,取決于x,y的符號,當點P在第一、二象限時,縱坐標y>0,點P在第三、四象限時,縱坐標y<0,所以正弦函數(shù)值對于第一、二象限角是正的,對于第三、四象限角是負的;同樣地,余弦函數(shù)在第一、四象限是正的,在第二、三象限是負的;正切函數(shù)在第一、三象限是正的,在第二、四象限是負的. 證明:我們證明如果①②式都成立,那么θ為第三象限角. 因為①sinθ<0成立,所以θ角的終邊可能位于第三或第四象限,也可能位于y軸的非正半軸上; 又因為②式tanθ>0成立,所以θ角的終邊可能位于第一或第三象限. 因為①②式都成立,所以θ角的終邊只能位于第三象限. 于是角θ為第三象限角. 反過來請同學們自己證明. 點評:本例的目的是認識不同位置的角對應的三角函數(shù)值的符號,其條件以一個不等式出現(xiàn),在教學時要讓學生把問題的條件、結(jié)論弄清楚,然后再給出證明.這一問題的解決可以訓練學生的數(shù)學語言表達能力. 變式訓練 (xx北京高考)已知cosθtanθ<0,那么角θ是( ) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 答案:C 例3 求下列三角函數(shù)值: (1)sin390;(2)cos;(3)tan(-330). 活動:引導學生總結(jié)終邊相同角的表示法有什么特點,終邊相同的角相差2π的整數(shù)倍,那么這些角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系?為什么? 引導學生從角的終邊的關(guān)系到角之間的關(guān)系再到函數(shù)值之間的關(guān)系進行討論,然后再用三角函數(shù)的定義證明. 由三角函數(shù)的定義,可以知道:終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.由此得到一組公式(公式一): sin(α+k2π)=sinα, cos(α+k2π)=cosα, tan(α+k2π)=tanα, 其中k∈Z. 利用公式一,可以把求任意角的三角函數(shù)值,轉(zhuǎn)化為求0到2π(或0到360)角的三角函數(shù)值.這個公式稱為三角函數(shù)的“誘導公式一”. 解:(1)sin390=sin(360+30)=sin30=; (2)cosπ=cos(2π+π)=cosπ=; (3)tan(-330)=tan(-360+30)=tan30=. 點評:本題主要是對誘導公式一的考查,利用公式一將任意角都轉(zhuǎn)化到0—2π范圍內(nèi)求三角函數(shù)的值. 思路2 例1 已知角α的終邊在直線y=-3x上,則10sinα+3secα=. 活動:要讓學生獨立思考這一題目,本題雖然是個填空題,看似簡單但內(nèi)含分類討論思想,可以找兩個學生來板演這個例題.對解答思路正確的學生給以鼓勵,對思路受阻的學生要引導其思路的正確性.并適時地點撥學生:假如是個大的計算題應該怎樣組織步驟. 解:設角α終邊上任一點為P(k,-3k)(k≠0),則 x=k,y=-3k,r==｜k｜. (1)當k>0時,r=,α是第四象限角, sinα===,secα===, ∴10sinα+3secα=10+3=-3+3=0. (2)當k<0時,r=,α為第二象限角, sinα===,secα===, ∴10sinα+3secα=10+3()=3-3=0. 綜合以上兩種情況均有10sinα+3secα=0. 點評:本題的解題關(guān)鍵是要清楚當k>0時,P(k,-3k)是第四象限內(nèi)的點,角α的終邊在第四象限;當k<0時,P(k,-3k)是第二象限內(nèi)的點,角α的終邊在第二象限內(nèi),這與角α的終邊在y=-3x上是一致的. 變式訓練 設f(x)=sinx,求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)的值. 解:∵f(1)=sin=,f(2)=sin=,f(3)=sinπ=0, f(4)=sin=,f(5)=sin=,f(6)=sin2π=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0. 而f(7)=sin=sin,f(8)=sin=sin,…,f(12)=sin=sin2π, ∴f(7)+f(8)+f(9)+f(10)+f(11)+f(12)=0. 同理f(13)+f(14)+f(15)+f(16)+f(17)+f(18)=0,…,f(67)+f(68)+…+f(72)=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)=0. 求函數(shù)y=+tanα的定義域. 活動:讓學生先回顧求函數(shù)的定義域需要注意哪些特點,并讓學生歸納出一些常見函數(shù)有意義的要求,根據(jù)函數(shù)有意義的特征來求自變量的范圍.對于三角函數(shù)這種特殊的函數(shù)在解三角不等式時要結(jié)合三角函數(shù)的定義進行.求含正切函數(shù)的組合型三角函數(shù)的定義域時,正切函數(shù)本身的定義域往往被忽略,教師提醒學生應引起注意這種情況.同時,函數(shù)的定義域是一個集合,所以結(jié)論要用集合形式表示. 解:要使函數(shù)y=+tanα有意義,則sinα≥0且α≠kπ+(k∈Z). 由正弦函數(shù)的定義知道,sinα≥0就是角α的終邊與單位圓的交點的縱坐標非負. ∴角α的終邊在第一、二象限或在x軸上或在y軸非負半軸上,即2kπ≤α≤π+2kπ(k∈Z). ∴函數(shù)的定義域是{α｜2kπ≤α<+2kπ或+2kπ<α≤(2k+1)π,k∈Z}. 點評:本題的關(guān)鍵是弄清楚要使函數(shù)式有意義,必須sinα≥0,且tanα有意義,由此推導出α的取值范圍就是函數(shù)的定義域. 變式訓練 求下列函數(shù)的定義域: (1)y=sinx+cosx;(2)y=sinx+tanx; (3)y=;(4)y=+tanx. 解:(1)∵使sinx,cosx有意義的x∈R,∴y=sinx+cosx的定義域為R. (2)要使函數(shù)有意義,必須使sinx與tanx有意義.∴有 ∴函數(shù)y=sinx+tanx的定義域為{x｜x≠kπ+,k∈Z}. (3)要使函數(shù)有意義,必須使tanx有意義,且tanx≠0. ∴有(k∈Z), ∴函數(shù)y=的定義域為{x｜x≠,k∈Z}. (4)當sinx≥0且tanx有意義時,函數(shù)有意義, ∴有(k∈Z). ∴函數(shù)y=+tanx的定義域為 ［2kπ,2kπ+)∪(2kπ+,(2k+1)π］(k∈Z). 知能訓練 課本本節(jié)練習. 解答: 1.sin=;cos=;tan= 點評:根據(jù)定義求某個特殊角的三角函數(shù)值. 2.sinθ=;cosθ=;tanθ=. 點評:已知角α終邊上一點的坐標,由定義求角α的三角函數(shù)值. 3. 角α 0 90 180 270 360 角α的弧度數(shù) 0 Π 2π sinα 0 1 0 -1 0 cosα 1 0 -1 0 1 tanα 0 不存在 0 不存在 0 點評:熟悉特殊角的三角函數(shù)值,并進一步地理解公式一. 4.當α為鈍角時,cosα和tanα取負值. 點評:認識與三角形內(nèi)角有關(guān)的三角函數(shù)值的符號. 5.(1)正;(2)負;(3)零;(4)負;(5)正;(6)正. 點評:認識不同位置的角對應的三角函數(shù)值的符號. 6.(1)①③或①⑤或③⑤;(2)①④或①⑥或④⑥; (3)②④或②⑤或④⑤;(4)②③或②⑥或③⑥. 點評:認識不同象限的角對應的三角函數(shù)值的符號. 7.(1)0.874 6;(2);(3)0.5;(4)1. 點評:求三角函數(shù)值,并進一步地認識三角函數(shù)的定義及公式一. 課堂小結(jié) 本節(jié)課我們給出了任意角三角函數(shù)的定義,并且討論了正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域,任意角的三角函數(shù)實質(zhì)上是銳角三角函數(shù)的擴展,是將銳角三角函數(shù)中邊的比變?yōu)樽鴺伺c距離、坐標與坐標的比,記憶方法可用銳角三角函數(shù)類比記憶,至于三角函數(shù)的定義域可由三角函數(shù)的定義分析得到.本節(jié)課我們重點討論了兩個內(nèi)容,一是三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號,二是一組公式,兩者的作用分別是:前者確定函數(shù)值的符號,后者將任意角的三角函數(shù)化為0到360角的三角函數(shù),這兩個內(nèi)容是我們?nèi)蘸髮W習的基礎(chǔ),經(jīng)常要用,請同學們熟記. 作業(yè) 課本習題1.2A組題1—9. 設計感想 關(guān)于三角函數(shù)定義法,總的說來就兩種:“單位圓定義法”與“終邊定義法”.這兩種方法本質(zhì)上是一致的.正因為此,各種數(shù)學出版物中,兩種定義方法都有采用.在學習本節(jié)的過程中可以與初中學習的三角函數(shù)定義進行類比、學習.理解任意角三角函數(shù)的定義不但是學好本節(jié)內(nèi)容的關(guān)鍵,也是學好本章內(nèi)容的關(guān)鍵.在教學中,教師應該充分調(diào)動學生獨立思考和總結(jié)的能力,以鞏固對知識的理解和掌握. 教師在教學中,始終引導學生緊扣三角函數(shù)的定義,善于利用數(shù)形結(jié)合.在利用三角函數(shù)定義進行求值時,應特別強調(diào)要注意橫向聯(lián)系,即不僅僅能求出該值,還要善于觀察該值與其他三角函數(shù)值之間的聯(lián)系,找出規(guī)律來求解. (設計者：房增鳳) 第2課時 導入新課 思路1.(情境導入)同學們都在一些旅游景地或者在公園中見過大觀覽車,大家是否想過大觀覽車在轉(zhuǎn)動過程中,座椅離地面的高度隨著轉(zhuǎn)動角度的變化而變化,二者之間有怎樣的相依關(guān)系呢? 思路2.(復習導入)我們研究了三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號,學習了將任意角的三角函數(shù)化成0—360角的三角函數(shù)的一組公式,前面還分析討論了三角函數(shù)的定義域,這些內(nèi)容的研究,都是建立在任意角的三角函數(shù)定義之上的,這些知識在以后我們繼續(xù)學習“三角”內(nèi)容時,是經(jīng)常、反復運用的,請同學們務必在理解的基礎(chǔ)上要加強記憶.由三角函數(shù)的定義我們知道,對于角α的各種三角函數(shù)我們都是用比值來表示的,或者說是用數(shù)來表示的,今天我們再來學習正弦、余弦、正切函數(shù)的另一種表示方法——幾何表示法.我們知道,直角坐標系內(nèi)點的坐標與坐標軸的方向有關(guān).因此自然產(chǎn)生一個想法是以坐標軸的方向來規(guī)定有向線段的方向,以使它們的取值與點的坐標聯(lián)系起來. 推進新課 新知探究 提出問題 問題①:回憶上節(jié)課學習的三角函數(shù)定義并思考:三角函數(shù)的定義能否用幾何中的方法來表示,應怎樣表示呢? 問題②:回憶初中學過的線段,若加上方向會怎樣呢?什么是有向線段? 活動:指導學生在平面直角坐標系內(nèi)作出單位圓,設任意角α的頂點在原點,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊與單位圓相交于點P(x,y),x軸的正半軸與單位圓相交于A(1,0),過P作x軸的垂線,垂足為M;過A作單位圓的切線,這條切線必平行于y軸(垂直于同一條直線的兩直線平行),設它與角α的終邊或其反向延長線交于點T.教師點撥學生觀察線段的方向與點P的坐標.顯然,線段OM的長度為|x|,線段MP的長度為|y|,它們都只能取非負值. 當角α的終邊不在坐標軸上時,我們可以把OM、MP都看作帶有方向的線段: 如果x>0,OM與x軸同向,規(guī)定此時OM具有正值x;如果x<0,OM與x軸正向相反(即反向),規(guī)定此時OM具有負值x,所以不論哪一種情況,都有OM=x. 如果y>0,把MP看作與y軸同向,規(guī)定此時MP具有正值y;如果y<0,把MP看作與y軸反向,規(guī)定此時MP具有負值y,所以不論哪一種情況,都有MP=y. 引導學生觀察OM、MP都是帶有方向的線段,這種被看作帶有方向的線段叫做有向線段. 于是,根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的定義,就有 sinα===y=MP, cosα===x=OM. 這兩條與單位圓有關(guān)的有向線段MP、OM分別叫做角α的正弦線、余弦線. 類似地,我們把OA、AT也看作有向線段,那么根據(jù)正切函數(shù)的定義和相似三角形的知識,就有tanα===AT. 這條與單位圓有關(guān)的有向線段AT,叫做角α的正切線. 討論結(jié)果:①能. ②被看作帶有方向的線段叫做有向線段. 提出問題 問題①:怎樣把三角函數(shù)線與有向線段聯(lián)系在一起? 問題②:正弦線、余弦線、正切線在平面直角坐標系中是怎樣規(guī)定的?當角α的終邊變化時,它們有什么變化? 活動:師生共同討論,最后一致得出以下幾點: (1)當角α的終邊在y軸上時,余弦線變成一個點,正切線不存在. (2)當角α的終邊在x軸上時,正弦線、正切線都變成點. (3)正弦線、余弦線、正切線都是與單位圓有關(guān)的有向線段,所以作某角的三角函數(shù)線時,一定要先作單位圓. (4)線段有兩個端點,在用字母表示正弦線、余弦線、正切線時,要先寫起點字母,再寫終點字母,不能顛倒;或者說,含原點的線段,以原點為起點,不含原點的線段,以此線段與x軸的公共點為起點. (5)三種有向線段的正負與坐標軸正反方向一致,三種有向線段的數(shù)量與三種三角函數(shù)值相同. 正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數(shù)線. 討論結(jié)果:①略. ②略. 示例應用 思路1 例1 如圖7,α,β的終邊分別與單位圓交于點P,Q,過A(1,0)作切線AT,交 圖7 射線OP于點T,交射線OQ的反向延長線于T′,點P、Q在x軸上的射影分別為點M、N,則 sinα=______________,cosα=______________,tanα=______________,sinβ=______________,cosβ=______________,tanβ=______________. 活動:根據(jù)三角函數(shù)線的定義可知,sinα=MP,cosα=OM,tanα=AT,sinβ=NQ,cosβ =ON,tanβ=AT′. 答案:MP OM AT NQ ON AT′ 點評:掌握三角函數(shù)線的作法,注意用有向線段表示三角函數(shù)線時,字母的書寫順序不能隨意顛倒. 變式訓練 利用三角函數(shù)線證明｜sinα｜+｜cosα｜≥1. 解:當α的終邊落在坐標軸上時,正弦(或余弦)線變成一個點,而余弦(或正弦)線的長等于r,所以｜sinα｜+｜cosα｜=1. 當角α終邊落在四個象限時,利用三角形兩邊之和大于第三邊有｜sinα｜+｜cosα｜=｜OM｜+｜MP｜>1,∴｜sinα｜+｜cosα｜≥1. 例2 在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊或終邊所在的范圍,并由此寫出角α的集合:(1)sinα=;(2)sinα≥. 活動:引導學生畫出單位圓,對于(1),可設角α的終邊與單位圓交于A(x,y),則sinα=y,所以要作出滿足sinα=的終邊,只要在單位圓上找出縱坐標為的點A,則OA即為角α的終邊;對于(2),可先作出滿足sinα=的角的終邊,然后根據(jù)已知條件確定角α的范圍. 圖8 解:(1)作直線y=交單位圓于A與B兩點,連結(jié)OA,OB,則OA與OB為角α的終邊,如圖8所示. 故滿足條件的角α的集合為{α|α=2kπ+或α=2kπ+,k∈Z}. (2)作直線y=交單位圓于A與B兩點,連結(jié)OA,OB,則OA與OB圍成的區(qū)域(如圖中的陰影部分)即為角α的終邊所在的范圍. 故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}. 點評:在解簡單的特殊值(如,等)的等式或不等式時,應首先在單位圓內(nèi)找到對應的終邊(作縱坐標為特殊值的直線與單位圓相交,連結(jié)交點與坐標原點作射線),一般情況下,用(0,2π)內(nèi)的角表示它,然后畫出滿足原等式或不等式的區(qū)域,用集合表示出來. 變式訓練 已知sinα≥,求角α的集合. 解:作直線y=交單位圓于點P,P′,則sin∠POx=sin∠P′Ox=,在［0,2π)內(nèi)∠POx=,∠P′Px=. ∴滿足條件的集合為{α｜2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}. 思路2 例1 求下列函數(shù)的定義域: (1)y=logsinx (2cosx+1);(2)y=lg(3-4sin2x). 活動:先引導學生求出x所滿足的條件,這點要提醒學生注意,研究函數(shù)必須在自變量允許的范圍內(nèi)研究,否則無意義.再利用三角函數(shù)線畫出滿足條件的角x的終邊范圍.求解時,可根據(jù)各種約束條件,利用三角函數(shù)線畫出角x滿足條件的終邊范圍,寫出適合條件的x的取值集合. 解:(1)由題意,得 則(k∈Z). ∴函數(shù)的定義域為{x|2kπ0,∴sin2x<.∴1;(2)sin2α+cos2α=1. 圖12 證明:如圖12,記角α與單位圓的交點為P,過P作PM⊥x軸于M,則sinα=MP,cosα=OM. (1)在Rt△OMP中,MP+OM>OP,即sinα+cosα>1. (2)在Rt△OMP中,MP2+OM2=OP2,即sin2α+cos2α=1. 2.求下列函數(shù)的定義域: (1)y=;(2)y=. 答案:(1)x∈[kπ-,kπ+],k∈Z. (2)x∈［+2kπ,+2kπ)∪(+2kπ,+2kπ)∪(+2kπ,+2kπ)∪(+2kπ, +2kπ］,k∈Z. 設計感想 對于三角函數(shù)線,開始時學生可能不是很理解,教師應該充分發(fā)揮好圖象的直觀作用,讓學生通過圖形來感知、了解三角函數(shù)線的定義.在學生理解了正弦線、余弦線、正切線的定義后,教師應引導學生會利用三角函數(shù)線來發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì).以便為以后更好地學習三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)打下良好的基礎(chǔ).教師要讓學生對三角函數(shù)線了解即可,要讓學生利用任意角的三角函數(shù)線來感知對應的三角函數(shù)圖象的變化趨勢,不要再向深處挖掘,因為三角函數(shù)線能解決的問題都可以用三角函數(shù)的圖象來解決.教師在教學中要搞好師生互動,讓學生自己動腦、動手,多啟發(fā)學生善于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力,讓學生學會獨立思考和歸納總結(jié)知識的能力.