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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 第三課時(shí) 正弦定理、余弦定理教案（一）蘇教版必修5 教學(xué)目標(biāo)： 進(jìn)一步熟悉正、余弦定理內(nèi)容，能夠應(yīng)用正、余弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，判斷三角形的形狀，證明三角形中的三角恒等式；通過(guò)正、余弦定理在邊角互換時(shí)所發(fā)揮的橋梁作用來(lái)反映事物之間的內(nèi)在聯(lián)系；通過(guò)三角恒等式的證明來(lái)反映事物外在形式可以相互轉(zhuǎn)化而內(nèi)在實(shí)質(zhì)的不變性. 教學(xué)重點(diǎn)： 利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互換. 教學(xué)難點(diǎn)： 1.利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互換時(shí)的轉(zhuǎn)化方向； 2.三角恒等式證明中結(jié)論與條件之間的內(nèi)在聯(lián)系的尋求. 教學(xué)過(guò)程： Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 前面兩節(jié)課，我們一起學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理的內(nèi)容，并且接觸了利用正、余弦定理解三角形的有關(guān)題型.下面，我們先來(lái)回顧一下正、余弦定理的內(nèi)容.正弦定理、余弦定理實(shí)質(zhì)上反映了三角形內(nèi)的邊角關(guān)系，運(yùn)用定理可以進(jìn)行邊與角之間的轉(zhuǎn)換，這一節(jié)，我們將通過(guò)例題分析來(lái)學(xué)習(xí)正、余弦定理的邊角轉(zhuǎn)換功能在證明三角恒等式及判斷三角形形狀時(shí)的應(yīng)用. Ⅱ.講授新課 ［例1］已知△ABC，BD為B的平分線，求證：AB∶BC＝AD∶DC 分析：前面大家所接觸的解三角形問(wèn)題是在一個(gè)三角形內(nèi)研究問(wèn)題，而 B的平分線BD將△ABC分成了兩個(gè)三角形：△ABD與△CBD，故要證結(jié)論成立，可證明它的等價(jià)形式：AB∶AD＝BC∶DC，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到兩個(gè)三角形內(nèi)，而在三角形內(nèi)邊的比等于所對(duì)角的正弦值的比，故可利用正弦定理將所證繼續(xù)轉(zhuǎn)化為＝，＝，再根據(jù)相等角正弦值相等，互補(bǔ)角正弦值也相等即可證明結(jié)論. 證明：在△ABD內(nèi)，利用正弦定理得： ＝，即＝ 在△BCD內(nèi)，利用正弦定理得： ＝，即＝. ∵BD是B的平分線.∴∠ABD＝∠DBC， ∴sinABD＝sinDBC. ∵∠ADB＋∠BDC＝180，∴sinADB＝sin（180－∠BDC）＝sinBDC ∴＝＝＝，∴＝ 評(píng)述：此題可以啟發(fā)學(xué)生利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，并且注意互補(bǔ)角的正弦值相等這一特殊關(guān)系式的應(yīng)用. ［例2］在△ABC中，求證：a2sin2B＋b2sin2A＝2absinC 分析：此題所證結(jié)論包含關(guān)于△ABC的邊角關(guān)系，證明時(shí)可以考慮兩種途徑：一是把角的關(guān)系通過(guò)正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，若是余弦形式則通過(guò)余弦定理；二是把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，一般是通過(guò)正弦定理. 另外，此題要求學(xué)生熟悉相關(guān)的三角函數(shù)的有關(guān)公式，如sin2B＝2sinBcosB等，以便在化為角的關(guān)系時(shí)進(jìn)行三角函數(shù)式的恒等變形. 證明一：（化為三角函數(shù)） a2sin2B＋b2sin2A ＝（2RsinA）22sinBcosB＋（2RsinB）22sinAcosA ＝8R2sinAsinB（sinAcosB＋cosAsinB）＝8R2sinAsinBsinC ＝22RsinA2RsinBsinC＝2absinC 所以原式得證. 證明二：（化為邊的式子） 左邊＝a22sinBcosB＋b22sinAcosA ＝a2＋b2 ＝（a2＋c2－b2＋b2＋c2－a2） ＝2c2＝2ab＝2absinC 評(píng)述：由邊向角轉(zhuǎn)化，通常利用正弦定理的變形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，在轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式后，要注意三角函數(shù)公式的運(yùn)用，在此題用到了正弦二倍角公式sin2A＝2sinAcosA，正弦兩角和公式sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB；由角向邊轉(zhuǎn)化，要結(jié)合正弦定理變形式以及余弦定理形式二. 三角形的有關(guān)證明問(wèn)題，主要圍繞三角形的邊和角的三角函數(shù)展開，從某種意義上來(lái)看，這類問(wèn)題就是有了目標(biāo)的含邊和角的式子的化簡(jiǎn)問(wèn)題. ［例3］已知A、B、C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且滿足（sinA＋sinB）2－sin2C＝3sinAsinB 求證：A＋B＝120 分析：要證A＋B＝120，由于A＋B＋C＝180，只要證明C＝60，而已知條件為三角函數(shù)關(guān)系，故應(yīng)考慮向三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化，又在0～180之間，余弦值所對(duì)應(yīng)角唯一，故可證明cosC＝，而由余弦定理cosC＝，所以應(yīng)考慮把已知的角的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系. 證明：由（sinA＋sinB）2－sin2C＝3sinAsinB 可得sin2A＋sin2B－sin2C＝sinAsinB 又∵sinA＝，sinB＝，sinC＝， ∴＋－＝ 整理得a2＋b2－c2＝ab ∴cosC＝＝ 又0＜C＜180，∴C＝60 ∴A＋B＝180－C＝120 評(píng)述：（1）有關(guān)三角形內(nèi)角的證明，選擇余弦值與正弦值相比較，要省去取舍的麻煩.但注意在根據(jù)三角函數(shù)值求角時(shí)，應(yīng)先確定角的范圍； （2）在將已知條件中角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用了正弦定理的變形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，這一轉(zhuǎn)化技巧，要求學(xué)生熟練掌握. ［例4］在△ABC中，bcosA＝acosB，試判斷三角形的形狀. 分析：三角形形狀的判斷，可以根據(jù)角的關(guān)系，也可根據(jù)邊的關(guān)系，所以在已知條件的運(yùn)用上，可以考慮兩種途徑：將邊轉(zhuǎn)化為角，將角轉(zhuǎn)化為邊，下面，我們從這兩個(gè)角度進(jìn)行分析. 解法一：利用余弦定理將角化為邊. ∵bcosA＝acosB ∴b＝a ∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2 ∴a2＝b2 ∴a＝b 故此三角形是等腰三角形. 解法二：利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角. ∵bcosA＝acosB 又b＝2RsinB，a＝2RsinA ∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB ∴sinAcosB－cosAsinB＝0 ∴sin（A－B）＝0 ∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π ∴A－B＝0，即A＝B 故此三角形是等腰三角形. 評(píng)述：（1）在判定三角形形狀時(shí)，一般考慮兩個(gè)方向進(jìn)行變形，一個(gè)方向是邊，走代數(shù)變形之路，通常是正、余弦定理結(jié)合使用；另一個(gè)方向是角，走三角變形之路.通常是運(yùn)用正弦定理.要求學(xué)生要注重邊角轉(zhuǎn)化的橋梁——正、余弦定理； （2）解法二中用到了三角函數(shù)中兩角差的正弦公式，但應(yīng)注意在根據(jù)三角函數(shù)值求角時(shí)，一定要先確定角的范圍.另外，也可運(yùn)用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，在等式sinBcosA＝sinAcosB兩端同除以sinAsinB得cotA＝cotB，再由0＜A，B＜π，而得A＝B. 為鞏固本節(jié)所學(xué)的解題方法，下面我們進(jìn)行課堂練習(xí). Ⅲ.課堂練習(xí) 1.在△ABC中，證明下列各式： （1）（a2－b2－c2）tanA＋（a2－b2＋c2）tanB＝0 （2）－＝－. 證明：（1）左邊＝（a2－b2－c2）＋（a2－b2＋c2） ＝（a2－b2－c2）＋（a2－b2＋c2） ＝[＋] ＝（－1＋1）＝0＝右邊 故原命題得證. （2）左邊＝－＝（－）－＋ ＝－－＋＝－＝右邊 故原命題得證. 評(píng)述：（1）在（1）題證明時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是切化弦的思路，二是結(jié)合正、余弦定理將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系； （2）（2）題證明過(guò)程中用到了余弦二倍角的公式，而此公式有三種形式cos2A＝cos2A－sin2A＝2cos2A－1＝1－2sin2A，由于考慮到等式右端為邊的關(guān)系，故選用第三種形式，在轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系時(shí)較為簡(jiǎn)便. 2.在△ABC中，已知sinBsinC＝cos2，試判斷此三角形的類型. 解：∵sinBsinC＝cos2，∴sinBsinC＝ ∴2sinBsinC＝1＋cos［180－（B＋C）］ 將cos（B＋C）＝cosBcosC－sinBsinC代入上式得cosBcosC＋sinBsinC＝1 ∴cos（B－C）＝1 又0＜B，C＜π，∴－π＜B－C＜π ∴B－C＝0，∴B＝C 故此三角形是等腰三角形. 評(píng)述：（1）此題在證明過(guò)程中，要用到余弦二倍角公式cosA＝2cos2－1的逆用，要求學(xué)生注意； （2）由于已知條件就是三角函數(shù)關(guān)系式，故無(wú)需向邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化，而是進(jìn)行三角函數(shù)式的恒等變形. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，我們熟悉了正、余弦定理在進(jìn)行邊角關(guān)系轉(zhuǎn)換時(shí)的橋梁作用，并利用正、余弦定理對(duì)三角恒等式進(jìn)行證明以及對(duì)三角形形狀進(jìn)行判斷.其中，要求大家重點(diǎn)體會(huì)正、余弦定理的邊角轉(zhuǎn)換功能. Ⅴ.課后作業(yè) 補(bǔ)充作業(yè)： 1.在△ABC中，已知＝，求證：2b2＝a2＋c2. 證明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）sin（A－B） cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B 2cos2B＝cos2A＋cos2C 2＝＋ ∴2sin2B＝sin2A＋sin2C 由正弦定理可得2b2＝a2＋c2. 2.在△ABC中，A＝30，cosB＝2sinB－sinC. （1）求證：△ABC為等腰三角形；（提示B＝C＝75） （2）設(shè)D為△ABC外接圓的直徑BE與AC的交點(diǎn)，且AB＝2，求AD∶DC的值. 答案：（1）略 （2）1∶