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2019-2020年高考數(shù)學總復習 專題8.2 點、直線、平面平行與垂直的判定與性質試題（含解析） 【三年高考】 1. 【xx江蘇高考，15】 如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD． 求證：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC． 【答案】（1）見解析；（2）見解析． 【解析】試題分析：（1）先由平面幾何知識證明，再由線面平行判定定理得結論；（2）先由面面垂直性質定理得平面，則，再由AB⊥AD及線面垂直判定定理得AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC． 試題解析：（1）在平面內，因為AB⊥AD，，所以． 又因為平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC． 【考點】線面平行判定定理、線面垂直判定與性質定理、面面垂直性質定理 【名師點睛】垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型：（1）證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行；（2）證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直；（3）證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直． 2．【xx江蘇高考，16】 如圖，在直三棱柱中，已知，，設的中點為，.求證：（1）； （2）. 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 【解析】 試題分析（1）由三棱錐性質知側面為平行四邊形,因此點為的中點，從而由三角形中位線性質得，再由線面平行判定定理得（2）因為直三棱柱中，所以側面為正方形，因此，又，（可由直三棱柱推導），因此由線面垂直判定定理得,從而，再由線面垂直判定定理得,進而可得 試題解析：（1）由題意知，為的中點， 又為的中點，因此． 又因為平面，平面， 所以平面． （2）因為棱柱是直三棱柱， 所以平面． 因為平面，所以． 又因為，平面，平面，， 所以平面． 又因為平面，所以． 因為，所以矩形是正方形，因此． 因為，平面，，所以平面． 又因為平面，所以． 【考點定位】線面平行判定定理，線面垂直判定定理 3．【xx江蘇，理16】)如圖，在三棱錐S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.過A作AF⊥SB，垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點． 求證：(1)平面EFG∥平面ABC； (2)BC⊥SA. 【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析 4. 【xx江蘇，理16】如圖在三棱錐中，分別為棱的中點，已知， 求證（1）直線平面； （2）平面平面. 【答案】證明見解析． 【解析】 試題分析：（1）本題證明線面平行，根據其判定定理，需要在平面內找到一條與平行的直線，由于題中中點較多，容易看出，然后要交待在平面外，在平面內，即可證得結論；（2）要證兩平面垂直，一般要證明一個平面內有一條直線與另一個平面垂直，由（1）可得，因此考慮能否證明與平面內的另一條與相交的直線垂直，由已知三條線段的長度，可用勾股定理證明，因此要找的兩條相交直線就是，由此可得線面垂直. 試題解析：（1）由于分別是的中點，則有，又，，所以． （2）由（1），又，所以，又是中點，所以，，又，所以，所以，是平面內兩條相交直線，所以，又，所以平面平面． 5．【xx課標1，文6】如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直接AB與平面MNQ不平行的是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【考點】空間位置關系判斷 【名師點睛】本題主要考查線面平行的判定定理以及空間想象能力，屬容易題．證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行．②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面． 6．【xx課標3，文10】在正方體中，E為棱CD的中點，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根據三垂線逆定理，平面內的線垂直平面的斜線，那也垂直于斜線在平面內的射影，A.若，那么，很顯然不成立；B.若，那么，顯然不成立；C.若，那么，成立，反過來時，也能推出,所以C成立，D.若，則，顯然不成立，故選C. 【考點】線線位置關系 7．【xx高考浙江理數(shù)改編】已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿足 則直線中垂直關系是　　?。? 【答案】 【解析】 試題分析：由題意知，． 考點：空間點、線、面的位置關系． 【思路點睛】解決這類空間點、線、面的位置關系問題，一般是借助長方體（或正方體），能形象直觀地看出空間點、線、面的位置關系． 8．【xx高考新課標2理數(shù)】 是兩個平面，是兩條直線，有下列四個命題： （1）如果，那么. （2）如果，那么. （3）如果，那么. （4）如果，那么與所成的角和與所成的角相等. 其中正確的命題有 ． (填寫所有正確命題的編號） 【答案】②③④ 考點： 空間中的線面關系. 9．【xx高考山東文數(shù)改編】已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，內，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面相交”的　　　　　　．（在充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件中選填） 【答案】充分不必要條件 【解析】 試題分析： “直線和直線相交”“平面和平面相交”，但“平面和平面相交”“直線和直線相交”，所以“直線和直線相交”是“平面和平面相交”的充分不必要條件． 考點：1.充要條件；2.直線與平面的位置關系. 【名師點睛】充要條件的判定問題，是高考常考題目之一，其綜合性較強，易于和任何知識點結合.本題涉及直線與平面的位置關系，突出體現(xiàn)了高考試題的基礎性，能較好的考查考生分析問題解決問題的能力、空間想象能力等. 10．【xx高考新課標Ⅲ文數(shù)】如圖，四棱錐中，平面，，，，為線段上一點，，為的中點． （I）證明平面； （II）求四面體的體積. 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）取的中點，然后結合條件中的數(shù)據證明四邊形為平行四邊形，從而得到，由此結合線面平行的判斷定理可證；（Ⅱ）由條件可知四面體的高，即點到底面的距離為棱的一半，由此可順利求得結果． 試題解析：（Ⅰ）由已知得，取的中點，連接，由為中點知，. ......3分 又，故，四邊形為平行四邊形，于是. 因為平面，平面，所以平面. ........6分 （Ⅱ）因為平面，為的中點， 所以到平面的距離為. ....9分 取的中點，連結.由得，. 由得到的距離為，故， 所以四面體的體積. .....12分 考點：1、直線與平面間的平行與垂直關系；2、三棱錐的體積． 【技巧點撥】（1）證明立體幾何中的平行關系，常常是通過線線平行來實現(xiàn)，而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關系來推證；（2）求三棱錐的體積關鍵是確定其高，而高的確定關鍵又推出頂點在底面上的射影位置，當然有時也采取割補法、體積轉換法求解． 11.【xx高考北京文數(shù)】（本小題14分） 如圖，在四棱錐中，平面， （I）求證：； （II）求證：； （III）設點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F，使得平面?說明理由. 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（III）存在.理由見解析. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）利用線面垂直判定定理證明；（Ⅱ）利用面面垂直判定定理證明；（III）取中點，連結，則，根據線面平行定理則平面. 試題解析：（I）因為平面， 所以． 又因為， 所以平面． （II）因為，， 所以． 因為平面， 所以． 所以平面． 所以平面平面． （III）棱上存在點，使得平面．證明如下： 取中點，連結，，． 又因為為的中點， 所以． 又因為平面， 所以平面． 考點：空間垂直判定與性質；空間想象能力，推理論證能力 【名師點睛】平面與平面垂直的性質的應用：當兩個平面垂直時，常作的輔助線是在其中一個面內作交線的垂線，把面面垂直轉化為線面垂直，進而可以證明線線垂直(必要時可以通過平面幾何的知識證明垂直關系)，構造(尋找)二面角的平面角或得到點到面的距離等. 12．【xx高考山東文數(shù)】（本小題滿分12分） 在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點，EF∥DB. （I）已知AB=BC，AE=EC.求證：AC⊥FB； （II）已知G,H分別是EC和FB的中點.求證：GH∥平面ABC. 【答案】（Ⅰ））證明：見解析；（Ⅱ）見解析. 【解析】 試題分析：（Ⅰ））根據，知與確定一個平面，連接，得到，，從而平面，證得. （Ⅱ）設的中點為，連，在，中，由三角形中位線定理可得線線平行，證得平面平面，進一步得到平面. 試題解析：（Ⅰ））證明：因，所以與確定一個平面，連接，因為為的中點，所以；同理可得，又因為，所以平面，因為平面，。 （Ⅱ）設的中點為，連，在中，是的中點，所以，又，所以；在中，是的中點，所以，又，所以平面平面，因為平面，所以平面. 考點：1.平行關系；2.垂直關系. 【名師點睛】本題主要考查直線與直線垂直、直線與平面平行.此類題目是立體幾何中的基本問題.解答本題，關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉化，通過嚴密推理，給出規(guī)范的證明.本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力及轉化與化歸思想等. 13.【xx高考北京，文18】如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，，分別為，的中點． （I）求證：平面； （II）求證：平面平面； （III）求三棱錐的體積． 【解析】（Ⅰ）因為分別為，的中點，所以.又因為平面，所以平面. （Ⅱ）因為，為的中點，所以.又因為平面平面，且平面，所以平面.所以平面平面. （Ⅲ）在等腰直角三角形中，，所以.所以等邊三角形的面積.又因為平面，所以三棱錐的體積等于.又因為三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，所以三棱錐的體積為. 【xx年高考命題預測】 縱觀xx各地高考試題，考查的重點及難點穩(wěn)定，高考始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面平行與垂直的性質和判定作為考察重點.在難度上也始終以中等偏難為主，在新課標教材中將立體幾何要求進行了降低，重點在對圖形及幾何體的認識上，實現(xiàn)平面到空間的轉化，是知識深化和拓展的重點，因而在這部分知識點上命題，將是重中之重.高考對這部分知識的考查側重以下幾個方面： 1．從命題形式來看，涉及立體幾何內容的命題形式最為多變.除保留傳統(tǒng)的“四選一”的選擇題型外，還嘗試開發(fā)了“多選填空”、“完型填空”、“構造填空”等題型，并且這種命題形式正在不斷完善和翻新；解答題則設計成幾個小問題，此類考題往往以多面體為依托，第一小問考查線線、線面、面面的位置關系，后面幾問考查空間角、空間距離、面積、體積等度量關系，其解題思路也都是“作——證——求”，強調作圖、證明和計算相結合.2．從內容上來看，主要是：考查直線和平面的各種位置關系的判定和性質，這類試題一般難度不大，多為選擇題和填空題與解答題的第一步； 3．從能力上來看，著重考查空間想象能力，即空間形體的觀察分析和抽象的能力，要求是“四會”：①會畫圖——根據題設條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線(面)，作出的圖形要直觀、虛實分明；②會識圖——根據題目給出的圖形，想象出立體的形狀和有關線面的位置關系；③會析圖——對圖形進行必要的分解、組合；④會用圖——對圖形或其某部分進行平移、翻折、旋轉、展開或實行割補術；考查邏輯思維能力、運算能力和探索能力.從高考試題來看，線線垂直的判定、線面垂直的判定、面面垂直的判定與性質、線面角等是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題又有解答題，難度中等偏高，客觀題主要考查線面垂直、面面垂直的判定與性質，考查線面角的概念及求法；而主觀題不僅考查以上內容，同時還考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力以及分析問題、解決問題的能力．直線與直線、直線與平面、平面與平面平行的性質和判定作為考查重點，題型既有選擇題、填空題又有解答題，在難度上也始終以中等偏難為主，在新課標教材中將立體幾何要求進行了降低，重點在對圖形及幾何體的認識上，實現(xiàn)平面到空間的轉化，示知識深化和拓展的重點，因而在這部分知識點上命題，將是重中之重.預測xx年高考，將以多面體為載體，第一問以線面平行與垂直，面面平行與垂直為主要考查點，第二問可能給出一個角，求點的位置或設置一個探索性命題，突出考查空間想象能力和邏輯推理能力，以及分析問題、解決問題的能力．復習建議;證明空間線面平行與垂直，是必考題型，解題時要由已知想性質，由求證想判定，即分析法與綜合法相結合尋找證明思路. 【xx年高考考點定位】 高考始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面平行與垂直的性質和判定作為考察重點.）考題既有選擇題，填空題，又有解答題；在考題上的特點為：熱點問題為平面的基本性質，考察線線、線面和面面關系的論證，此類題目將以客觀題和解答題的第一步為主，考查邏輯思維能力、運算能力和探索能力. 【考點1】空間點、直線、平面之間的位置關系 【備考知識梳理】 1．平面概述：（1）平面的兩個特征：①無限延展 ②平的（沒有厚度）；（2）平面的畫法：通常畫平行四邊形來表示平面；（3）平面的表示：用一個小寫的希臘字母、、等表示，如平面、平面；用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母表示，如平面AC. 2．三公理三推論: 公理1：若一條直線上有兩個點在一個平面內，則該直線上所有的點都在這個平面內： A,B,A,B 公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線. 公理3：經過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面.推論一：經過一條直線和這條直線外的一點,有且只有一個平面.推論二：經過兩條相交直線,有且只有一個平面.推論三：經過兩條平行直線,有且只有一個平面 3．空間直線:（1）空間兩條直線的位置關系：相交直線——有且僅有一個公共點；平行直線——在同一平面內，沒有公共點；異面直線——不同在任何一個平面內，沒有公共點.相交直線和平行直線也稱為共面直線.異面直線的畫法常用的有下列三種： （2）平行直線： 在平面幾何中，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，這個結論在空間也是成立的.即公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行. （3）異面直線定理：連結平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經過此點的直線是異面直線.推理模式：與是異面直線. 異面直線所成的角：①定義：設是兩條異面直線，經過空間中任一點作直線，，把與所成的銳角(或直角)叫做異面直線與所成的角(或夾角)．②范圍：. 4．直線和平面的位置關系 （1）直線在平面內（無數(shù)個公共點）； （2）直線和平面相交（有且只有一個公共點）； （3）直線和平面平行（沒有公共點）——用兩分法進行兩次分類. 它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為，，. 5．兩個平面的位置關系有兩種：兩平面相交（有一條公共直線）、兩平面平行（沒有公共點） 【規(guī)律方法技巧】 1．求異面直線所成角的方法 (1)平移法：即選點平移其中一條或兩條直線使其轉化為平面角問題，這是求異面直線所成角的常用方法． (2)補形法：即采用補形法作出平面角． 2．證明共面問題的兩種途徑 (1)首先由條件中的部分線(或點)確定一個平面，再證其他線(或點)在此平面內； (2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證明這兩個平面重合． 3．證明共線問題的兩種途徑：(1)先由兩點確定一條直線，再證其他點都在這條直線上； (2)直接證明這些點都在同一條特定直線上． 4．證明共點問題的常用方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點． 【考點針對訓練】 1.已知l 是直線，α、β是兩個不同的平面，下列命題中的真命題是 　　 ．(填所有真命題的序號) ①若l∥α，l∥β，則α∥β ② 若α⊥β，l∥α，則l⊥β ③若l∥α，α∥β，則l∥β ④ 若l⊥α，l//β，則 α⊥β 【答案】④ 2．已知m ，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題錯誤的是　　　　　． ①若，，則；②若，則；③若，，，則；④若，，則 【答案】①②④ 【解析】若，，則或與相交，所以①錯誤；若，，則或，所以②錯誤；若，，，則，所以③正確；若，，則或，所以④錯誤．故填①②④. 【考點2】直線與平面、平面與平面平行的判定與性質 【備考知識梳理】 1. 線面平行的判定定理：如果不在一個平面內的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.推理模式：． 2.線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.推理模式：． 3.兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于一個平面，那么這兩個平面平行.定理的模式： 推論：如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行. 推論模式： 4.兩個平面平行的性質（1）如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線平行于另一個平面；（2）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行. 易錯點：1．直線與平面平行的判定中易忽視“線在面內”這一關鍵條件． 2．面面平行的判定中易忽視“面內兩條相交線”這一條件． 3．如果一個平面內有無數(shù)條直線與另一個平面平行，易誤認為這兩個平面平行，實質上也可以相交． 【規(guī)律方法技巧】 1. 證明線線平行的方法：（1）平行公理；（2）線面平行的性質定理；（3）面面平行的性質定理；（4）向量平行.要注意線面、面面平行的性質定理的成立條件. 2.線面平行的證明方法：（1）線面平行的定義；（2）線面平行的判斷定理；（3）面面平行的性質定理；（4）向量法：證明這條直線的方向向量和這個平面內的一個向量互相平行；證明這個直線的方向向量和這個平面的法向量相互垂直. 線面平行的證明思考途徑：線線平行線面平行面面平行. 證明直線與平面平行的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線；利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質，或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行； 3.面面平行的證明方法：①反證法:假設兩個平面不平行，則它們必相交，在導出矛盾；②面面平行的判斷定理；③利用性質:垂直于同一直線的兩個平面平行；平行于同一平面的兩個平面平行；④平行于同一個平面的兩個平面平行.；⑤向量法：證明兩個平面的法向量平行. 4.兩個平面平行的性質有五條： （1）兩個平面平行，其中一個平面內的任一直線必平行于另一個平面，這個定理可簡記為：“面面平行，則線面平行”.用符號表示是：，，則. （2）如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行，這個定理可簡記為：“面面平行，則線線平行”.用符號表示是：，，，則. （3）一條直線垂直于兩平行平面中的一個平面,它也垂直于另一個平面.這個定理可用于證線面垂直.用符號表示是：，，則. （4）夾在兩個平行平面間的平行線段相等 （5）過平面外一點只有一個平面與已知平面平行 5.證明空間線面平行需注意以下幾點：①由已知想性質，由求證想判定，即分析法與綜合法相結合尋找證題思路.②立體幾何論證題的解答中，利用題設條件的性質適當添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一.③明確何時應用判定定理，何時應用性質定理，用定理時要先申明條件再由定理得出相應結論.關鍵在于對題目中的條件的思考和分析，掌握做此類題的一般技巧和方法，以及如何巧妙進行平行之間的轉化. 6．“升降維”思想 直線是一維的，平面是二維的，立體空間是三維的.運用降維的方法把立體空間問題轉化為平面或直線問題進行研究和解題，可以化難為易，化新為舊，化未知為已知，從而使問題得到解決.運用升維的方法把平面或直線中的概念、定義或方法向空間推廣，可以立易解難，溫舊知新，從已知探索未知，是培養(yǎng)創(chuàng)新精神和能力，是“學會學習”的重要方法.平面圖形的翻折問題的分析與解決，就是升維與降維思想方法的不斷轉化運用的過程. 7．反證法：反證法是立體幾何中常用的間接證明方法.其步驟是：①否定結論；②進行推理；③導出矛盾；④肯定結論．用反證法證題要注意：①宜用此法否；②命題結論的反面情況有幾種. 【考點針對訓練】 1.如圖所示的長方體中，底面是邊長為的正方形，為與的交點，， 是線段的中點． （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求三棱錐的體積． 【解析】（Ⅰ）連接，如圖，∵、分別是、的中點，是矩形，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面； （Ⅱ）連接，∵正方形的邊長為2，，∴，，，則，∴，又∵在長方體中，，，且，∴平面，又平面，∴，又 ，∴平面，即為三棱錐的高，∵，，∴. 2．如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，平面,點為棱的中點，求證：（1）平面；（2）平面平面. 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 【解析】(1) 連接BD與AC相交于點O，連結OE． 因為四邊形ABCD為矩形，所以O為BD中點． 因為E為棱PD中點，所以PB∥OE． 因為PB平面EAC，OE平面EAC， 所以直線PB∥平面EAC． (2) 因為PA⊥平面PDC，CD平面PDC，所以 PA⊥CD． 因為四邊形ABCD為矩形，所以AD⊥CD． 因為 PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD，所以 CD⊥平面PAD． 因為CD平面ABCD，所以 平面PAD⊥平面ABCD． O P A B C D E 【考點3】直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質 【備考知識梳理】 1．線線垂直 判斷線線垂直的方法：所成的角是直角，兩直線垂直；垂直于平行線中的一條，必垂直于另一條. 三垂線定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直. 三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直.推理模式： . 注意：⑴三垂線指都垂直內的直線其實質是：斜線和平面內一條直線垂直的判定和性質定理⑵要考慮的位置，并注意兩定理交替使用. 2．線面垂直：定義：如果一條直線和一個平面相交，并且和平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線和平面互相垂直其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面,直線與平面的交點叫做垂足.直線與平面垂直記作：. 直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面. 直線和平面垂直的性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線平行. 3．面面垂直 兩個平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面. 兩平面垂直的判定定理：（線面垂直面面垂直） 如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直. 兩平面垂直的性質定理：（面面垂直線面垂直）若兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面. 【規(guī)律方法技巧】 1.證明線線垂直的方法：（1）異面直線所成的角為直角；（2）線面垂直的性質定理；（3）面面垂直的性質定理；（4）三垂線定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意線面、面面垂直的性質定理的成立條件.解題過程中要特別體會平行關系性質的傳遞性，垂直關系的多樣性. 2.線面垂直的證明方法：（1）線面垂直的定義；（2）線面垂直的判斷定理；（3）面面垂直的性質定理；（4）向量法：證明這個直線的方向向量和這個平面的法向量相互平行. 線面垂直的證明思考途徑：線線垂直線面垂直面面垂直. 3.面面垂直的證明方法：①定義法；②面面垂直的判斷定理；③向量法：證明兩個平面的法向量垂直. 解題時要由已知相性質，由求證想判定，即分析法和綜合法相結合尋找證明思路，關鍵在于對題目中的條件的思考和分析，掌握做此類題的一般技巧和方法，以及如何巧妙進行垂直之間的轉化. 4.證面面垂直，關鍵是考慮證哪條線垂直哪個面.這必須結合條件中各種垂直關系充分發(fā)揮空間想象綜合考慮；條件中告訴我們某種位置關系，就要聯(lián)系到相應的性質定理.已知兩平面互相垂直，我們就要兩平面互相垂直的性質定理；在垂直關系的證明中，線線垂直是問題的核心，可以根據已知的平面圖形通過計算的方式（如勾股定理）證明線線垂直，也可以根據已知的垂直關系證明線線垂直，其中要特別重視兩個平面垂直的性質定理，這個定理已知的是兩個平面垂直，結論是線面垂直． 5.證明線面垂直，就考慮證明直線垂直平面內的兩條相交直線；而證明異面的線線垂直，很多題都要通過線面垂直來證明；對相交直線垂直的證明，一般考慮用平面幾何里的方法.常見的有以下幾種，若是等腰三角形，則底邊上的中線與底邊垂直；若是錐形、菱形（正方形），則對角線互相垂直；若是矩形，則鄰邊互相垂直；有時還用到以下結論：如下圖，在矩形中，若，則； 若告訴了線段的長度，或者是告訴了邊與邊之間的關系，則用勾股定理. 6．在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直定義，判定定理和性質定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉化．注意以下幾點：①由已知想性質，由求證想判定，即分析法與綜合法相結合尋找證題思路.②立體幾何論證題的解答中，利用題設條件的性質適當添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一.③明確何時應用判定定理，何時應用性質定理，用定理時要先申明條件再由定理得出相應結論.④三垂線定理及其逆定理在高考題中使用的頻率最高，在證明線線垂直時應優(yōu)先考慮.應用時常需先認清所觀察的平面及它的垂線，從而明確斜線、射影、面內直線的位置，再根據定理由已知的兩直線垂直得出新的兩直線垂直.另外通過計算證明線線垂直也是常用的方法之一. 7．面面垂直的性質定理是作輔助線的一個重要依據．我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可．每一垂直的判定就是從某一垂直開始轉向另一垂直最終達到目的.例如：有兩個平面垂直時，一般要用性質定理，在一個平面內作交線的垂線，使之轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直. 8.易錯點：（1）證明線面垂直時，易忽視面內兩條線為相交線這一條件．（2）面面垂直的判定定理中，直線在面內且垂直于另一平面易忽視．（3）面面垂直的性質定理在使用時易忘面內一線垂直于交線而盲目套用造成失誤． 【考點針對訓練】 1.已知三棱錐的四個頂點均在半徑為1的球面上，且滿足，，，則三棱錐的側面積的最大值為__. 【答案】2 【解析】由，，可知PA，PB，PC兩兩垂直，又∵三棱錐P-ABC的四個頂點均在半徑為1的球面上，故則由基本不等式可得，即，則三棱錐P-ABC的側面積則三棱錐的側面積的最大值為2． 2.如圖4，在邊長為的菱形中，，點，分別是邊，的中點，．沿將△翻折到△，連接，得到如圖5的五棱錐，且． （1）求證：平面； （2）求四棱錐的體積． 【解析】（1）∵點，分別是邊，的中點，∴∥. ∵菱形的對角線互相垂直，∴. ∴. ∴，.∵平面，平面，，∴平面. ∴平面. （2）設，連接，∵，∴△為等邊三角形.∴，，，.在R t△中，，在△中，，∴. ∵，，平面，平面，∴平面.梯形的面積為，∴四棱錐的體積. 【兩年模擬詳解析】 1. 【蘇北三市（連云港、徐州、宿遷）xx屆高三年級第三次調研考試】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，點在棱上（異于點，），平面與棱交于點. （1）求證：； （2）若平面平面，求證：. 【答案】（1）見解析（2）見解析 【解析】 解:(1) 因為是矩形，所以． 又因為平面，平面， 所以平面． 又因為平面，平面平面， 所以． （2）因為是矩形，所以． 又因為平面平面，平面平面， 平面，所以平面． 又平面，所以． 又由（1）知，所以． 2. 【xx學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調研（二）】如圖，在四面體中，平面平面，，，分別為，，的中點，，. （1）求證：平面； （2）若為上任一點，證明平面. 【答案】（1）見解析（2）見解析 （2）連，，因為，分別為，的中點， 所以，又平面，平面， 所以平面， 同理可證平面，且，平面，平面， 所以平面平面， 又為上任一點，所以平面，所以平面. 3. 【南京市、鹽城市xx屆高三年級第一次模擬】(本小題滿分14分) 如圖，在直三棱柱中，，,分別是,的中點． （1）求證：∥平面； （2）求證：平面平面． 【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）詳見解析 【解析】 證明：（1）因為,分別是,的中點，所以， ...............2分 又因為在三棱柱中，，所以. ...............4分 又平面，平面，所以∥平面. ...............6分 （2）在直三棱柱中，底面， 又底面，所以. ...............8分 又，，所以， ...............10分 又平面，且，所以平面. ...............12分 又平面，所以平面平面． ...............14分 （注：第（2）小題也可以用面面垂直的性質定理證明平面，類似給分） 4. 【鎮(zhèn)江市xx屆高三年級第一次模擬】在長方體中，． （1）求證：平面； （2）求證：平面． 【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）詳見解析 （2）連結B1E．設AB＝a，則在△BB1E中， BE＝B1E＝，BB1＝2a．所以 ，所以B1E^BE． ……8分 由ABCD－A1B1C1D1為長方體，則A1B1^平面BB1C1C，平面BB1C1C， 所以A1B1^BE． ……10分 因B1EA1B1= B1，B1E平面A1B1E，A1B1平面A1B1E，則BE^平面A1B1E．……12分 又因為A1E平面A1B1E, 所以A1E^BE． 同理A1E^DE．又因為BE 平面BDE，DE 平面BDE， 所以A1E^平面BDE． ……14分 5. 【xx年第二次全國大聯(lián)考江蘇卷】（本小題滿分14分）在如圖所示的幾何體中，, 分別為的中點. （I）求證： （II）求證：平面. 【解析】（Ⅰ））證明：因，所以與確定一個平面，連接，因為為的中點，所以；同理可得，又因為，所以平面，因為平面，………………………6分 （Ⅱ）設的中點為，連，在中，是的中點，所以，又，所以；在中，是的中點，所以，又，所以平面平面，因為平面，所以平面.………………………14分 6. 【xx年第一次全國大聯(lián)考江蘇卷】（本小題滿分14分）如圖，在三棱柱中，已知分別為線段的中點，，且. 求證：（1）平面平面； （2）∥平面. 【解析】 證明：（1）因為，且為線段的中點，所以. 又，，平面，平面， 所以平面，……………6分 因為平面，所以平面平面.……………8分 （2）取中點，連結， 因為為線段的中點，為中點，所以∥，且. 在三棱柱中，∥，且. 又為線段的中點，故∥，且. 所以∥，且，于是四邊形是平行四邊形， 從而∥.……………12分 又平面，平面， 故∥平面……………14分 7. 【xx學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調研（一）】如圖，在斜三棱柱中，側面是菱形，與交于點， 是棱上一點，且∥平面． （1）求證：是中點； （2）若，求證：． （1）連接，因為∥平面， 平面，平面平面，所以∥. ……4分 因為側面是菱形，，所以是中點， ……5分 所以，E是AB中點. ……7分 （2）因為側面是菱形，所以， ……9分 又，，面，所以面，…12分 因為平面，所以． ……14分 8. 【xx年高考原創(chuàng)押題預測卷01（江蘇卷）】（本小題滿分14分） 在正三棱柱中，,點D是BC的中點，點在上，且． （1）求證： ∥平面； （2）求證：平面⊥平面． 【答案】（1）詳見解析 （2）詳見解析 【解析】 （1） 記，連接. ∵四邊形為矩形，∴是的中點， 又∵是的中點，∴.3分 又∵平面，平面， ∴∥平面.6分 （2）∵是正三角形，是的中點， ∴. ∵平面⊥平面， 平面平面，平面， ∴平面.9分 【或利用⊥平面，證明平面.】 ∵平面，∴. ∵，，是中點， ∴， ∴，10分 ∴，∴， ∴，又，平面， ∴平面.12分 又∵平面，∴平面平面．14分 9. 【xx年高考原創(chuàng)押題預測卷02（江蘇卷）】（本小題滿分14分）如圖，四棱錐的底面是矩形，平面分別是的中點，且. （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求證：平面平面. 【解析】 證明：（1）取的中點，連則，---------------（2分） 又，所以，所以四邊形是平行四邊形，----------------（3分） 則平面.------------------（6分） （2）因平面，故---（8分） 又因為，故平面；------------（10分） 因為，所以平面，----------------------------------（12分） 又平面，所以平面平面.------------------------（14分） 10. 【南京市xx屆高三年級第三次模擬考試】6．已知α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同直線，l⊥α，m?β．給出下列命題： ①α∥β?l⊥m； ②α⊥β?l； ③m∥α?l⊥β； ④l⊥β?m∥α． 其中正確的命題是 ． (填寫所有正確命題的序號)． 【答案】①④ 【解析】 試題分析：①α∥β，l⊥α? l⊥β? l⊥m，命題正確；②α⊥β，l⊥α? l、m可平行，可相交，可異面，命題錯誤； ③m∥α，l⊥α? l⊥m? l與β可平行，l可在β內，l可與β相交，命題錯誤；④ l⊥β、l⊥α?β∥α?m∥α．命題正確. 11．【江蘇省揚州中學xx學年第二學期質量檢測】如圖，已知直三棱柱中， ，分別是棱，中點． （1）求證：⊥平面； （2）求證：∥平面； 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 （2）證明：取的中點，連結，，因為，分別是棱 ，中點，所以∥，. 又因為∥，， 所以∥，＝.所以四邊形是平行四邊形． 所以∥. 因為平面，平面， 所以∥平面. 12．【南京市、鹽城市xx屆高三年級第二次模擬考試】如圖，在三棱錐P—ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分別為AB，PA的中點． （1）求證：PB∥平面MNC； （2）若AC＝BC，求證：PA⊥平面MNC. （第16題圖） 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 【解析】（1）因為M，N分別為AB，PA的中點， 所以MN∥PB． 因為MN平面MNC，PB平面MNC， 所以PB∥平面MNC. （2）因為PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN. 因為AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB. 因為平面PAB⊥平面ABC，CM平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB， 所以CM⊥平面PAB． 因為PA平面PAB，所以CM⊥PA． 因為PA⊥MN，MN平面MNC，CM平面MNC，MN∩CM＝M， 所以PA⊥平面MNC. 13．【江蘇省蘇中三市xx屆高三第二次調研測試】如圖，在正方體中，分別為棱的中點． 求證：（1）平面； （2）平面平面． 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 【解析】（1）在正方體中，因為分別為棱的中點， 所以． 又，故， 所以四邊形為平行四邊形． 從而， 又平面平面， 所以平面； （2） 連結，在正方形中，．又分別為棱的中點，故．所以．　 在正方體中，平面， 又平面， 所以平面，． 而平面， 所以平面．　 又平面， 所以平面平面．　 14．【江蘇省揚州中學xx屆高三4月質量監(jiān)測】如圖，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，側面AA1C1C⊥底面ABC，側面AA1C1C是菱形，∠A1AC＝60，E、F分別是A1C1、AB的中點． 求證：（1）EF∥平面BB1C1C； （2）平面CEF⊥平面ABC． 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 【解析】 A B C O M F E 證明：（1）取BC中點M，連接FM，C1M， 在△ABC中，因為F，M分別為BA、BC的中點， 所以AC, 因為E為A1C1的中點，AC∥A1C1， 所以FM∥EC1，且FM=EC1從而四邊形EFMC1為平行四邊形， 所以EF∥C1M，又因為C1M平面BB1C1C，EF平面BB1C1C， 因此EF∥平面BB1C1C； （2）在平面AA1C1C內，作A1O⊥AC，O為垂足， 因為∠A1AC=60，所以AO= 從而O為AC的中點． 所以OC∥A1E，且OC=A1E，因而EC∥A1O， 因為側面AA1C1C⊥底面ABC，交線為AC， A1O⊥AC，所以A1O⊥底面ABC．因而A1O⊥AB 所以EC⊥AB，EC⊥AC，而ABAC=A，所以EC⊥底面ABC， 又因為EC平面EFC， 所以平面CEF⊥平面ABC． 15．【江蘇省南京市xx屆高三年級第三次學情調研適應性測試數(shù)學】 如圖，在四棱錐E－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點O，EC⊥底面ABCD，F(xiàn)為BE的中點. （1）求證：DE//平面ACF； （2）若AB＝CE，在線段EO上是否存在點G，使得CG⊥平面BDE？若存在，請證明你的結論；若不存在，請說明理由. 【答案】（1）詳見解析（2）EO的中點 【解析】（1）證明：連接OF由四邊形ABCD是正方形可知，點O為BD的中點 又F為BE的中點，所以OF//DE 又OF平面ACF，DE平面ACF 所以DE//平面ACF (2) 解：在線段EO上存在點G，使CG⊥平面BDE，證明如下： 取EO的中點G，連接CG，在四棱錐E－ABCD中 AB＝CE，CO＝AB＝CE，所以CG⊥EO 又由EC⊥底面ABCD，BD底面ABCD， 所以EC⊥BD 由四邊形ABCD是正方形可知，AC⊥BD 又AC∩EC＝C 所以BD⊥平面ACE ，而BD平面BDE 所以，平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE＝EO 因為CG⊥EO，CG平面ACE，所以CG⊥平面BDE． 16．【南京市xx屆高三年級第三次模擬考試】 如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D為棱BC上一點． （1）若AB＝AC，D為棱BC的中點，求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1； （2）若A1B∥平面ADC1，求的值． 【答案】（1）詳見解析（2）1 【解析】（1）因為AB＝AC，點D為BC中點，所以AD⊥BC． 因為ABC－A1B1C1 是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC． 因為AD平面ABC，所以BB1⊥AD． 因為BC∩BB1＝B，BC平面BCC1B1，BB1平面BCC1B1， 所以AD⊥平面BCC1B1． 因為AD平面ADC1，所以平面ADC1⊥平面BCC1B1． (2)連結A1C，交AC1于O，連結OD，所以O為AC1中點． 因為A1B∥平面ADC1，A1B平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD， 所以A1B∥OD．因為O為AC1中點，所以D為BC中點， 所以＝1． 17．【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市xx屆高三教學情況調研（二）數(shù)學試題】 在直三棱柱中，，， 是的中點． （1）求證：平面； （2）若點在線段上，且，求證：平面． 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 【解析】（1）連結，設交于點，連結． ∵四邊形是矩形，∴是的中點． 在△中， ，分別是，的中點， ∴． 又∵平面，平面， ∴平面． （2）∵，是的中點，∴﹒ 又∵在直三棱柱中，底面⊥側面，交線為， 平面，∴平面﹒ ∵平面，∴． ∵， ，， ∴， ∴△∽△， 從而∠=∠，所以∠+∠=∠+∠=， ∴． 又∵，平面，平面 ∴平面． 18．【江蘇省蘇北三市xx屆高三最后一次模擬考試】如圖，在直三棱柱中，已知，分別為的中點，求證： （1）平面平面； （2）平面. 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 （2）取中點，連結，，，. 由于，分別為，的中點， 所以且 故且. 則四邊形為平行四邊形，所以. 又平面，平面， 所以平面. 由于分別為，的中點， 所以. 又，分別為，的中點，所以. 則. 又平面，平面，所以平面. 由于,所以平面平面. 由于平面，所以平面. 【一年原創(chuàng)真預測】 1. 下列四個命題： ①如果平面平面，那么平面內一定存在直線平行于平面 ②如果平面平面，那么平面內所有直線都垂直于平面 ③如果平面平面，平面平面，那么平面 ④如果平面不垂直于平面，那么平面內一定不存在直線垂直于平面 其中正確的有　　　　　?。? 【答案】①③④ 【解析】對于②，若平面平面，則平面內的直線可能不垂直于平面，甚至可能平行于平面，其余選項均是正確的. 【入選理由】本題考察空間直線和平面的位置關系等基礎知識，意在考察學生空間想象能力. 線面的平行與垂直，是立體幾何的主體內容，也是高考考查的重點與難點，一般選擇題多考查線面位置關系的判定與性質，一般難度不大，故選此題. 2. 如圖，在三棱錐中，，，，，、、分別是、、的中點． （I）證明：平面平面； （II）若，求三棱錐的體積． 【解析】（I）證明：∵E、F分別是AC、BC的中點,∴,∵,∴,同理，,∵,∴; （II）解：取的中點，連結、，∵，,∴,∵,∴,在等腰直角三角形中，，是斜邊的中點,∴,同理，,∵,∴△是等邊三角形,∴.∴. 【入選理由】本題考查空間圖形平行與垂直的證明、三棱錐的體積等基礎知識，意在考查學生空間想象能力、邏輯推理能力，及幾何體體積的計算能力.本題常規(guī)題型,符合高考要求，故選此題. 3.如圖，已知矩形所在的平面與直角梯形所在的平面垂直，且分別為的中點． （I）求證：平面； （II）求證：平面⊥平面． 【解析】（I）取的中點，連接．在中，．又．在梯形中，又 平面平面．又平面，平面． （II）平面平面，平面平面，在矩形中平面，又．在和中，∽又平面，平面平面⊥平面． 【入選理由】本題考查線面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理等基本知識理解和應用，意在考查學生的空間想象力和推理論證能力, 高考對立體幾何的考查，主要以柱體、錐體或其組合體為載體，考查線面位置關系的判定與證明，特別是解答題的第一問，主要考查線面位置關系的判定與性質，一般難度不大，故選此題.