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2019-2020年高中數(shù)學 1.4 全稱量詞與存在量詞教案 新人教A版選修1-1 ●三維目標 1.知識與技能 ①通過教學實例，理解全稱量詞和存在量詞的含義；能夠用全稱量詞符號表示全稱命題，能用存在量詞符號表述特稱命題；會判斷全稱命題和特稱命題的真假； ②通過探究數(shù)學中一些實例，使學生歸納總結出含有一個量詞的命題與它們的否定在形式上的變化規(guī)律，正確地對含有一個量詞的命題進行否定． 2．過程與方法 通過觀察命題、科學猜想以及通過參與過程的歸納和問題的演繹，培養(yǎng)學生的觀察能力和概括能力；通過問題的辨析和探究，培養(yǎng)學生良好的學習習慣和反思意識． 3．情感、態(tài)度與價值觀 通過引導學生觀察、發(fā)現(xiàn)、合作與交流，讓學生經(jīng)歷知識的形成過程，增加直接經(jīng)驗基礎，增強學生學習的成功感，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣． ●重點、難點 重點：理解全稱量詞與存在量詞的意義，正確地對含有一個量詞的命題進行否定． 難點：判斷全稱命題和特稱命題的真假，正確地對含有一個量詞的命題進行否定． 重、難點突破方法：通過設置大量豐富的例子，引導學生觀察、發(fā)現(xiàn)、合作與交流，認識全稱命題與存在性命題之間有可能轉化，它們之間并不是對立的關系；對實例分析要恰當?shù)轿?，務必理清各類型命題形式結構、性質關系，才能真正準確地完整地表達出命題的否定． (教師用書獨具) ●教學建議 結合本節(jié)課的特點，應通過實例層層深入、逐步推進，講解時切忌急躁，真正做到讓學生在觀察、發(fā)現(xiàn)、合作與交流中感受知識，在教師的引導釋疑下學得知識，并在訓練中得以熟練． ●教學流程 ??????? (對應學生用書第13頁) 課標解讀 1.理解全稱量詞與存在量詞的含義，會判斷全稱命題和特稱命題的真假．(重點) 2.能用數(shù)學符號準確表示含有一個量詞的命題的否定(難點、易錯點) 全稱量詞與全稱命題 【問題導思】 命題“任意三角形的內角和為180”中使用了什么量詞？你還能舉出幾個含有這樣量詞的命題嗎？ 【提示】　使用了量詞“任意”，能，任意的正方形都是平行四邊形，對任意的x∈R，x2－2x＋2＞0恒成立等． 1．全稱量詞 短語：“對所有的”“對任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞． 2．全稱命題 含有全稱量詞的命題叫做全稱命題．全稱命題“對M中任意一個x，有p(x)成立”可用符號簡記為?x∈M，p(x)，讀作“對任意x屬于M，有p(x)成立”． 存在量詞與特稱命題 【問題導思】 命題“存在實數(shù)a，使關于x的方程x2＋x－a＝0有實根”中使用了什么量詞？你還能舉出幾個含有此量詞的命題嗎？ 【提示】　使用了量詞“存在”，能，存在整數(shù)n使n能被13整除，存在實數(shù)x，使x2－2x－1＞0成立等． 1．存在量詞 短語：“存在一個”“至少有一個”在邏輯中叫做存在量詞． 2．特稱命題 含有存在量詞的命題，叫做特稱命題．特稱命題“存在M中的一個x0，使p(x0)成立”可用符號簡記為?x0∈M，p(x0)讀作“存在一個x0屬于M，使p(x0)成立”． 含有一個量詞的命題的否定 【問題導思】　 1．寫出下列命題的否定： ①所有的矩形都是平行四邊形 ②有些平行四邊形是菱形 【提示】?、俨⒎撬械木匦味际瞧叫兴倪呅危? ②每一個平行四邊形都不是菱形． 2．對①的否定能否寫成：所有的矩形都不是平行四邊形？ 【提示】　不能． 3．對②的否定能否寫成：有些平行四邊形不是菱形？ 【提示】　不能. 命題 命題的表述 全稱命題p ?x∈M，p(x) 全稱命題的否定綈p ?x0∈M，綈p(x0) 特稱命題p ?x0∈M，p(x0) 特稱命題的否定綈p ?x∈M，綈p(x) (對應學生用書第14頁) 全稱命題與特稱命題的判定 　判斷下列語句是全稱命題，還是特稱命題： (1)凸多邊形的外角和等于360； (2)有些實數(shù)a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|； (3)對任意角a，b∈R，若a＞b，則＜. (4)有一個函數(shù)，既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)． 【思路探究】　(1)以上語句都是命題嗎？(2)每個語句中含有全稱量詞還是存在量詞？(3)若沒有這些量詞，根據(jù)語句的含義，你能否把量詞補上？ 【自主解答】　(1)可以改寫為“所有的凸多邊形的外角和等于360”，是全稱命題． (2)含有存在量詞“有些”，故是特稱命題． (3)含有全稱量詞“任意”，故是全稱命題． (4)含有存在量詞“有一個”，是特稱命題． 1．判斷一個命題是否為全稱命題或特稱命題，關鍵看命題中是否含有全稱量詞或存在量詞． 2．要注意有些全稱命題并不含全稱量詞(如命題(1))，這時要根據(jù)命題涉及的意義去添補量詞再判斷．對于同一個全稱命題或特稱命題的表述方法可能不同． 用量詞符號“?”“?”表示下列命題． (1)實數(shù)都能寫成小數(shù)形式； (2)有一個實數(shù)α，tan α無意義； (3)指數(shù)函數(shù)都是單調函數(shù)． 【解】　(1)?x∈R，x能寫成小數(shù)形式； (2)?α∈R，tan α沒有意義； (3)?f(x)∈{f(x)|f(x)是指數(shù)函數(shù)}，f(x)是單調函數(shù)． 全稱命題與特稱命題的真假判斷 　判斷下列命題的真假： (1)任意兩向量a，b，若ab＞0，則a，b的夾角為銳角； (2)?x，y為正實數(shù)，使x2＋y2＝0； (3)在平面直角坐標系中，任意有序實數(shù)對(x，y)都對應一點P； (4)存在一個函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)． 【思路探究】　(1)以上命題是全稱命題還是特稱命題？(2)全稱命題怎樣判斷真假？特稱命題呢？ 【自主解答】　(1)∵ab＝|a||b|cos〈a，b〉＞0， ∴cos〈a，b〉＞0. 又0≤〈a，b〉≤π，∴0≤〈a，b〉＜，即a，b的夾角為零或銳角．故它是假命題． (2)∵x2＋y2＝0時，x＝y(tǒng)＝0，∴不存在x，y為正實數(shù)，使x2＋y2＝0，故它是假命題． (3)由有序實數(shù)對與平面直角坐標系中的點的對應關系知，它是真命題． (4)函數(shù)f(x)＝0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，故它是真命題． 全稱命題與特稱命題真假的判斷方法： 1．對于全稱命題“?x∈M，p(x)”，要判斷它為真，需要對集合M中的每個元素x，證明p(x)成立；要判斷它為假，只需在M中找到一個x，使p(x)不成立，即“?x0∈M，p(x0)不成立”． 2．對于特稱命題“?x0∈M，p(x0)”，要判斷它為真，只需在M中找到x，使p(x)成立，要判斷它為假，需要判斷“?x∈M，p(x)不成立”． 判斷下列命題的真假： (1)?x∈R，x2＋2x＋1＞0； (2)?x0∈R，|x0|≤0； (3)?x∈N*，log2x＞0； (4)?x0∈R，cos x0＝. 【解】　(1)∵當x＝－1時，x2＋2x＋1＝0， ∴原命題是假命題． (2)∵當x0＝0時，|x0|≤0成立， ∴原命題是真命題． (3)∵當x＝1時，log2x＝0， ∴原命題是假命題． (4)∵當x∈R時，cos x∈[－1,1]，而＞1， ∴不存在x0∈R， 使cos x0＝， ∴原命題是假命題. 含有一個量詞的命題的否定 　寫出下列命題的否定，并判斷其真假． (1)p：不論m取何實數(shù)，方程x2＋x－m＝0必有實數(shù)根； (2)q: 存在一個實數(shù)x，使得x2＋x＋1≤0； (3)r：等圓的面積相等，周長相等； (4)s：對任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1. 【思路探究】　(1)這些命題是特稱命題還是全稱命題；(2)如何寫出全稱命題(或特稱命題)的否定并判斷真假？ 【自主解答】　(1)這一命題可以表述為p：“對所有的實數(shù)m，方程x2＋x－m＝0有實數(shù)根”，其否定形式是綈p：“存在實數(shù)m，使得x2＋x－m＝0沒有實數(shù)根”． 注意到當Δ＝1＋4m＜0時，即m＜－時，一元二次方程沒有實數(shù)根，所以綈p是真命題． (2)這一命題的否定形式是綈q：對所有實數(shù)x，都有x2＋x＋1＞0.利用配方法可以證得綈q是一個真命題．(3)這一命題的否定形式是綈r：“存在一對等圓，其面積不相等或周長不相等”. 由平面幾何知識知綈r是一個假命題． (4)這一命題的否定形式是綈s：“存在α∈R，使sin2α＋cos2α≠1”．由于命題s是真命題，所以綈s是假命題． 1．對含有一個量詞的命題進行否定時要先弄清是全稱命題還是特稱命題，再寫其否定： (1)全稱命題的形式是：“?x∈M，p(x)”，其否定的形式應該是既對全稱量詞否定，又對命題p(x)進行否定，即“?x∈M，綈p(x)”．所以全稱命題的否定是特稱命題． (2)特稱命題的形式是：“?x∈M，p(x)”，其否定形式是，對存在量詞進行否定，變?yōu)槿Q量詞，再對命題p(x)進行否定，即“?x∈M，綈p(x)”，所以特稱命題的否定是全稱命題． 2．對“含有一個量詞的命題p的否定”的真假判斷一般有兩種思路：一是直接判斷綈p的真假，二是用p與綈p的真假性相反來判斷． 寫出下列命題的否定，并判斷其真假． (1)p：?x∈R，x2－x＋≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)s：至少有一個實數(shù)x0，使x＋1＝0. 【解】　(1)綈p：?x0∈R，x－x0＋＜0，假命題． 因為?x∈R，x2－x＋＝(x－)2≥0恒成立． 所以p為真命題，綈p為假命題． (2)綈q：至少存在一個正方形不是矩形，假命題． (3)綈s：?x∈R，x3＋1≠0，假命題． 因為x＝－1時，x3＋1＝0. (對應學生用書第15頁) 忽略隱含量詞致誤 　寫出下列命題的否定． (1)p：若2x＞4，則x＞2； (2)p：可以被5整除的數(shù)，末位是0； (3)p：能被8整除的數(shù)能被4整除； 【錯解】　(1)綈p：若2x＞4，則x≤2. (2)綈p：可以被5整除的數(shù)，末位不是0. (3)綈p：能被8整除的數(shù)不能被4整除． 【錯因分析】　由于有些全稱命題或特稱命題隱含了量詞，從而導致未變化量詞而直接否定結論出現(xiàn)錯誤． 【防范措施】　由于全稱量詞表示主語的全部外延，往往可以省略不寫，這幾個命題都是缺省全稱量詞的全稱命題，因此我們在寫這類命題的否定時，必須找出其省略的全稱量詞，寫成p：“?x∈M，p(x)”的形式，然后再把它的否定寫成綈p：“?x0∈M，綈p(x0)”的形式，要避免忽略命題中隱含的量詞，同時應把握每一個命題的含義，寫出否定形式后最好結合它們的真假性(一真一假)進行驗證． 【正解】　(1)綈p：至少存在一個x0，若2x0＞4，則x0≤2. (2)綈p：有些可以被5整除的數(shù)，末位不是0. (3)綈p: 有些能被8整除的數(shù)不能被4整除． 1．判斷一個命題是否為全稱命題或特稱命題，就是判斷這個命題中是否含有全稱量詞或存在量詞，有些命題的量詞可能隱含在命題之中，這時要根據(jù)語義判斷形式，如大多數(shù)公理、定理的簡述都是一般性結論，它們大多數(shù)省略了全稱量詞，但仍應看作全稱命題． 2．全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，在寫命題的否定時，一要注意量詞的改寫，二要注意結論的否定．另外，要注意原命題中是否有省略的量詞，如是這種情況，應將量詞補充后再寫它的否定. (對應學生用書第16頁) 1．下列命題為特稱命題的是(　　) A．偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱 B．正四棱柱都是平行六面體 C．不相交的兩條直線是平行直線 D．存在實數(shù)大于等于3 【解析】　D選項含有存在量詞，是特稱命題，其他不是． 【答案】　D 2．下列命題中全稱命題的個數(shù)是(　　) ①任意一個自然數(shù)都是正整數(shù)； ②所有的素數(shù)都是奇數(shù)； ③有的等差數(shù)列也是等比數(shù)列； ④三角形的內角和是180. A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3 【解析】　命題①②含有全稱量詞，命題③含有存在量詞，為特稱命題，而命題④可以敘述為“每一個三角形的內角和都是180”，故有三個全稱命題． 【答案】　D 3．命題“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是(　　) A．不存在x0∈R,2x0＞0 B．存在x0∈R,2x0≥0 C．對任意的x∈R,2x≤0 D．對任意的x∈R,2x＞0 【解析】　命題的否定是：對任意x∈R,2x＞0. 【答案】　D 4．判斷下列命題的真假： (1)?x0∈R，使3x0－4＝1 (2)?x∈R,2x＋1都為奇數(shù)． 【解】　(1)真命題，(2)假命題. 一、選擇題 1．下列命題中，是真命題且是全稱命題的是(　　) A．對任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0 B．菱形的兩條對角線相等 C．?x∈R，＝x D．對數(shù)函數(shù)在定義域上是單調函數(shù) 【解析】　C是特稱命題，A、B都是全稱命題，但為假命題，只有D既為全稱命題又是真命題． 【答案】　D 2．下列命題中，既是真命題又是特稱命題的是(　　) A．存在一個α，使tan(90－α)＝tan α B．存在實數(shù)x0，使sin x0＝ C．對一切α，sin(180－α)＝sin α D．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β 【解析】　C、D是全稱命題，A、B是特稱命題，由于|sin x|≤1，故sin x0＝＞1不成立，B為假命題，對于A，當α＝45時，tan(90－α)＝tan α成立． 【答案】　A 3．(xx合肥高二檢測)命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是(　　) A．所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù) B．所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù) C．存在一個不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù) D．存在一個能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù) 【解析】　原命題為全稱命題，其否定應為特稱命題，且結論否定． 【答案】　D 4．(xx洋浦高二檢測)下列命題中真命題為(　　) A．若sin A＝sin B，則∠A＝∠B B．?x∈R，都有x2＋1＞0 C．若lg x2＝0，則x＝1 D．?x∈Z，使1＜4x＜3 【解析】　若sin A＝sin B，不一定有∠A＝∠B，A不正確，B正確；若lg x2＝0，則x2＝1，x＝1，C不正確，D不正確． 【答案】　B 5．(xx福建高考)下列命題中，真命題是(　　) A．?x0∈R，ex0≤0 B．?x∈R,2x>x2 C．a(chǎn)＋b＝0的充要條件是＝－1 D．a(chǎn)>1，b>1是ab>1的充分條件 【解析】　對于?x∈R，都有ex>0，故選項A是假命題；當x＝2時，2x＝x2，故選項B是假命題；當＝－1時，有a＋b＝0，但當a＋b＝0時，如a＝0，b＝0時，無意義，故選項C是假命題；當a>1，b>1時，必有ab>1，但當ab>1時，未必有a>1，b>1，如當a＝－1，b＝－2時，ab>1，但a不大于1，b不大于1，故a>1，b>1是ab>1的充分條件，選項D是真命題． 【答案】　D 二、填空題 6．給出下列四個命題： ①a⊥b?ab＝0；②矩形都不是梯形； ③?x，y∈R，x2＋y2≤1； ④任意互相垂直的兩條直線的斜率之積等于－1.其中全稱命題是________． 【解析】　在②、④中含有全稱量詞“都”“任意”，為全稱命題．③為特稱命題．又①中的實質是：對任意a，b有ab＝0?a⊥b，故①②④為全稱命題． 【答案】?、佗冖? 7．已知四個命題分別為：①?x∈R,2x－1＞0；②?x∈N*，(x－1)2＞0；③?x∈R，lg x＜1；④?x∈R，tan x＝2. 其中是假命題的是________． 【解析】　由函數(shù)的性質，顯然①③④是真命題． 對于②，當x＝1時，(x－1)2＝0. ∴②是假命題． 【答案】　② 8．(xx青島高二檢測)已知命題：“?x0∈[1,2]，使x＋2x0＋a≥0”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________． 【解析】　當1≤x≤2時，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函數(shù)． ∴3≤x2＋2x≤8， 如果“?x∈[1,2]，使x＋2x0＋a≥0”為真命題． ∴a＋8≥0，則a≥－8. 故實數(shù)a的取值范圍是[－8，＋∞)． 【答案】　[－8，＋∞) 三、解答題 9．判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定： (1)三角形的內角和為180； (2)每個二次函數(shù)的圖象都開口向下； (3)存在一個四邊形不是平行四邊形． 【解】　(1)是全稱命題且為真命題． 命題的否定：三角形的內角和不全為180，即存在一個三角形其內角和不等于180. (2)是全稱命題且為假命題． 命題的否定：存在一個二次函數(shù)的圖象開口不向下． (3)是特稱命題且為真命題． 命題的否定：所有的四邊形都是平行四邊形． 10．試判斷下列命題的真假： p1：?x∈R，sin2＋cos2＝； p2：?x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y； p3：?x∈[0，π], ＝sin x； p4：sin x＝cos y?x＋y＝. 【解】　因為sin2＋cos2＝1，故p1是假命題；當x＝y(tǒng)時，p2成立，故p2是真命題；＝＝|sin x|，因為x∈[0，π]，所以|sin x|＝sin x，p3是真命題；當x＝，y＝時，有sin x＝cos y，但x＋y＞，故p4是假命題，p2，p3是真命題，p1，p4是假命題． 11．已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R)． (1)當a＝－3時，求證對任意x∈R，都有f(x)≤0； (2)如果對任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 【解】　(1)證明：當a＝－3時，f(x)＝－9x2＋6x－1，令－9x2＋6x－1＝0，則Δ＝36－36＝0，∴對任意x∈R，都有f(x)≤0. (2)解：∵對任意x∈R，有f(x)≤4x，∴3ax2＋2x－1≤0. ∴∴a≤－，即a的取值范圍是(－∞，－]. (教師用書獨具) 已知函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0. (1)求f(0)的值； (2)當f(x)＋2＞logax對于x∈(0，)恒成立時，求a的取值范圍． 【解】　(1)由已知等式f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x， 令x＝1，y＝0， 得f(1)－f(0)＝2，又因為f(1)＝0， 所以f(0)＝－2. (2)由(1)知f(0)＝－2， 所以f(x)＋2＝f(x)－f(0)＝f(x＋0)－f(0)＝(x＋1)x. 因為x∈(0，)，所以[f(x)＋2]∈(0，)． 要使x∈(0，)時，f(x)＋2＜logax恒成立，顯然當a＞1時不可能， 所以解得≤a＜1. (xx南通高二檢測)已知f(x)＝x2，g(x)＝()x－m，若對?x1∈[－1,3]，?x2∈[0,2]，有f(x1)≥g(x2)，求實數(shù)m的取值范圍． 【解】　根據(jù)題意知，f(x1)min≥g(x2)min， 當x1∈[－1,3]時，f(x1)min＝0. 當x2∈[0,2]，g(x2)＝()x2－m的最小值為g(2)＝－m. 因此0≥－m，解之得m≥. 故實數(shù)m的取值范圍是[，＋∞).